Глава 9. ГАМИЛЬТОНОВСКОЕ ОПИСАНИЕ ВОЛН

При описании динамики частиц в части I мы имели возможность убедиться в той значительной роли, которую играет гамильтоновская форма уравнений движения. Она не только создает возможность удобного развития различных приближенных методов, но и позволяет ввести некоторые «оптимальные» переменные действие—угол. Введение таких канонически сопряженных пар переменных также обусловлено гамильтоновскими уравнениями движения. Теперь необходимо найти эквивалентный способ

описания для нелинейных волновых уравнений. Задача эта является одновременно и сложной и неоднозначной. Причины этого, может быть, не так легко понять, но, по-видимому, не совсем трудно допустить. Действительно, переход от частиц к полям связан с предельным переходом от дискретных задач к непрерывным. Такой переход всегда нуждается в некотором доопределении, и, в зависимости от того, как это делать, можно получать ту или иную физическую задачу.

Несколько проще обстоит дело, если имеются какие-либо соображения, позволяющие сузить эффективное число степеней свободы в задаче. К числу таких упрощений могут относиться, например, периодические граничные условия, которые позволяют сделать эффективное число степеней свободы хоть и бесконечным, но счетным.

§ 1. Вариационные принципы

Вариационные принципы в динамике играют весьма значительную роль, не только отражая некоторую универсальную тенденцию эволюции системы, но и облегчая формальное исследование этой эволюции. Принцип Ферма, по-видимому, может служить одним из наиболее элементарных примеров. Он устанавливает факт кратчайшего пути распространения луча света и позволяет в сложных средах определить этот путь. В тех задачах механики, которые мы изучали до сих пор, мы использовали гамильтоновский формализм, который позволил нам с помощью переменных действие—угол провести достаточно эффективный анализ весьма сложных явлений.

В теории волновых процессов использование вариационных принципов значительно менее разработано и значительно более неоднозначно, чем в динамике частиц. Мы укажем на некоторые особенности, возникающие в этом новом виде задач.

Степени свободы. Поясним сказанное выше элементарным примером. Пусть есть волновое поле, зависящее для простоты от одной координаты х. Пусть также уравнения движения для поля у могут быть представлены в некоторой простейшей форме:

где оператор, который может содержать производные, интегралы и т. д.

Разложим в интеграл Фурье по координате:

Тогда уравнение движения (1.1) можно представить в виде бесконечномерной системы обыкновенных уравнений

где обозначает, вообще говоря, зависимость от всех амплитуд произвольными фурье-образ от оператора

Систему (1.3) можно рассматривать как систему большого числа степеней свободы взаимодействующих друг с другом из-за нелинейности оператора Число этих степеней свободы—континуум.

Если, однако, имеется периодическое граничное условие

то вместо разложения (1.2) можно записать ряд Фурье:

Уравнения движения (1.3) принимают вид

и задача упрощается.

Еще одна особенность нелинейных уравнений для полей требует обсуждения. Как правило, мы не знаем полный набор решений и зачастую даже не представляем, какого типа решения этот набор может содержать. Обычно нас выручают такие физические ситуации, в которых имеются два принципиальных вида упрощения: 1) задача допускает существенное сокращение числа степеней свободы, 2) эволюция поля во времени не слишком сильно изменяет эффективное число степеней свободы.

Мы увидим ниже, как реализуются эти два принципа. Заметим лишь, что мы уже встречались с подобным явлением уменьшения числа степеней свободы задачи при анализе спектра нелинейных колебаний в гл. 1 и спектра стационарных волн в гл. 8.

Лагранжиан. Наиболее простая форма вариационного принципа связана, по-видимому, с составлением лагранжиана для соответствующей нелинейной волновой задачи. Функция Лагранжа записывается в виде функционала

где плотность лагранжиана зависит от полей и их производных:

Она выбирается таким образом, чтобы ее варьирование

приводило к исходным уравнениям движения. Вариационное уравнение (1.8) является уравнением Эйлера:

Рассмотрим в качестве примера нелинейное уравнение Клейна — Гордона (8.2.34). Для него

Применение уравнений (1.9) к (1.10) дает

Если рассматриваются только периодические решения с периодом X, то можно использовать вместо (1.7) иной вариационный принцип:

который, как мы увидим далее, порождаем решения с дискретным спектром. Выбор пределов по в (1.12) не существен. Важно лишь, чтобы длина интервала интегрирования равнялась периоду А. Этот факт можно отразить в более универсальном виде:

Выражение (1.13) справедливо, по крайней мере, во всех случаях, когда решение задачи периодично с некоторым произвольным периодом.

Метод Уизема. Мы привели некоторые формальные выражения и теперь покажем, каким образом они могут быть использованы. Одной из классических ситуаций является распространение волны в слабо неоднородной и, вообще говоря, медленно нестационарной среде. Будем считать, что если бы среда была однородной и стационарной, то в ней распространялась бы стационарная периодическая волна

Условие периодичности выражается в том, что функцию (1.14) можно представить в виде разложения

где фаза равна

и

Если волну (1.14) возбудить в среде, параметры которой медленно изменяются в зависимости от то очевидно, что параметры решения (1.14) также претерпевают слабые изменения. Волна характеризуется тремя параметрами: энергией (см. формулу (8.2.39) для уравнения Клейна — Гордона), волновым числом и частотой со (или скоростью и). Основная идея метода Уизема [1, 2] заключается в том, чтобы сохранить те же три величины для характеристики волны в случае медленных изменений волнового пакета. Теперь, однако, эти величины являются функциями координаты и времени, и уравнения для их изменений надо получить путем соответствующей процедуры усреднения. Проще всего метод усреднения Уизема можно получить так. Обозначим

т. е. есть среднее значение плотности лагранжиана по периоду. Поэтому не может зависеть от быстро изменяющейся фазы Наоборот, зависит только от медленно меняющихся переменных, т. е.

С другой стороны, из (1.16) следует, что с точностью до малых параметров медленности

Подстановка (1.20) в (1.19) дает

Запишем теперь уравнения Эйлера для (1.21). Имеем

Проанализируем каждое из уравнений (1.22) в отдельности. Прежде всего заметим, что в разложении Поэтому можно записать с помощью определений (1.20)

В однородном случае уравнения (1.23) — точные. В неоднородном случае от зависит также интеграл энергии Эта зависимость, однако, слабая, согласно исходному предположению. Поэтому ею можно пренебречь. Таким образом, выражение (8.2.39) можно также записать в следующем виде:

Из него следует

Отсюда получаем нелинейное дисперсионное соотношение, совершая интегрирование по полному периоду:

Оно совпадает с (8.2.40). Кроме того, записывая с помощью (1.23) и (1.12) усредненный лагранжиан

нетрудно убедиться, что первое уравнение в (1.22) приводит к выражению (1.25).

Это замечание является очень важным и содержит следующий физический вывод: нелинейное дисперсионное соотношение сохраняет свой вид при распространении периодической стационарной волны в слабонеоднородной и слабонестационарной среде.

Рассмотрим теперь второе вариационное уравнение в (1.22). Согласно (1.23), его можно записать в виде

Полученное уравнение приводит к закону сохранения волновой энергии. Для того чтобы убедиться в этом, обратимся к аналогии с классической механикой. Введем две величины

Тождественные преобразования дают с гомощью соотношения (1.26):

Отсюда видно, что можно интерпретировать как плотность волновой энергии, - как плотность потока энергии.

К уравнениям (1.25) и (1.26) теории Уизема следует обавить еще условие совместности соотношений (1.20):

Все эти уравнения являются определенной формой метода ВКБ для нелинейных волн (ком. 1). Мы вернемся к ним несколько позже при рассмотрении нелинейной геометрической оптики.

Гамильтоновский формализм. Возможность использовать гамильтоновский формализм при анализе нелинейных волновых полей создает ряд удобств. Здесь снова следует повториться и заметить, что способ гамильтоновского представления нелинейных волновых задач далеко не однозначен и тесно

сопряжен с их характером. Но главное, это то, что мы априори должны знать, какого типа физические эффекты мы рассчитываем получить, и заложить эту информацию в построение метода. Это — общий мотив для всей нелинейной теории. По крайней мере так это выглядит к настоящему моменту, и поэтому мы рассмотрим здесь несколько вариантов гамильтоновского формализма.

Самый «прямолинейный» из них заключается в разложении всех величин в ряд или интеграл Фурье и представлении системы как совокупности бесконечного числа связанных степеней свободы.

Запишем снова разложение некоторой переменной в ряд Фурье

где суммирование происходит по всем возможным значениям волновых чисел . В случае непрерывного спектра фурье-разложение имеет вид

Далее мы всюду будем пользоваться формой записи (1.30), предполагая дискретность спектра. Противные случаи будут специально оговариваться. Условие вещественности величины означает, что

Простейший случай нелинейной среды может быть представлен как совокупность взаимодействующих осцилляторов. Гамильтониан ее записывается в виде

где многоточие означает члены более высокого порядка по степеням у, а -функция понимается здесь как символ Кронекера и превращается в обычную -функцию при переходе к непрерывному случаю и замене суммирования интегрированием. Матричные элементы симметричны относительно перестановки любой пары своих индексов. Канонические уравнения движения имеют вид

Приведенная форма достаточно примитивна и неинтересна. Мы уже знаем из части I, что желательно отделять медленные и быстрые переменные. Именно в этом месте мы можем продемонстрировать, как наша конечная цель навязывает нам выбор переменных.

Допустим, что нас не интересуют пока нелинейные члены и мы желаем «убить» быстрые переменные в выражении

Тогда совершаем каноническую замену:

причем

Выражение (1.35) переходит в

т. е. величины играют роль переменных действие—угол. Подстановка формул (1.36) в (1.33) дает также выражение для нелинейной части гамильтониана:

где

Теперь следует осмотреться и понять, какие возможности имеются в полученных нелинейных членах. Для этого рассмотрим, например, производную по времени от фазы

Имеем

Если это выражение может обратиться в нуль (или стать очень малым), то возможен резонанс. В противном случае член при в (1.38) является быстро осциллирующим. Тогда операцию «убивания» осциллирующего члена можно продолжить, совершая новую каноническую замену переменных [7].

Описанная последовательность действий, как мы увидим далее, хороша в тех случаях, когда линейное решение является достаточно хорошим приближением. Если же нас интересует возмущение какого-либо нелинейного решения, то приходится действовать иным способом.

Стационарные волны. Пусть, например, рассматривается нелинейная стационарная волна уравнения Клейна — Гордона (1.11). Положим в нем для определенности

Тогда

Пользуясь разложением (1.15), находим

Для этого уравнения движения гамильтониан имеет вид

Нетрудно убедиться, что канонические уравнения движения

эквивалентны уравнениям (1.40).

Теперь нам необходимо сделать одно из наиболее важных замечаний. Мы могли бы исследовать уравнение (1.40) или (1.39), используя разложение в ряды, выделяя резонансные члены и т. п. При этом мы обращались бы с уравнением (1.40) как с системой большого числа независимых

переменных . В действительности для стационарной волны, согласно (1.15) — (1.17),

Поэтому уравнение (1.40) есть интегральное уравнение для определения

Здесь все являются функцией только одной переменной

и формула (1.44) отражает лишь специфическое правило сумм для эллиптических функций, через которые выражается решение Это сразу следует из эквивалентности (1.44) нелинейному дисперсионному соотношению (1.25).

Приведенный пример, конечно, не является специфическим только для нелинейных волн. Однако именно в этой области существует большое и далеко не всегда доступное для анализа множество различных типов решений. Этим объясняется необходимость привязки развиваемых методов к определенному типу задач.

Канонические переменные. В общем случае нелинейных сред введение канонических переменных и гамильтониана, зависящего от них, является далеко не всегда очевидной задачей. Мы приведем здесь несколько примеров для того, чтобы показать необычность этой процедуры. Рассмотрим уравнения идеальной жидкости:

где

- удельная энергия жидкости.

Определим гамильтониан выражением

и введем три новые переменные соотношением

Тогда можно убедиться в справедливости следующих уравнений [8]:

Отсюда следует, что система (1.45) эквивалентна каноническим уравнениям (1.48), и переменные являются двумя канонически сопряженными парами. Они называются переменными Клебша. При этом гамильтониан выражает полную энергию жидкости.

В качестве другого примера рассмотрим уравнение движения магнитного момента который удовлетворяет уравнению Ландау-Лифшица:

где гиромагнитное отношение и плотность энергии. Мы считаем, что

Три уравнения (1.49) не являются независимыми, так как сохраняется величина момента:

Далее для простоты всюду положим Обозначим

Согласно (1.51)

Переопределим энергию следующим образом, подставляя в (1.50) формулы (1.52) и (1.53):

Теперь легко проверяется, что уравнения (1.49) эквивалентны следующим:

Формулы (1.55) можно рассматривать как модифицированную форму гамильтоновских уравнений движения с гамильтонианом в форме (1.54) и канонически сопряженной парой переменных Модификация обусловлена множителем Его можно убрать двумя способами. Во-первых, можно ввести новое время

Такая замена неявно использует решение, и, хотя это не очень удобно, тем не менее вопрос о канонизации записи уравнений (1.49) решен.

Другой способ основан на использовании преобразований типа Гольдштейна-Примакова. Положим

Тогда убеждаемся с помощью (1.55), что

где получается из заменой переменных (1.56).

Еще один вариант замены переменных демонстрирует ее неоднозначность. Положим

и, кроме того, Тогда

Сам по себе факт возможности введения различных канонических переменных не является удивительным. Однако зачастую даже построение любых канонически сопряженных пар является не простым делом. При этом само понятие гамильтоновских уравнений движения приходится видоизменять (ком. 2).