Часть III. ПРИМЕРЫ

Глава 13. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ВОЛНОВЫХ ПОЛЯХ

Мы уже частично обсуждали в § 3 гл. 6 вопросы, связанные с движением заряженных частиц в поле волнового пакета

Волновой пакет представляет собой суперпозицию большого числа волн, движущихся с различными фазовыми скоростями. Вследствие дисперсии скорости различных гармоник различны, и поэтому поле, в котором движется частица, очень сильно деформируется со временем. Многочисленны приложения этой задачи в плазме, астрофизике, теории твердого тела и др. Это связано с тем, что в среде, например такой, как плазма, в результате какой-либо из неустойчивостей начинают возбуждаться много мод колебаний. Амплитуды возбужденных волн существенно превышают уровень тепловых флуктуаций. Поэтому возникают волновые пакеты скоррелированных мод, которые в течение достаточно большого времени можно считать квазистационарными. Вследствие этого оказывается возможным резонансное взаимодействие частиц с волнами, если выполняется условие резонанса Ландау

Однако если есть хотя бы две волны, то возникает стохастический слой, где разрушены интегралы движения, и дальнейший анализ взаимодействия частиц с волнами становится сложным. В этой главе мы рассмотрим некоторые случаи взаимодействия частица—волна, допускающие достаточно полный анализ (ком. 1).

§ 1. Регулярная и стохастическая динамика частиц в поле волнового пакета

Резонансы Ландау между частицей и волной не являются единственным физическим процессом, определяющим динамику частиц. По крайней мере, вторичные резонансы, обусловленные сильно нелинейным характером задачи, также могут давать существенный вклад в общую динамическую картину. Поэтому задача о движении частиц в волновом пакете произвольного вида в значительной степени теряет свой смысл из-за сильной нечеткости подобной постановки. Ее можно улучшить, если зафиксировать некоторые свойства волнового пакета, которые указывали бы его структуру. Именно в этом направлении и будут продемонстрированы ниже некоторые виды динамики частиц, различие которых связано с различием волновых пакетов.

Времени- и пространственноподобные волновые пакеты. Будем считать, что волновой пакет имеет дискретный спектр. Это означает, что он состоит из счетного набора гармоник с волновыми числами меняется, вообще говоря, от до Поэтому перепишем уравнение движения частицы

в виде

где

Сделаем относительно структуры волнового пакета следующие упрощающие предположения:

Здесь величина имеет смысл характерного расстояния между волновыми числами пакета, а — характерное расстояние между частотами пакета. Между ними существует соотношение

где - групповая скорость. Можно также положить

где - характерный временной период поля, -его характерный пространственный период.

Теперь уравнение (1.1) переписывается в виде

Рассмотрим параметр

где -скорость частицы. Обозначим также

В зависимости от значений параметра можно различать два предельных случая. В случае скоростей, малых по сравнению с групповой скоростью пакета имеем и поэтому в (1.6) можно приближенно положить

Приближение (1.7) будем называть случаем времениподобного волнового лакета. В обратном случае и

Его можно назвать случаем пространственноподобного волнового пакета. Каждому из двух пределов (1.7) и (1.8) соответствует определенная физическая ситуация.

Отображения. Для того чтобы разобраться в такой ситуации, перепишем уравнение (1.1) при условии (1.7) в виде

где мы использовали обозначения (1.4) и (1.6) и ввели частоту

равную частоте малых колебаний частицы в потенциальной яме, создаваемой центральной гармоникой волнового пакета

Физический смысл времениподобного волнового пакета легко раскрывается из уравнения (1.9). На свободно движущуюся частицу действуют периодические по времени -образные импульсы, промодулированные по фазе Легко записать отображение, эквивалентное уравнению (1.9). Для этого обозначим моменты действия силы через и положим

т.е. и -скорость и фаза частицы непосредственно перед толчком, же перед толчком.

Интегрирование уравнения (1.9) по интервалу в окрестности точки приводит к уравнениям

которые мы будем называть -отображением и где

Мы видим, что (1.12) есть стандартное отображение, и при К 1 траектории частицы становятся стохастическими. Более того, соответствующая кинетика, описываемая уравнением типа Фоккера — Планка — Колмогорова, была рассмотрена в § 3 гл. 6. Полученные в нем результаты показывают, что при возникает стохастический нагрев частиц. Он проявляется в том, что с течением времени частица все большую часть периода своего движения имеет скорость, превышающую любое зафиксированное ее значение. Другими словами, спустя некоторое время скорость частицы, в основном, становится больше, чем и условие (1.7) перестает быть применимым. Однако теперь начинает работать второе условие (1.8). Тот же волновой пакет который раньше мы считали времениподобным, теперь приобретает свойства пространственноподобного пакета. Это приводит нас к необходимости рассмотреть другой предельный случай уравнения (1.1).

Используя выражение (1.8), перепишем уравнение (1.1):

Это уравнение во многом аналогично (1.9), однако теперь -импульсы возмущения следуют на равных пространственных интервалах длиной Это можно представить себе следующим образом. Частица движется между двумя стенками, расположенными на расстоянии друг от друга. Подлетая к какой-либо из них, она испытывает действие силового импульса. Попробуем теперь построить соответствующее отображение, которое связывало бы переменные между двумя последовательными столкновениями частицы со стенками.

Обозначим через такие моменты времени, при которых выполняется условие

Пусть энергия частицы. Введем новую переменную [6]

Уравнение (1.14) с помощью обозначения (1.16) можно переписать в виде

Его интегрирование в окрестности точки дает

где обозначено аналогично (1.11):

с той лишь разницей, что момент времени теперь равен не а определяется формулой (1.15).

Теперь построим уравнение для отображения фазы Между двумя -импульсами силы частица движется свободно, так как правая часть в (1.14) равна нулю. Поэтому Интервал длиной частица пролетает за время

Поэтому сдвиг фазы между двумя последовательными действиями -импуль-сов равен

где определение аналогично формуле (1.11) с заменой моментов времени на те, которые получаются из (1.15).

Теперь уравнения (1.17) и (1.19) можно представить в виде следующего отображения в пространстве переменных :

где величина

характеризует значение передаваемой частице энергии под действием возмущения. Она имеет простой смысл, так как равна потенциальной энергии, приобретаемой частицей в постоянном поле на отрезке длиной Нетрудно убедиться в том, что

и, следовательно, -отображение сохраняет фазовый объем, а переменные являются канонически сопряженной парой. Это последнее замечание очень важное, и мы его используем ниже.

Динамика в пространственноподобном пакете. Простейшая информация о динамике частицы, описываемой -отображением, может быть получена обычным путем. Для этого рассмотрим условие локальной неустойчивости фаз

Это условие можно переписать в виде

При его выполнении динамика частицы становится стохастической. Сравним (1.23) с аналогичным условием для -отображения. Согласно (1.13), при условие стохастичности

выполняется при достаточно больших амплитудах поля и не зависит от энергии частицы. Именно в этом месте и возникает отличие между случаями так как в последнем случае условие хаотизации фаз (1.23) выполняется для скоростей, меньших некоторой максимальной:

Мы пришли к уже знакомому нам явлению, с которым мы встречались в § 3 гл. 6 в связи с моделью Улама. Стохастическая динамика частицы (по крайней мере, сильная стохастичность) происходит в ограниченной области скоростей (

Еще одно принципиальное отличие динамики при от динамики при связано также с зависимостью критерия стохастичности от скорости (1.22). Условие (1.22) выполняется всегда, независимо от значения поля Меняется лишь область скоростей (1.25), где имеет место стохастическая динамика. С уменьшением поля эта область уменьшается пропорционально

Кинетика стохастического нагрева частиц. В области стохастичности динамика частицы может быть описана с помощью кинетического уравнения. Если относительное изменение энергии частицы на одном шаге отображения мало, т. е.

то можно воспользоваться уравнением Фоккера-Планка - Колмогорова. Заметим, что Поэтому условие (1.26) справедливо всюду, за исключением области значений где

Будем считать эту область малой по сравнению со всей областью, в которой справедливо вообще кинетическое описание. Составим соответствующее неравенство. Очевидно, что оно должно выглядеть следующим образом:

Случай, выражаемый неравенством (1.28), будем называть случаем слабых полей. Его физическое содержание в том, что почти во всей области стохастической динамики столкновения являются слабыми, согласно определению (1.26).

Запишем условие (1.28) подробнее, используя выражения (1.21) для и (1.25) для итах. Имеем

Оно всегда выполняется для слабых полей.

Таким образом, при можно воспользоваться кинетическим уравнением диффузионного типа. Здесь следует вспомнить, что переменные являются канонически сопряженной парой. Поэтому функция распределения удовлетворяет кинетическому уравнению в дивергентной форме

где коэффициент диффузии находится обычным способом:

и скобки означают усреднение по фазе. Из первого уравнения (1.20)

имеем

Подставляя это выражение и (1.18) в (1.31), находим

Теперь кинетическое уравнение приобретает вид

с граничным условием отсутствия потока частиц при т. е.

Это условие приводит к распределению

На рис. 13.1 приведено заполнение точками траектории фазовой плоскости. Соответствующая функция распределения изображена на рис. 13.2. Она с точностью до граничных эффектов достаточно хорошо передает закон (1.34).

Рис. 13.1. Точки траектории частицы для -отображения при [7]

Исследование динамики в пространствен-ноподобном волновом пакете позволяет получить достаточно полную картину стохастического нагрева частиц. Если выполнено условие (1.24), то частицы с малой скоростью начинают ускоряться. Механизм ускорения является стохастическим и описан в § 3 гл. 6. Энергия частиц возрастает, и их скорости, в среднем, достигают и начинают превышать групповую скорость волнового пакета Теперь характер стохастического нагрева изменяется. Из (1.33) следует, что энергия частиц растет со временем закону

Так происходит до тех пор, пока энергия частиц не достигнет значений Это и есть граница ускорения. Существование ее имеет принципиальное значение. Оно не может быть получено из времениподобного волнового пакета, и в этом заключается особая роль случая описываемого -отображением (ком. 3).

Еще одно важное различие динамики частицы при связано с видом соответствующих кинетических уравнений. При малых скоростях частиц, когда волновой пакет можно считать времениподобным, уравнение имеет вид (§ 3 гл. 6)

В нем коэффициент диффузии постоянен, и поэтому рост энергии происходит линейно со временем:

Если бы задача (1.35) решалась в некоторой ограниченной области скоростей при отсутствии потока частиц из этой области, то в этой области

установилось бы равновесное распределение

Распределение (1.36) имеет вид плато в пространстве скоростей.

Рис. 13.2. Функция распределения для -отображения при том же значении что и на рис. 13.1

Уравнение (1.33) можно переписать, используя его симметрию относительно замены . В результате получаем

Уравнение (1.37) имеет дивергентную форму для функции распределения, зависящей от а не от Поэтому в тех случаях, когда в ограниченной области по устанавливается равновесное распределение, оно имеет вид

Выражение (1.38) существенно отличается от (1.36). Это различие происходит из-за того, что вид взаимодействия частицы с волновым пакетом различен в зависимости от того, является он времени- или пространственноподобным.

Обобщение. Исходная задача (1.1), (1.2) может быть решена и в общем случае без выделения времениподобного или пространственноподобного пакета. Это было сделано в работе [6], и мы здесь приведем лишь краткий результат.

Первое обобщение связано с выбором новых переменных, играющих роль действия. Оказывается, что в качестве такой переменной следует взять

При

т.е. пропорционально скорости. Наоборот, при выражение (1.39) переходит в (1.16).

Фаза определенная в (1.6), является канонически сопряженной к (1.39). Интервал времени между двумя шагами отображения находится с помощью определения фазы в (1.5). Он равен

Здесь также имеются предельные переходы при

Наконец, универсальное отображение, справедливое при любых в области имеет следующую форму:

Сравним выражение (1.40) с (1.20). Оно получается из (1.20) заменами

что видно непосредственно из определения (1.39). Это означает просто, что -отображение (1.20) получается из универсального отображения, если в последнем положить или в силу (1.41) эквивалентно

Однако наиболее интересным в переходе (1.41) является то, что вид отображения не изменяется, а переопределяются лишь переменные и константы.

Запишем условие стохастизации динамики для универсального отображения Аналогично (1.22), можно получить

Теперь условие (1.43) обладает также универсальностью. При неравенствах (1.42) из него получается критерий возникновения хаотического движения в пространственноподобном волновом пакете (1.22), а при обратных неравенствах

из (1.43) следует критерий (1.24) для времениподобного пакета.

В общем случае сохраняется также кинетическое уравнение (1.33), в котором переменная теперь определяется формулой (1.39). Таким образом, некоторая идеализация структуры волнового пакета позволяет установить строгие условия появления хаоса и дать кинетическое описание эволюции функции распределения частиц.