§ 4. Бесстолкновительные ударные волны

Идея бесстолкновительных ударных волн появилась в теории разреженной плазмы, и сейчас они стали одним из широко распространенных видов нелинейного движения в различных физических средах. Образование ударной волны обусловлено, во-первых, существованием механизма, ограничивающего опрокидывание волны, и, во-вторых, скачком некоторых физических параметров при переходе через фронт ударной волны. В обычной газодинамике оба этих фактора возникают по одной и той же причине: из-за столкновений или из-за вызываемой ими диссипации (вязкости, теплопроводности и т. д.).

В разреженной плазме длина свободного пробега очень велика. Более того, причины, сдерживающие укручение, и причины, приводящие к диссипации, могут резко отличаться друг от друга. В этом и заключается новая особенность бесстолкновительных ударных волн, которая создает совсем другие, чем в газодинамике, условия, определяющие ширину фронта волны и его структуру. Поэтому слово «бесстолкновительная» не означает отсутствие диссипации вообще, а лишь то, что она обусловлена необычными столкновениями. В результате может возникнуть необычная для газодинамики ситуация, в которой специфический диссипативный механизм играет лишь символическую роль, уступая ламинарной теории приоритет в определении главных процессов формирования волны (ком. 5).

Формирование волны. Итак, нам нужны два определяющих процесса. Причиной, останавливающей укручение фронта волны, может быть дисперсия. Для этого необходимо, чтобы скорость волны лежала в некотором интервале

Можно для упрощения рассмотреть случай слабых надкритичностей:

и область слабой дисперсии. В этом случае, как мы уже видели, звуковой тип волн может быть описан с помощью уравнения При малых диссипациях достаточно безразлично, как написать соответствующий ей член. Запишем его в виде обычного вязкого члена, хотя коэффициент диссипации может определяться совсем не столкновениями.

Эти простые рассуждения приводят нас к уравнению, являющемуся комбинацией КдВ-уравнения и уравнения Бюргерса:

Чуть ниже мы покажем более детально, как возникает подобное (4.3) уравнение. Найдем его решение в виде стационарной волны

Имеем после подстановки (4.4) в (4.3):

Для ударной волны следует положить граничное условие

Тогда интегрирование (4.5) дает

Если считать, что переменная аналогична времени, то уравнение (4.7) описывает нелинейный осциллятор с трением, движущийся в потенциале

(рис. 8.13, 8.14). Правая часть траектории на фазовой плоскости почти близка к солитону

движущемуся направо со скоростью и удовлетворяющему условиям (4.6). Левая часть представляет собой затухающий осциллирующий шлейф (при малых и соответствует слабо затухающим колебаниям в потенциальной яме (4.8) (рис. 8.15).

Рис. 8.13. Фазовая плоскость стационарной волны

Рис. 8.14. Эффективный потенциал для стационарной волны

Рис. 8.15. Структура бесстолкновительной ударной волны

Структура фронта волны. Предельное значение

очевидно, соответствует положению частицы на дне ямы Из (4.8) это дает

Из (4.9) следует, что

Уравнение (4.10) дает величину скачка скорости в ударной волне:

Отсюда следует также связь между скоростью ударной волны и величиной скачка:

Тонкая структура ударной волны зависит от величины диссипации Ее проще всего исследовать, линеаризуя уравнение (4.7) в окрестности точки Имеем для отклонения от равновесия

Характеристические показатели равны

Отсюда следует, что при

асимптотический вид профиля волны следующий:

Ширина фронта волны равна

Это выражение является предельным, т. е. оно имеет место на конце шлейфа ударной волны. В непосредственной близости от фронта ударной волны картина осцилляций выглядит иначе. Это связано с тем, что период осцилляций решения вблизи сепаратрисы логарифмически расходится (см. § 3 гл. 1).

Определим характерное расстояние между двумя последовательными максимумами вблизи фронта волны. Из первых двух членов уравнения (4.7) имеем оценку для изменения энергии вследствие затухания:

где длина, на которой рассматривается затухание. Она имеет порядок периода малых колебаний в яме Из первого и последнего членов уравнения (4.7) находим

Отсюда после подстановки в (4.17) получаем относительное изменение энергии между двумя последовательными горбами ударной волны

Расстояние между горбами определяет характерный период осцилляций тонкой структуры ударной волны. Он равен

Подставляя сюда (4.18) и (4.19), получаем

Итак, профиль изменения скорости внутри фронта теперь представляется следующим образом. Сначала в невозмущенной среде появляется солитон, на гребне которого достигает значения Из-за наличия необратимой диссипации (причины которой мы обсудим ниже) состояние среды после прохождения такой волны будет отличаться от исходного. На расстоянии вслед за первой волной движется вторая волна и т. д. Если не интересоваться тонкой структурой осцилляций во фронте ударной волны и усреднить значение по расстояниям, превышающим то можно считать эффективной толщиной фронта ударной волны. Волна связывает два состояния среды: невозмущенное прихода первого солитона) и возмущенное состояния, промодулированные колебаниями. В этой части волны вклад диссипации очень незначителен, так как она входит под знак логарифма.

Далее, по мере затухания осцилляций позади фронта волны, они становятся эквидистантными и близкими к периодическим. Это выражается формулой (4.15).

Магнитозвуковая ударная волна. Посмотрим, как изложенные соображения выглядят в некоторых конкретных случаях. Пусть ударная волна

с толщиной распространяется в разреженной плазме перпендикулярно к магнитному полю В (рис. 8.16) и

где - длина свободного пробега частиц. Более быстрые частицы со скоростью из области, нагретой ударной волной (слева), казалось бы, могли свободно пройти в сторону невозмущенной плазмы. Этот перенос быстрых частиц размыл бы переходную область до толщины

В действительности, как мы уже знаем, размытие фронта не происходит, и одной из причин этого является магнитное поле, которое заворачивает ионы и электроны на расстояниях порядка их ларморовского радиуса

Рис. 8.16. Фронт поперечной ударной магнито-звуковой волны

Рис. 8.17. Магнитозвуковая ударная волна

Следует поэтому ожидать, что Учет конечной величины приводит к дисперсионным эффектам, сдерживающим размытие и опрокидывание волны.

Одновременно с этим замечанием следует установить причины возможной диссипации, поскольку столкновения из-за неравенства (4.22) не могут сыграть нужную роль. Интенсивные колебания плазмы позади фронта волны приводят к образованию турбулентных пульсаций. Они обусловлены коллективными взаимодействиями в плазме, и далее мы увидим, как это происходит. Процесс возникновения турбулентности и связанной с ней диссипацией аналогичен появлению стохастичности, рассмотренному в предыдущих главах. Одним из других механизмов диссипации может быть также сила трения ионов об электроны. Для магнитозвуковых волн небольшой амплитуды имеем вместо (3.15) [7, 9]:

Эффективная форма потенциальной ямы теперь определяется выражением

Из него находится минимальное значение

которое при равно просто

Профиль изменения В внутри волны изображен на рис. 8.17. Он аналогичен виду волны на рис. 8.15. Из (4.24) следует, что

Расстояние между двумя последовательными максимумами вблизи фронта волны находится так же, как и в (4.21). Оно равно

Поэтому все остальные свойства магнитозвуковой ударной волны совпадают с описанными выше для уравнения (4.7).

Образование «бора». Рассмотренные случаи ударных волн относились к достаточно малым амплитудам. Мы, однако, уже видели в предыдущем параграфе, что существуют критические скорости волн выше которых дисперсия не может сдержать процесс укручения. Если, например, амплитуда магнитозвуковой волны Бтах приближается к значению ламинарная структура движения нарушается. Происходит опрокидывание волны. В некоторой части волны ионы, первоначально движущиеся сзади, настигают и обгоняют передние частицы. Профиль скорости становится многозначным (рис. 8.18).

Аналогичное явление хорошо изучено в теории волны конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости в канале конечной глубины. Здесь существуют нелинейные установившиеся движения типа уединенных или периодических волн. При достаточно больших амплитудах такие волны разрушаются вследствие опрокидывания. Отсутствие какой-либо строгой теории в этом случае оставляет лишь возможность качественного анализа. Основной вопрос заключается в том, будет ли после опрокидывания движение среды стремиться к какому-либо установившемуся течению или же переходная область (заштрихованная часть на рис. 8.18) будет неограниченно размываться, как это имело бы место в обычном газе без столкновений. В теории поверхностных волн через некоторое время после опрокидывания возникает установившееся течение, называемое «прыжок воды» или «бор». Бор представляет собой некоторую переходную область конечной толщины, которая обычно заменяется идеализированной математической поверхностью, разделяющей два плоскопараллельных потока. При переходе через эту поверхность удовлетворяются соответствующие законы сохранения.

Рис. 8.18. Образование многопотокового движения при больших числах Маха

Рис. 8.19. Профиль бесстолкновительной ударной волны, генерируемой с помощью метода «магнитного поршня» (при быстром нарастании магнитного поля) [17]

Рис. 8.20. Профиль магнитного поля во фронте косой межпланетной ударной волны с числом Маха по измерениям на борту спутника [18]

В известном смысле бор представляет собой аналог ударной волны. При обрушении волны часть ее смешивается с отстающим участком фронта волны. Можно ожидать, что при определенной скорости волны возникает стационарная ширина переходного слоя. В плазме роль силы тяжести, приводящей к обрушению волны, играет магнитное поле, заворачивающее поток ионов. Ширину переходной области после опрокидывания можно оценить как радиус кривизны ионов в магнитном поле. Скорость потока ионов

Поэтому

где - плазменная частота ионов.

Однако многоскоростное течение, перпендикулярное магнитному полю, возникающее после опрокидывания, должно быть неустойчивым. Действительно, если для простоты рассмотреть двухпучковое распределение ионов при разности скоростей пучков, превышающей тепловую скорость, то возникает неустойчивость относительно раскачки колебаний с волновым вектором, почти параллельным скорости пучка. В боре также имеет место неустойчивость сходной природы на встречных потоках. Это обычная неустойчивость тангенциального разрыва, возникающая при соприкосновении падающей струи с поверхностью покоившейся жидкости. В результате описанной неустойчивости среда (плазма или жидкость) турбулизуется. Такая турбулентность приводит к аномальной вязкости.

Рис. 8.21. Ускорение заряженных частиц на фронте волны

Примеры бесстолкновительных ударных волн, соответствующие описанной модели, хорошо иллюстрируются лабораторными экспериментами (рис. 8.19) и измерениями ударных волн в солнечном ветре (рис. 8.20).

Ускорение ионов на фронте волны. При движении ударной волны ионы (или электроны), находящиеся непосредственно перед фронтом ударной волны, движутся следующим образом. Они отражаются от фронта волны, заворачиваются магнитным полем, отскакивают снова и . В результате возникает дрейф частиц вдоль поверхности фронта волны (рис. 8.21). При каждом отражении волна передает частицам часть своей энергии. В результате возникает ускорение частиц [7].

Рис. 8.22. Серфотрон

После многократных отражений скорость частиц может достигнуть очень больших значений. Лоренцева сила, действующая на частицу вблизи фронта волны, равна

Эта сила направлена вдоль х. Сила, приводящая к отражению частиц от волны, равна

где скалярный потенциал. Сила создает отражающий барьер для частиц. Если в результате ускорения частиц сила возрастет и превысит то частицы преодолеют потенциальный барьер и войдут внутрь фронта волны. Их дальнейшее ускорение прекратится. Описанная динамика частиц является также одним из возможных механизмов диссипации.

Так выглядит динамика частиц в нерелятивистском случае. В релятивистском случае величина ограничена: Поэтому при ускорение частиц продолжается неограниченно. Так выглядит идея ускорения частиц, получившая название «серфотрон» [19—22]. Название отражает аналогию между серфингом и частицей, удерживающейся на гребне волны (рис. 8.22). При этом частица совершает регулярные отскоки от фронта волны малой амплитуды.

КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 8

(см. скан)

(см. скан)