§ 4. Простейшие бифуркации

Под бифуркацией понимают любую качественную или топологическую перестройку системы, происходящую при переходе параметра системы через критическое (бифуркационное) значение . В простейших случаях можно перечислить все возможные буфуркации и тем самым предсказать все возможные пути эволюции системы. Это происходит благодаря тому, что между двумя последовательными бифуркациями состояния динамической системы топологически эквивалентны. Еще одна приятная

возможность заключается в том, что анализ бифуркации можно провести в очень малой области значений вблизи точки Мы приведем ниже примеры основных бифуркаций в одномерном случае

и бифуркации Пуанкаре-Андронова-Хопфа в двумерном случае

где двумерный вектор (ком. 3).

Тангенциальная бифуркация. Исследование бифуркаций проводится в расширенном пространстве, представляющем собой прямое произведение

Рис. 3.21. Тангенциальная бифуркация: сплошная кривая — устойчивые решения, штриховая кривая — неустойчивые решения

Рис. 3.22. Образование особой точки «седло-узел» при (по вертикали — ось у, по горизонтали — ось фазового пространства на пространство параметров. В случае (4.1) это двумерное пространство Различные виды бифуркаций происходят в зависимости от вида поля Рассмотрим случай

Мы должны проделать следующее: 1) найти особые точки уравнения

2) найти решения в окрестности особых точек проследить за изменением особых точек и решений при изменении параметра

Выберем сначала в (4.3) и (4.4) знак перед Из (4.4) следует, что

т. е. при особых точек нет, а при рождаются две особые точки (рис. 3.21). В окрестности особой точки имеем

Отсюда видно, что

и следовательно, точка устойчива, а точка неустойчива. При имеется только одна особая точка Если в (4.3) и (4.4) перед стоит знак то все выводы сохраняются с заменой

Таким образом, при движении по слева направо в точке рождается пара особых точек. В случае большего числа измерений одна из рождающихся точек является узлом, другая — седлом. Поэтому эта бифуркация называется также «седло-узел». Это легко увидеть, если дополнить уравнение (4.4) еще одним независимым уравнением относительно у.

Пусть, например,

Отсюда видно, что всегда Исследование поведения х при разных то же, что и выше. Поэтому поведение траекторий на фазовой плоскости имеет вид, изображенный на рис. 3.22. При узел и седло сливаются, образуя особую точку, называемую «седло-узел».

Смена устойчивости. Эта бифуркация называется также транскритической и порождается полем

Особые точки определяются уравнением

Пусть сначала в (4.7) зафиксирован знак Тогда точка устойчива при и неустойчива при а точка наоборот, устойчива при и неустойчива при вывод изображен на рис. 3.23 с теми же обозначениями, что и на рис. 3.21.

Рис. 3.23. Бифуркация смены устойчивости

Рис. 3.24. Прямая и обратная бифуркации удвоения

При фиксировании знака в (4.7) сохраняются все рассуждения с заменой

Бифуркация удвоения. Она появляется, если квадратичный член в разложении отсутствует и следует удерживать кубический член по

Фиксируем знак в (4.8). Особые точки определяются выражениями

Их три. Точка устойчива при и неустойчива при как и в случае (4.7). Точки отсутствуют при а при обе они устойчивы.

Соответствующая бифуркация изображена на рис. 3.24. На нем же изображена обратная бифуркация удвоения, соответствующая знаку в (4.8).

Описанное здесь поведение системы называют также бифуркацией типа «вилка». Мы еще вернемся к бифуркации удвоения в следующем пункте.

Бифуркация Пуанкаре — Андронова-Хопфа (ПАХ). Эта бифуркация происходит из довольно типичной ситуации, возникающей в задачах нелинейной физики. Для этого надо рассмотреть систему, состоящую из некоторого числа степеней свободы. Будем считать сначала эту систему гамильтоновской. Тогда можно представить ее гамильтониан в виде

Ограничимся для простоты только выписанными членами, пренебрегая нелинейностью более высокого порядка. Величины называют иногда матричными элементами взаимодействия.

Введем в качестве независимых переменных комплексные амплитуды по формулам

Подстановка этих выражений в (4.9) дает

где Переменные являются канонически сопряженной парой, т. е.

Им соответствуют, например, в квантовой теории операторы уничтожения и рождения соответственно.

Нетрудно также усмотреть связь комплексных амплитуд с переменными действие—угол:

Использование комплексных амплитуд иногда предпочтительнее из-за симметрии записи.

Воспользуемся теперь одним из уравнений движения (4.12) и запишем его в виде

Обобщение уравнения (4.14) на диссипативный случай производится тривиальным образом. Для этого достаточно нарушить самосопряженность правой части в (4.14). Имеем

где параметр диссипации и

Величины дают нелинейные поправки к частотам -нелинейные поправки к коэффициентам диссипации

Конечно, система (4.15) очень сложна и необычайно богата различными физическими явлениями, с которыми мы будем в соответствующих местах встречаться. Здесь мы остановимся лишь на одном простом случае, убедившись в его типичности. Первое упрощение связано с малостью диссипативных членов и малостью взаимодействия:

Второе упрощение связано с возможностью пренебречь взаимодействием между степенями свободы и оставить в первом приближении лишь собственные перенормировки частоты и диссипации. Это дает

где

Выражения (4.16) и (4.17) отбирают из всего множества членов в (4.15) лишь самые медленные, поскольку быстро осциллирующие члены можно удалить путем усреднения.

И, конечно, следует предположить отсутствие резонансов типа

и отсутствие очень малых частот

Теперь, забыв о происхождении параметров сок, перепишем уравнение (4.16) в виде

где комплексная амплитуда Заметим, что нелинейная перенормировка диссипативного параметра за счет члена очень важна. Этот член специально выделен, так как он может стать при достаточно больших того же порядка, что и оставаясь при этом малым по сравнению с частотой о.

Уравнение (4.18) и есть стандартное уравнение типа (4.2) с

определяющее бифуркацию рождения предельного цикла.

Предполагается, что отличны от нуля, и исслецуются только возможные бифуркации в пространстве связанные с изменением Уравнение для особых точек

дает лишь одну точку покоя Это фокус, который устойчив при и неустойчив при

Дальнейший анализ удобно произвести в полярных координатах

которыми в данном случае являются переменные действие—угол. Домножаем (4.18) на с и складываем результат с комплексно сопряженным уравнением. Получаем

Уравнение (4.21), кроме положения равновесия которое соответствует точке имеет еще одно равновесное значение

Это значение должно удовлетворять очевидному неравенству согласно определению величины Поэтому оно существует только в случае, если имеют разные знаки.

При постоянном значении фаза амплитуды с может меняться со временем. Этому соответствует вращающийся вектор в фазовом пространстве. Таким образом, условие (4.22) определяет предельный цикл. Это объясняет, почему оно не могло быть получено из уравнения (4.20).

Уравнение (4.21) легко исследовать в окрестности точки Имеем

Пусть сначала Тогда предельный цикл (4.22) существует и устойчив при и отсутствует при (рис. 3.25). Так происходит рождение устойчивого предельного цикла из устойчивого фокуса при переходе параметра из отрицательного значения в положительное. При этом переходе через точку бифуркации фокус становится неустойчивым. Эту же картину удобно изобразить в фазовом пространстве или как это сделано на рис. 3.26.

Аналогично изображается обратная бифуркация при Она описывает исчезновение неустойчивого предельного цикла при с одновременным превращением устойчивого фокуса в неустойчивый при

Опишем теперь, что происходит при Из уравнения (4.21) видно, что при точка является устойчивым фокусом, а при неустойчивым фокусом.

Рис. 3.25. Прямая и обратная бифуркации Пуанкаре-Андронова - Хопфа

Рис. 3.26. Рождение устойчивого предельного цикла

Затухание или рост амплитуды однако, происходит степенным образом, а не экспоненциальным, как это имеет место при

Рождение устойчивого предельного цикла описанным выше способом является очень типичным для многих физических приложений. Сделаем следующие два замечания, помогающие лучше выяснить некоторые детали.

Рис. 3.27. Исчезновение неустойчивого предельного цикла

1. Рассмотрим изменение поведения системы при изменении знака в зависимости от знака При изменение до приводит к плавному переходу системы от положения в устойчивом фокусе к колебаниям (они называются автоколебаниями) с амплитудой, пропорциональной V С ростом от нуля и далее амплитуда плавно растет. Такой режим называется мягким возбуждением.

При переход приводит к появлению неустойчивого фокуса, и система возбуждается до тех пор, пока не учтенные в уравнении (4.19) члены не приведут к ограничению ее амплитуды. Эта соответствует жесткому режиму.

2. Мы увидим далее, что увеличение числа степеней свободы еще хотя бы на введение возмущения к уравнению (4.19) в виде внешней периодической во времени силы) приводит к тому, что при определенных неравенствах система теряет структурную устойчивость.

Бифуркация удвоения периода. Эта бифуркация играет важную роль в процессах перехода от ламинарного (регулярного) движения к турбулентному. Им в соответствующем месте далее будет уделено достаточно подробное изложение. Здесь же мы опишем лишь общие свойства последовательности бифуркаций удвоения периода в некотором простейшем случае. Она была обнаружена в работе [13] для отображения

где параметр и 1. Областью определения х является интервал

Запишем одномерное отображение в виде

Оно отображает единичный интервал на него же; однако мера при этом, вообще говоря, не сохраняется. Отображение (4.25) удобно представлять

на графике В случае (4.24) оно изображено на рис. 3.28. Иногда в качестве рассматривают упрощенный вариант

где зависимость от для простоты далее не пишется. Исследование этих двух случаев принципиально ничем не отличается. Важно лишь, что это функции с одним максимумом, который из соображений удобства размещен в центре отображаемого интервала.

Приведем некоторую простейшую схему анализа отображения (4.25) и далее, для конкретности, будем все время подразумевать выражение (4.26).

Найдем сначала неподвижную точку -отображе-ния. Она определяетсяуравнением или

Рис. 3.28. График синус-отображения при

В случае (4.26) уравнение (4.27) определяет две неподвижные точки

Исследуем динамику системы в окрестности х. Для этого введем отклонения у от неподвижной точки:

Считая величины у малыми, находим с точностью до малых первого порядка:

Используя уравнение (4.27), получаем

Правая часть получившегося итерационного уравнения для является константой. Поэтому имеем следующие три случая. Неподвижная точка х является локально устойчивой, если

локально неустойчивой, если

и границей устойчивости при

Вернемся теперь к отображению (4.26). При имеем и, следовательно, точка устойчивая. Траектория притягивается к по крайней мере, если она попадает в ее окрестность. Точка не принадлежит интервалу Таким образом, отображение (4.26) имеет в области значений параметра одну притягивающую точку При и, следовательно, это граница устойчивости. Рассмотрим область значений параметра

Легко убеждаемся в том, что в ней точка неустойчивая, а точка устойчивая и притягивает траекторию. Это означает, что при происходит бифуркация смены устойчивости. Вообще, точка неустойчива при любом и вторая неподвижная точка теряет устойчивость при

Далее следует проявить определенную настойчивость и поискать при другие возможные притягивающие множества, например циклы. Циклом порядка или просто -циклом, является последовательность точек

такая, что

или, иначе,

Рассмотрим -цикл:

График функции

приведен на рис. 3.29. Решениями уравнения (4.32) являются точки пересечения этой кривой с диагональю квадрата. Их может быть одна, две или четыре. Можно убедиться элементарными вычислениями, аналогичными проделанным выше, что устойчивый -цикл появляется только в области и существует вплоть до некоторого значения

Численный анализ показывает, что существует последовательность значений параметра: такая, что при переходе через происходит бифуркация от притягивающего -цикла к -циклу.

Рис. 3.29. График двойной итерации

Рис. 3.30. Пример бифуркаций удвоения синус-отображения вблизи полуцелого значения

Это и есть бифуркации удвоения периодов. Пример их для синус-отображения (4.24) приведен на рис. 3.30, где изображена функция распределения значений после большого числа итераций. Она концентрируется возле притягивающих точек -цикла в зависимости от значений параметра

Существует ли какая-либо закономерность в последовательности бифуркационных значений Оказывается, существует в пределе Она была обнаружена в работе [14] и имеет вид

Иначе,

т. е. расстояние между двумя последовательными бифуркациями экспоненциально убывает. Это указывает на существование некоторого предельного значения в последовательности бифуркаций удвоения (ком. 4).

Бифуркациями удвоения периодов не исчерпываются все возможности появления различных устойчивых (притягивающих) циклов. Полный ответ дает следующая теорема.

Теорема Шарковского [15]. Пусть есть непрерывное отображение линейной области и пусть имеет -цикл. Тогда имеет любой -цикл, предшествующий в последовательности

В формуле (4.24) стрелки указывают только направление упорядочивания натуральных чисел. Если известно, что система имеет -цикл и условия теоремы выполнены, то в системе также есть циклы, соответствующие всем числам, стоящим справа от

Итак, теорема Шарковского выделяет в качестве последней бифуркацию к периоду 3 и ставит тем самым вопрос: что же следует за ней?

Замечание о бифуркациях. Последний пример, так же, как и большинство предыдущих в этом параграфе, является одномерным. Однако уравнение движения в нем является конечно-разностным, а не дифференциальным. Это сразу обогатило его. Вряд ли можно ошибиться в оценке сложности одномерной итерации, если обратиться к теореме Шарковского (4.34). Конечно, можно обратиться с помощью тех же методов к анализу динамических систем более высокого порядка. Трудно обвинить в чем-либо того исследователя, который, предвидя ожидающие его трудности на этом пути, попытается взяться за задачу иначе.

КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 3