§ 1. Теория возмущений

Исследование малых изменений состояний системы лежит в основе многочисленных методов, которые представляют собой различные формы теории возмущений.

Возмущение и топология фазового пространства. Фазовый портрет системы позволяет составить достаточно полное представление о виде траекторий и о типах движения системы. Поэтому можно поставить вопрос об эквивалентности каких-либо движений с точки зрения их фазовых портретов. Одним из важных признаков сравнения различных траекторий является их топологическая эквивалентность или неэквивалентность.

Рис. 2.1. Топологически эквивалентные (а и б) и неэквивалентная им (в) траектории

Если фазовую траекторию можно путем плавной деформации перевести неособым образом в другую траекторию, то они топологически эквивалентны. На рис. 2.1 переход от а к в или от к в нельзя совершить неособым образом. Введенное понятие позволяет взглянуть на задачу о возмущении системы с некоторых общих позиций.

Интуитивно мы понимаем, что хотя возмущение может быть даже очень малым по величине, этого может быть недостаточно, чтобы его влияние на систему также оказалось малым. Во-первых, система может оказаться сложной, например неустойчивой, для таких возмущений. И тогда «малые причины» вызовут «большие следствия». Во-вторых, само возмущение может оказаться сложным. И тогда отклик системы в чем-то окажется не малым. На рис. 2.2 приведены три типа возмущений потенциала. Два из них (а и в) изменяют топологическую структуру фазового портрета (рис. 2.36), уменьшая (а) или увеличивая (б) число особых точек системы.

Ряды по степеням возмущения. Пусть снова система, для простоты, является гамильтоновской и ее возмущенный гамильтониан имеет вид

Пусть также есть некоторая физическая величина, зависящая от всех динамических переменных и времени. Если в отсутствие возмущения значение равно то наивная точка зрения заключается в желании отыскивать вид в виде ряда

по степеням малого параметра Величины можно находить каким-либо подходящим способом, например последовательными приближениями.

К сожалению, столь прямолинейный способ почти никогда не справедлив. В лучшем случае разложение по степеням параметра типа (1.2) справедливо на ограниченном интервале времени, который сам зависит от

Рис. 2.2. Невозмущенный (сплошная кривая) и возмущенный (штриховая кривая) потенциалы

Рис. 2.3. Возмущение фазовых портретов

Например, должно быть

с некоторым Более того, наиболее интересные события разыгрываются как раз при . В худшем случае для описания необходимой физической ситуации приходится пользоваться совсем другими рядами, например по степеням что не имеет ничего общего с обычной теорией возмущений.

Наконец, существуют такие вопросы, на которые надо давать вполне прямолинейный ответ, не связывая себя никакими ограничениями типа (1.3). Примером такого вопроса является следующий: остаются ли инвариантные торы в результате действия малого возмущения?

Анализ примеров поможет нам понять некоторые внутренние причины, затрудняющие использование рядов типа (1.2) по степеням

Возмущение свободного движения. Рассмотрим сначала свободное движение частицы, возмущаемое периодической силой:

Условие периодичности выглядит следующим образом:

Оно означает, что существует фурье-разложение:

Малость параметра возмущения позволяет записать в нулевом приближении

Отыскиваем первое приближение подставляя (1.6) в правую часть (1.4):

Можно написать в произвольном приближении

На первый взгляд кажется, что уравнение (1.8) решает вопрос. Например, отыскание сводится к двойному интегралу по времени от правой части (1.7). Далее этот процесс продолжается, как это предписывается общей формулой (1.8). Однако на некотором шаге нас ждет неприятность. Проследим за этими действиями.

Пусть, например, Тогда Однако уже в встречаются экспоненты вида

где положительные и отрицательные целые числа. Если между ними возможно соотношение то уже поправка будет расходиться, точнее,

Следовательно, если

то ряд теории возмущений

начинает расходиться.

Мы столкнулись с элементарной формой резонанса. Резонансы и малые знаменатели. Подойдем к этому явлению с более общей точки зрения. Рассмотрим периодическое по времени возмущение гамильтоновской системы

совершающей финитное движение. Невозмущенное движение является интегрируемым, поэтому невозмущенная траектория является обмоткой тора. Это позволяет записать потенциал возмущения V в виде разложения:

условие вещественности V дает

Рассмотрим гамильтоновские уравнения движения, используя разложение (1.11):

В нулевом приближении

Подставляя эти выражения в правую часть (1.12), находим уравнения первого приближения:

где отличается от постоянным фазовым множителем. Уравнение для имеет более сложный вид:

Смысл уравнений (1.13) и (1.14) достаточно прост. Решения исходных уравнений движения (1.12) отыскиваются в виде рядов:

После подстановки этих разложений в (1.12) следует отобрать члены, стоящие при одинаковых степенях

Теперь правая часть в уравнении (1.13) является только функцией времени, не зависящей от переменных задачи. Поэтому оно сразу интегрируется и дает

где зависимость от для простоты записи не указывается. Аналогично интегрируется и уравнение (1.14) для фазы

Отсюда

Проведем анализ полученных выражений. Прежде всего замечаем, что они содержат резонансные знаменатели, обращение которых в нуль,

при некоторых резонансных значениях действия означает, что частоты соизмеримы. Возможность выполнения равенства (1.19) зависит от разных обстоятельств. Это связано с тем, какие номера гармоник основного движения системы и внешнего возмущения имеются в разложении (1.11). Кроме того, важную роль играет также фактор нелинейности, т. е. зависимость «в от Действительно, в этом случае даже при произвольных (в том числе и при несоизмеримых их значениях) можно изменением достичь выполнения условия (1.19) точно.

Таким образом, одним из характерных свойств нелинейной системы является существование в ней резонансов. Если условие (1.19) не может быть выполнено в уравнениях первого приближения, то заведомо более сложное условие резонанса сможет быть выполненным в каком-либо из более высоких порядков итерационного процесса. В этом и заключается проблема малых знаменателей (ком. 1).

Следует также заметить, что условие (1.19) не обязательно должно выполняться точно. Некоторая малая окрестность относительно

резонансной точки также является «опасной», поскольку знаменатели в (1.16) и (1.18) по-прежнему остаются малыми.

Простые соображения показывают, что наличие резонансов приводит в соответствующем выражении к линейному росту со временем поправок для действия. Действительно, обратимся к уравнению (1.13) для поправки первого приближения. Резонанс или близость к резонансу означает, что в правой части (1.13) показатель либо равен нулю (точный резонанс), либо очень медленно изменяется и с некоторой степенью точности может быть положен равным константе. Тогда имеем

и время, в течение которого нарастает первая поправка, равно

Эта оценка лучше, чем в предыдущем примере. Вообще, переменные действие—угол очень удобны для того, чтобы отбирать резонансные члены. И это естественно, так как в гамильтониане сразу выделяются циклические переменные по которым совершается периодическое движение.

Внутренние резонансы. Описанный пример показал, как возникает резонанс между системой и внешней силой. Точно так же можно проследить за появлением малых знаменателей, обусловленных внутренними резонансами между разными степенями свободы системы. Для этого достаточно посчитать, что переменные в формулах (1.10) являются -мерными векторами. Тогда разложение (1.11) принимает вид

где вектор с целочисленными положительными и отрицательными компонентами.

Уравнения (1.12) трансформируются в следующие:

где Последовательные приближения для уравнений (1.15) строятся так же, как и в одномерном случае. Вместо рядов (1.15) записываем

Так же, как и ранее, можно в нулевом приближении положить

где для сокращения записи положено Подставляя (1.24) в правую часть (1.22) и интегрируя по времени, получаем для первого приближения

Это выражение аналогично (1.16) и также содержит знаменатель, который может обращаться в нуль, если выполнено условие резонанса

Теперь выражение (1.26) принципиально отличается от (1.19), и это связано с тем, что число степеней свободы Так же, как и ранее, при

возможны резонансы между системой и внешним возмущением. Однако резонансы возможны при даже в случае, если возмущение вообще не зависит от времени. Тогда вместо (1.10) имеем

и в формулах (1.21), (1.22) и (1.25) достаточно просто положить и ликвидировать суммирование по Условие резонанса (1.26) переходит в следующее:

где аргументы в частотах для простоты опущены.

Уравнение (1.27) определяет резонансные торы, на которых траектории являются замкнутыми и, следовательно, не покрывают поверхность тора. Мы уже встречались с резонансным условием (см. (1.6.10)) и знаем, что оно создает трудности в определении инвариантных торов интегрируемых систем (см. (1.6.20)). Сейчас стало ясно, что то же условие (1.27) создает препятствие для построения теории возмущений. Его можно интерпретировать как внутренний резонанс в системе между ее различными степенями свободы. Например, условие

означает соизмеримость частот колебаний соответственно по первой и второй степеням свободы.

Трудно придумать такую систему, в которой бы существовали инвариантные торы и отсутствовали резонансные торы. Поэтому явление резонанса внутреннего или внешнего является одним из фундаментальных понятий нелинейной физики. Мы остановимся на его исследовании ниже.

Резонанс волна—частица. Следующий пример очень полезен, так как позволяет элементарным путем убедиться в том, что недостатки используемого приближенного метода могут породить несуществующие трудности. Вернемся к примеру (6.21) из гл. 1, в котором заряженная частица движется в поле плоской волны:

Формула (1.6.22) показывает, что эта задача сводится к задаче о движении нелинейного маятника (§ 3 гл. 1), которая точно интегрируется. Попробуем посмотреть на уравнение (1.28) с точки зрения теории возмущений. Малость возмущения можно определить таким образом. Невозмущенная энергия частицы равна а энергия возмущения (работа силы поля на длине порядка ширины потенциальной ямы равна Поэтому малым параметром задачи является величина

где -частота малых колебаний частицы в потенциальной яме волны (см. (1.6.23)).

Если далее действовать по теории возмущений, то следует ввести переменные играющие роль действия—угла, и записать для них разложение

Поскольку (свободное движение при то и резонансы означают, что

Условие (1.30) означает, что частица движется со скоростью равной

фазовой скорости волны При резонансе малость параметра возмущения (1.29) дает

Таким образом, при условии (1.31) мы можем воспользоваться теорией возмущений, однако ее наивное применение сразу приводит к появлению резонансного знаменателя. В действительности ясно, что возникшая особенность фиктивная и является лишь отражением неумелого использования определенной техники.

Положение нельзя спасти, даже если выбрать более удобные переменные

приводящие к уравнению (1.6.22):

т. е. уравнению для маятника (если провести сдвиг на Нулевое приближение для у означает

и условие резонанса, вытекающее из уравнения первого приближения,

означает т. е. все то же условие (1.30). Однако условие малости возмущения теперь имеет совсем другой вид:

Во-первых, условие (1.33) означает малость энергии возмущающего потенциала по сравнению с энергией частицы, движущейся вместе с волной. Во-вторых, оно означает, что частица достаточно далека от резонанса, т. е. ее скорость должна отклоняться заметным образом от и. В этом случае все представляется вполне разумным. Ряд теории возмущений существует, и поправки вычислимы, а использование приближенного метода (там, где можно было решать задачу точно) ограничило естественным образом наши возможности.

Где мы не можем получить решение по теории возмущений? При колебаниях частицы в потенциальной яме в точках поворота скорость частицы обращается в нуль. Этому соответствуют точки, где т. е. Таким образом, «опасными» для теории возмущений по параметру являются окрестности точек поворота. Это сразу же означает, что по теории возмущений нельзя проинтегрировать задачу (1.28) на интервале времени большем, чем период колебаний в яме, т. е.

Рассмотренный элементарный пример достаточно хорошо проясняет некоторые общие «неудобные» места, возникающие при использовании теории возмущений. Мы видим, что может существовать некоторая форма регуляризации рядов, заключающаяся в подборе нужной замены переменных. Выше это выглядело как переход в другую систему отсчета.

Опрокидывание фронта волны. Рассмотренные выше примеры могут вселить некоторый пессимизм относительно возможности применения теории возмущений к нелинейным системам. При всей справедливости этого ощущения следует иметь в виду, что некоторые вопросы динамики решаются

именно с помощью теории возмущений, и ее применение часто приводит наиболее коротким путем к важным физическим следствиям.

Пусть, например, одномерный поток несжимаемой фазовой жидкости описывается макроскопическим уравнением

где скорость потока вдоль некоторого направления х. Уравнение (1.34) соответствует свободному движению невзаимодействующих частиц. Пусть также в начальный момент времени задан некоторый профиль

Нас будет интересовать изменение его со временем. По мере роста времени этот профиль перемещается. Поэтому можно говорить также о распространяющейся волне и о ее форме.

При не очень больших временах изменение формы волны мало отличается от ее начальной формы Поэтому естественно искать эти изменения в виде ряда по степеням отклонения от или, как говорят, по степеням возмущения

В качестве нулевого приближения выберем Уравнение (1.34), в частности, показывает, что

т. е. эволюция волны должна происходить, так как производная по времени отлична от нуля. Уравнение первого приближения имеет вид

Разложим в ряд Фурье

и рассмотрим, как эволюционируют со временем гармоники с большими значениями Пусть характерный масштаб изменения То, что мы называем большими означает условие т. е. длина волны возмущения очень мала по сравнению с размером начального профиля. Это позволяет не обращать внимания в уравнении (1.35) на зависимость и от х. Тогда для мелкомасштабной гармоники возмущения получаем уравнение

Уравнение (1.37) имеет нетривиальное решение с если выражение в квадратных скобках обращается в нуль, т. е.

Формула (1.38) содержит большую информацию об эволюции волны.

Согласно гармоника возмущения ведет себя со временем следующим образом:

Первый член в показателе экспоненты связан просто с движением частиц со скоростью различной в разных точках пространства. Однако второе

слагаемое приводит уже совсем к нетривиальному результату. Возмущение может либо затухать со временем, либо нарастать в зависимости от знака Условием неустойчивости является

Остановимся на этом случае, так как именно он представляет главный интерес.

Рост со временем гармоник с большими значениями означает, что в сумме (1.36) можно пренебречь теми членами разложения, которые растут медленно или затухают.

Рис. 2.4. Последовательное развитие опрокидывания фронта волны

Поэтому наше приближение, заключающееся в использовании неравенства вполне оправдано в неустойчивой ситуации (1.40). Кроме того, рост с большими значениями означает, что в волне появляется тенденция к заострению профиля (рис. 2.4) и к ее опрокидыванию.

Такимобразом, при условии (1.40) волна эволюционирует к опрокидыванию. Характерное время этого процесса определяется из (1.39) как время вырастания гармоники с максимальным инкрементом неустойчивости до величины порядка единицы, т. е.

Мы еще неоднократно будем возвращаться к описанному явлению, особенно в части II. Здесь лишь ограничимся замечанием, что явление опрокидывания сопровождается появлением многозначности решения. Оно присуще широкому классу физических процессов, включающему и динамику областей фазового пространства, и гидродинамику, и различные астрофизические процессы.

Рис. 2.5. Различие в эволюции профиля в зависимости от его угла наклона

Явление опрокидывания уже встречалось нам при описании расплывания фазовой капли (§ 2 гл. 1). Здесь его физический смысл тот же: частицы с большей скоростью стремятся опередить частицы, движущиеся с меньшей скоростью. В результате при происходит сглаживание профиля (рис. 2.5а), а при -увеличение причем

(рис. 2.56). Формула (1.42) и есть условие опрокидывания. То, что происходит после опрокидывания, до сих пор не удается описать — это представляет собой одну из больших загадок природы (ком. 2).

Замечание о степенных рядах. Мы рассмотрели примеры анализа некоторых задач, в которых получение физического результата было связано с использованием степенных рядов по малому параметру. Последние можно отнести к категории наивных. Более сложные вопросы, которые мы предъявляем к физическим системам, вынуждают обращаться и к более сложной

технике. Тем не менее физик очень редко может позволить себе отказаться от «прикрытия» каким-либо малым параметром. Как правило, такойпараметр находится, если его достаточно хорошо поискать. Тогда возникает некоторое разложение по степеням малого параметра.

Таким образом, мы почти всегда оказываемся в тисках определенных разложений, и разнообразие наших возможностей связано с разнообразием нашей изобретательности при использовании рядов. Очень многие последующие примеры будут иллюстрацией этих слов. По существу, наш успех или неудача связаны с тем, насколько хорошо мы понимаем суть нелинейного явления, чтобы найти ему адекватную близкую реализацию, упрощающую исследование.

Поэтому не следует удивляться тому, что название ряда последующих разделов не будет содержать термина «теория возмущений», хотя речьв них будет идти именно о теории возмущений, однако в принципиально иной модификации, чем это было здесь.