§ 2. Метод усреднения

Правильнее было бы говорить «методы усреднения», так как существуют разные их варианты, хотя в основе всех их лежит одна и та же идея. Представим себе, что движение системы характеризуется двумя сильно различающимися временными масштабами — скажем, быстрые осцилляции и их медленный дрейф (рис. 2.6). Тогда можно по

«быстрому» времени провести усреднение и получить новое описание системы, учитывающее только ее осредненную эволюцию. Малым параметром, по которому строится соответствующая теория возмущений, является отношение «быстрого» времени к «медленному» (ком. 3).

Теорема об усреднении. Существует несколько форм этой теоремы. Приведем ту, которая наиболее удобна для наших целей.

Рис. 2.6. Усредненная по быстрым осцилляциям траектория

Пусть есть некоторая функция от переменных задачи, определенная на траектории движения.

Средним по времени называется величина

Аналогично вводится среднее по фазе:

Содержание теоремы об усреднении в следующем: если функция достаточно «хорошая» и движение происходит на невырожденном торе, то

т. е. фазовое и временное средние равны (ком. 4).

Доказательство основано на теореме Лиувилля-Арнольда. Разложимей) в ряд Фурье:

Поскольку движение происходит на инвариантном торе, то

Подставляем выражение для в (2.4) и применяем оператор усреднения (2.1):

По условию тор является невырожденным, т. е. Отсюда

где - нулевая фурье-гармоника в разложении (2.4).

С другой стороны, можно сразу применить операцию усреднения (2.2) по фазе к выражению (2.4) и получить

что и доказывает теорему.

Эта несложная теорема позволяет находить усредненные уравнения и раскрывает одновременно некоторые слабые места метода усреднения. По-прежнему мы можем рассматривать систему только вдали от резонансов. Кроме того, реально всегда действия постоянны, а слабо эволюционируют со временем. Тогда в формуле (2.1) нельзя перейти к пределу и операция усреднения ограничивается максимальным масштабом Это означает, что в правой части (2.6) члены с не обращаются строго в нуль, а имеют порядок

где — характерная частота задачи.

Усредненные уравнения. Теорема об усреднении приведена выше в форме, в которой ее удобно применять для систем, являющихся близкими к гамильтоновским. Такие системы можно записать в виде

где есть малый параметр, вообще говоря, никак не связанный с параметром Для простоты далее ограничиваемся случаем одной степени свободы

Если система (2.8) гамильтоновская, то каноническая форма уравнений движения

приводит к следующему соотношению между функциями

В общем случае это, однако, не требуется, и ограничение (2.9) можно не накладывать (ком. 5).

Применим теперь оператор усреднения (2.1) к системе (2.8). Согласно теореме об усреднении (2.3) для этого достаточно усреднить уравнения (2.8) по фазе Имеем

где функция получается из усреднением по фазам (2.2), а 1 есть решение усредненного уравнения (2.10) с начальным условием

Уравнение (2.10) сводится к квадратуре.

Основное достоинство метода усреднения по быстрой переменной заключается в его простоте, так как операцию усреднения можно выполнить достаточно легко. Однако в этом же и его главная трудность — как получить условие применимости процедуры усреднения. Одного лишь условия невырожденности инвариантных торов невозмущенной системы (в одномерном случае это означает, что частота не обращается в нуль) явно недостаточно. Еще одно (по крайней мере) ограничение связано со временем, в течение которого усреднение имеет смысл. Приведем элементарную оценку этого времени в рассмотренном одномерном случае (2.10).

Заметим предварительно, что при выполнении усреднения левой части первого уравнения (2.8) появляется «слабое» место. Усреднение идет по интервалу времени определяющему характерное время медленного изменения действия I (см. замечание, приводящее к формуле (2.7)). Поэтому на интервале времени

изменения величины I не могут накопиться и, следовательно, отличие I от истинного значения I мало. Отсюда следует оценка

Она показывает, что применение метода усреднения оправдано, так как время применимости (2.11) существенно больше большого временного масштаба за счет малости

Уравнение Ван дер Поля. Это — простое и часто обсуждаемое уравнение. На нем проще всего показать прием усреднения, который в дальнейшем будет встречаться в значительно более сложных задачах. Вид уравнения

представляет собой линейный осциллятор с частотой нелинейной силой трения. Она пропорциональна, как обычно, скорости х с коэффициентом трения у и множителю, зависящему от того, больше или меньше смещение осциллятора, чем некоторая постоянная величина

Для того чтобы применять метод усреднения, надо найти быструю и медленную части движения. Колебания осциллятора с частотой со будут соответствовать быстрому движению, по которому произведем усреднение. Медленное изменение энергии колебания из-за диссипативного члена будет соответствовать дрейфу системы.

В невозмущенном случае введем переменные действие—угол:

и уравнение (2.12) в этих переменных принимает вид

Подставляя сюда формулы для и усредняя по фазам, находим, опуская для простоты черту усреднения,

где введены малый параметр

и константа с размерностью действия

Исследование уравнения (2.13) тривиально. У него два положения равновесия:

В окрестности первого из них

и движение неустойчиво (действие растет). Точка называется неустойчивым фокусом (рис. 2.7). В окрестности второго положения равновесия

и действие стремится к Этому значению действия соответствует некоторое периодическое движение — устойчивый предельный цикл (рис. 2.7). Если изменить знак у, то предельный цикл станет неустойчивым, а фокус — устойчивым (рис. 2.8).

Вся конструкция решения имеет простую физическую интерпретацию. Действие равно площади, ограниченной на фазовой плоскости траекторией осциллятора, совершающего приблизительный цикл колебаний.

Рис. 2.7. Неустойчивый фокус и устойчивый предельный цикл

Рис. 2.8. Устойчивый фокус и неустойчивый предельный цикл

При условии что параметр в (2.14) мал, траектория оказывается не замкнутой, но «щель» много меньше диаметра витка. Слабая диссипация приводит к медленному дрейфу витка в ту или иную сторону в зависимости от значений параметров.

Движение в быстропеременных полях. Если частица движется в поле, которое осциллирует с большой частотой со, то можно провести усреднение по той части движения, которая «наведена» этим полем. Малым параметром задачи будет величина

где характерное время медленной динамики усредненного движения.

Очевидно, что влияние осциллирующего поля должно сказаться на медленной эволюции системы лишь во втором порядке, для того чтобы среднее по времени было отличным от нуля. Время усреднения должно удовлетворять неравенству

Пусть, для простоты, система является гамильтоновской с одной степенью свободы, движущейся в потенциале и под действием быстро осциллирующей силы

Тогда уравнение движения имеет вид

Идея усреднения в данном случае выглядит так (ком. 6). Представим решение (2.16) в виде

где X есть медленно меняющаяся функция времени, которая мало отличается от решения при есть малая добавка, быстро осциллирующая и обусловленная влиянием силы Это означает, что усреднение выражения (2.17) дает

Подставляем (2.17) в (2.16) и разлагаем по до второго порядка:

Следующий шаг заключается в том, что быстро осциллирующие члены должны компенсироваться независимо от медленно меняющихся членов. Выделяем из (2.18) все члены, пропорциональные либо либо Это дает

где штрих обозначает дифференцирование по Член

так как нас интересует вынужденное решение уравнения (2.19). Поэтому согласно неравенству (2.15) достаточно написать

пренебрегая членом

Подставляем теперь (2.20) в (2.18) и усредняем по времени

Вводим эффективный потенциал

или, в более общей форме,

где черта обозначает усреднение по быстрым осцилляциям. Таким образом, медленное движение описывается гамильтоновской формой уравнений и

Сравнение (2.20) с дополнительным слагаемым в (2.21) показывает, что

т. е. потенциал перенормируется на среднюю кинетическую энергию дополнительного быстроосциллирующего движения. Результат достаточно ясен. Он получен в предположении

где и - характерные длины соответственно осцилляций и дрейфа. Используя (2.20), получаш

Это неравенство показывает, что поле может быть и большим. Важно, чтобы достаточно велика была частота

За внешней непримечательностью формулы (2.26) скрыт очень важный физический вывод. Его происхождение связано с независимостью условий (2.15) и (2.25). Действительно, рассмотрим отношение энергии осциллирующего движения

к энергии дрейфа V, используя какую-либо из формул (2.21)-(2.24):

Это означает, что искомое отношение равно произведению малого параметра на большой и может быть, вообще говоря, произвольным. В частности, возможно неравенство и, следовательно, фазовый портрет системы в быстроосциллирующем поле может существенно измениться.

Приведем несколько примеров, иллюстрирующих сделанное утверждение.

Рис. 2.9. Маятник с колеблющейся точкой подвеса

Маятник с осциллирующей точкой подвеса. Этот пример взят из книги Ландау и Лифшица [7]. Он наиболее нагляден для демонстрации изменений, к которым могут приводить быстроосциллирующие поля.

Обычный маятник описывается уравнением движения

где — угол отклонения его от оси у (рис. 2.9). Если точка подвеса маятника совершает вертикальные колебания с большой частотой амплитудой а, то сила, действующая на маятник, равна

Отсюда и из формулы (2.22) находим

где безразмерный параметр введен в (2.27) и в данном случае равен

Таким образом, полная потенциальная энергия усредненного движения маятника равна

Найдем положения равновесия маятника, т. е. точки в которых Имеем

Условие устойчивости положения равновесия означает Такими являются точки если выполнено неравенство

Итак, если частота достаточно велика, то маятник может совершать устойчивые колебания относительно вертикального положения. Высокочастотное поле создало потенциальную ямку на вершине невозмущенного потенциального горба (рис. 2.10). Два новых неустойчивых положения равновесия

возникли в точках Они определяются из уравнения

которое имеет решения при том же условии (2.30).

Аналогично может быть рассмотрен случай, когда точка подвеса совершает горизонтальные осцилляции с теми же параметрами. Дополнительная сила равна [7]

и отсюда

Рис. 2.10. Новое положение равновесия маятника

Так же, как и ранее, при устойчиво только старое положение равновесия При условии (2.30) возникают два новых положения равновесия, которые определяются уравнением

Маятник может колебаться около некоторого положения равновесия, расположенного под углом к оси у.

Вихревой дрейф. Мы уже отмечали, что высокочастотное поле может сильно изменить фазовый портрет системы. Красивым примером тому может служить динамика заряженных часгиц. В электростатических полях заряды не имеют положения равновесия (теорема Ирншоу). Однако если поле совершает быстрые осцилляции, то такое положение может возникнуть [8]. Это происходит почти так же, как с маятником. Запишем уравнение движения заряда в виде

где Представим координату заряда в виде (2.17):

Подставляем (2.32) в (2.31) и разлагаем по степеням

Отсюда находим для быстрой компоненты движения

Используя (2.34) и оставляя в (2.33) только старшие члены, получаем после усреднения по времени

Учтем, что Тогда можно ввести скалярный потенциал дрейфа, обусловленного осцилляционной частью поля,

и переписать уравнение для

Уравнению (2.36) соответствует гамильтониан усредненного движения:

Из формулы (2.36) следует, что частицы выталкиваются из области сильного поля в область слабого поля независимо от знака их заряда. Таким образом, в высокочастотном поле появляется реальная возможность создания конфигурации удерживающей частицы в некоторой области пространства (ком. 7).

В общем случае поле зависит от времени более сложным образом. Представим силу давления высокочастотного поля в следующей общей форме:

где

Из следуют такие же соотношения для

Это позволяет преобразовать (2.38) к следующему виду:

где

Выражение (2.40) показывает, что в результате усреднения векторных полей может возникнуть непотенциальная вихревая часть [10]. Это возможно, если векторный потенциал А, определяемый формулой (2.41), отличен от нуля. Поскольку поле потенциально, то это возможно лишь в случае, если поля и 1 неколлинеарны.

Пусть поле определяется не одной частотой со, как это было ранее, а несколькими частотами. Разложим в ряд:

где к. с. означает члены, комплексно сопряженные предыдущим. Относительно частот будем предполагать, что все они велики, а их разности малы, т. е.

Кроме того, условие вещественности означает

Подстановка (2.42) в (2.39) дает

Из (2.44) ясно, что при различных (хотя бы двух) частотах и неколлинеарности полей векторы 1 и также неколлинеарны, и должна возникнуть непотенциальная часть силы Согласно (2.41) имеем

где учтено неравенство (2.43), и поэтому оставлены только медленно меняющиеся члены.

Если в разложении (2.42) есть только одна гармоника с номером то (2.45) переходит в (2.35). Значительно больший интерес представляет выражение (2.41) для векторного потенциала А. Подставляем в него (2.42) и (2.44):

В случае одной частоты и непотенциальный член отсутствует. Точно так же потенциал А обращается в нуль, если все коллинеарны.

Итак, возмущающее высокочастотное поле привело к появлению специфического дрейфа частицы, содержащего вихревую часть. Соответствующую часть дрейфа будем называть вихревым дрейфом.

Последнее замечание раскрывает некоторую особенность метода усреднения он является неканоническим. Поэтому, например, его применение может привести к решениям, топологически не эквивалентным решениям невозмущенной задачи.