Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5. Линейные аналогии адиабатической инвариантностиПроблема существования и точности адиабатических инвариантов является не только задачей теории динамических систем. Она имеет многочисленные аналоги в других областях физики. Мы укажем здесь только два из них, пользуясь линейными моделями. Это позволит получить более наглядное представление об общности различных физических задач (ком. 14).
Рис. 2.23. Зависимость частоты осциллятора от времени Линейный осциллятор с переменной частотой. В случае одной степени свободы задача об изменении адиабатического инварианта линейного осциллятора имеет следующую постановку. Рассмотрим гамильтониан
где масса частицы положена равной единице. В нем частота
Поскольку
Из гамильтониана (5.1) получаем уравнение движения
Условие медленности (5.2) позволяет записать приближенные базисные решения для (5.3) в виде
Это так называемое ВКБ (Вентцеля — Крамерса - Бриллюэна)-приближение (см., например, [17]). Оно представляет собой главный член асимптотического ряда по степеням параметра Общее решение уравнения (5.3) имеет вид
и определяется с точностью до коэффициента. Поэтому без ограничения общности положим
Записав решение впроизвольной комплексной форме, обратим внимание на тождество
которое проверяется непосредственно с помощью уравнения движения (5.3). Из него следует соотношение
Инвариант (5.7) выражает теорему Лиувилля для комплексного представления решения, например в виде (5.5). Оно есть следствие линейности задачи. Каждое из базисных решений
Необходимо еще одно вспомогательное соотношение. Из определения действия для линейного осциллятора
Введем, как прежде, изменение адиабатического инварианта:
Если
Отсюда
так как Итак, задача свелась к определению коэффициента отражения в соответствующей волновой интерпретации (ком. 15). Квантовомеханическая аналогия. Введение комплексного решения (5.5), комплексных амплитуд Чтобы убедиться в этом, достаточно совсем немногого записать уравнение Шредингера с соответствующей формой потенциала:
Здесь
где
и Из рис. 2.24 видно, что соотношение между
Рис. 2.24. Потенциал и энергетический уровень для уравнения Шредингера Обход особенностей в комплексной плоскости. Нам осталось лишь непосредственное вычисление
Рис. 2.25. Картина линий уровня (сплошные кривые) для случая надбарьерного отражения Рассмотрим комплексную плоскость
(см. рис. 2.23). Введем фазу
как функцию комплексной переменной
Аппроксимация (5.12) и формулы (5.14) позволяют на плоскости комплексного Чтобы убедиться, что линии уровня идут именно так, как это нарисовано, достаточно представить
и проинтегрировать например, возле
Представляем также
Отсюда
или
Таким образом, углы, где
Формула (5.15) доказывает структуру линий уровня на рис. 2.25. Объясним теперь, зачем это понадобилось. На линиях уровня (5.15) оба решения С помощью приобретенной информации легко установить, что на линиях 1,3 а на линиях Пусть теперь на действительной оси в точке
Обозначим
где интеграл берется по замкнутому контуру, охватывающему разрез Сместим начало отсчета
На линии 2 запишем
где
где
Итак, объединяя формулы (5.16)-(5.21), можно записать матрицу отображения от
Теперь все трудности остаются позади, и необходимо лишь определить коэффициенты матрицы перехода Матрица перехода. Проще всего это сделать, если использовать инвариант (5.7). Для решения, заданного в форме (5.16), это означает:
Здесь стоит задержаться, чтобы подчеркнуть, что действительное решение
С другой стороны, левую часть (5.24) можно выразить из уравнения (5.22) через
где
Положим теперь для падающей волны
Величина
Сравнивая это соотношение с (5.2), получаем
Таким образом, при
Из (5.29) и (5.9), в частности, следует, что
т. е. экспоненциально малое изменение действия вычислено. Однако формулы (5.27) имеют значительно большую область применимости, которая включает также случай
Это означает, что происходит сильное взаимодействие с особенностью и отсутствует малость изменения Переходное излучение. На всех рассмотренных примерах можно было убедиться, что появление экспоненциально малых эффектов «рассеяния» действия связано с очень своеобразным резонансом. Это резонанс между осциллирующим решением и возмущением. Необычность его в том, что частота невозмущенного решения со очень велика по сравнению с характерной частотой возмущения Физическая природа богата такими примерами, и для иллюстрации приведем еще один простой пример с переходным излучением [27]. Пусть заряженная частица движется со скоростью
где Ток вдоль оси
Поэтому фурье-компонента тока на частоте со равна
Рассмотрим компоненту векторного потенциала А, которая направлена вдоль скорости заряда
где
где
Теперь мы продемонстрируем, как, пользуясь некоторой «эквилибристикой» между квантовым и классическим способами рассуждений, можно быстро достичь результата. Если бы тока не было (правая часть в (5.33) равна нулю), то свободное поле А, распространяясь в неоднородной среде, испытывало бы изменение адиабатического инварианта. При наличии у функции Здесь нас будет интересовать вынужденное решение, обусловленное движением частицы, и поэтому мы пренебрежем отмеченными изменениями свободного поля, считая их достаточно малыми. Заряд движется в неоднородной среде. Изменение тока, обусловленное неоднородностью, приводит к излучению поля. Попробуем получить этот эффект, пользуясь аппаратом классической механики. Запишем гамильтониан, соответствующий уравнению движения
в котором роль времени играет переменная
Перейдем к переменным действие—угол, считая Имеем уравнение для действия
с точностью до малых производных
Рассмотрим изменение действия
Величина А зависит от z согласно (5.34). Если
Поэтому в первом приближении интеграл (5.39) равен нулю. Если отвлечься от всех особенностей
где Теперь сразу пишем оценку
Осталось сделать последний шаг и показать, что величина Полученный результат показывает, что малые градиенты (и временные, и пространственные) могут выступать эквивалентным образом, приводя к экспоненциально малым эффектам изменения усредненных величин. В дальнейшем при обсуждении динамики волновых процессов мы еще не раз встретимся с подобным явлением и убедимся в его определенной степени универсальности. Замечание о роли нелинейности. Что должно измениться в этом нашем представлении при рассмотрении нелинейных систем? Если речь идет о системе с одной степенью свободы, то практически ничего. Однако при КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 2(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|