Глава 4. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ И ХАОС

До сих пор при рассмотрении различных вопросов динамики частиц нам приходилось проявлять определенную сдержанность в изложении, которая была тем сильнее, чем более сложные вопросы динамики рассматривались. Причина этого в том, что мы намеренно не упоминали еще об одном важном свойстве движения — возможности траектории быть случайной, или, иначе, возможности появления динамического хаоса. Вводимое здесь новое понятие является достаточно тонким и нуждается поэтому в определенных предварительных комментариях.

Новое явление, которое стало интенсивно обсуждаться в физике в основном лишь в последние двадцать лет, заключается в следующем. Рассмотрим динамическую систему в расширенном пространстве всех канонических переменных и всех параметров Движение системы происходит в некоторой области такого пространства. Пусть также на систему не действуют никакие случайные силы, и все параметры системы также являются неслучайными. Тем не менее в некоторой области фазового пространства и значений параметров динамика системы стохастическая. Последнее утверждение означает, что мы никаким способом не можем отличить динамический процесс, реализуемый траекторией системы

от некоторого случайного процесса. Более того, всего лишь изменением параметров или изменением начальных условий мы можем получать либо регулярную (например, условно-периодическую) траекторию, либо стохастическую траекторию системы. Описанное явление и называется динамической стохастичностью. Его синонимы — хаос, стохастичность, нерегулярное движение.

Явление хаоса присуще только нелинейным системам. Оно может возникать уже при числе степеней свободы N С ним связана неустойчивость и разрушение инвариантных торов. Поэтому нельзя получить полное представление об эволюции динамических систем, не затрагивая области стохастической динамики. И как раз теперь полезно задать вопрос о том, каких систем больше. Его можно поставить следующим образом. Рассмотрим некоторое воображаемое пространство, в котором одна точка изображает динамическую систему. Как много среди этого множества точек таких, у которых есть область стохастичности Оказывается, что почти все динамические системы [имеют область хаоса. И наоборот, системы, которые имеют только регулярную динамику, представляют собой исключительные случаи.

Сделанное утверждение столь сильно изменяет наше общее представление о динамических системах, что это приводит к необходимости нового взгляда и нового подхода к анализу нелинейной динамики. Предположения о законах случая и статистических ансамблях, которые ранее были оправданы лишь для очень больших систем теперь, во-первых, перестают быть предположениями, а, во-вторых, становятся применимыми при малом числе степеней свободы Методы статистической механики вторгаются в малые системы, в которых отсутствуют случайные воздействия.

Тем не менее следует обязательно заметить, что область возникновения хаоса может быть либо очень малой, либо вообще не иметь реального физического смысла для данной задачи. Поэтому хаос оказывается не всегда заметным или не всегда присущим условиям, в которых протекает физическое явление.