§ 5. Линейные аналогии адиабатической инвариантности

Проблема существования и точности адиабатических инвариантов является не только задачей теории динамических систем. Она имеет многочисленные аналоги в других областях физики. Мы укажем здесь только два из них, пользуясь линейными моделями. Это позволит получить более наглядное представление об общности различных физических задач (ком. 14).

Рис. 2.23. Зависимость частоты осциллятора от времени

Линейный осциллятор с переменной частотой. В случае одной степени свободы задача об изменении адиабатического инварианта линейного осциллятора имеет следующую постановку. Рассмотрим гамильтониан

где масса частицы положена равной единице. В нем частота является плавной функцией времени. Это может быть такая же функция, как на рис. 2.13 для параметра адиабатичности Выберем здесь, например, такой вид, который приведен на рис. 2.23. Функция является аналитической и не проходит через нуль. Условие ее медленного изменения имеет вид

Поскольку то это условие эквивалентно следующему:

Из гамильтониана (5.1) получаем уравнение движения

Условие медленности (5.2) позволяет записать приближенные базисные решения для (5.3) в виде

Это так называемое ВКБ (Вентцеля — Крамерса - Бриллюэна)-приближение (см., например, [17]). Оно представляет собой главный член асимптотического ряда по степеням параметра

Общее решение уравнения (5.3) имеет вид

и определяется с точностью до коэффициента. Поэтому без ограничения общности положим

Записав решение впроизвольной комплексной форме, обратим внимание на тождество

которое проверяется непосредственно с помощью уравнения движения (5.3). Из него следует соотношение

Инвариант (5.7) выражает теорему Лиувилля для комплексного представления решения, например в виде (5.5). Оно есть следствие линейности задачи. Каждое из базисных решений можно представлять как волну плотности, распространяющуюся соответственно вправо или влево вдоль оси Тогда согласно (5.6) можно интерпретировать как коэффициент отражения, -как коэффициент прохождения. Из (5.7) и (5.4) следует, что

Необходимо еще одно вспомогательное соотношение. Из определения действия для линейного осциллятора следует, что

Введем, как прежде, изменение адиабатического инварианта:

Если мало, то мало отличается от единицы. В силу (5.8) это означает, что мало. Поэтому

Отсюда

так как отличается от единицы во втором порядке по

Итак, задача свелась к определению коэффициента отражения в соответствующей волновой интерпретации (ком. 15).

Квантовомеханическая аналогия. Введение комплексного решения (5.5), комплексных амплитуд да и всей волновой терминологии, которой мы пользовались выше, сделано преднамеренно для того, чтобы показать полную эквивалентность задачи о надбарьерном отражении в квантовой механике задаче об изменении адиабатического инварианта линейного осциллятора (ком. 16).

Чтобы убедиться в этом, достаточно совсем немногого записать уравнение Шредингера с соответствующей формой потенциала:

Здесь волновая функция; переменная у связана с координатой х соотношением

—потенциал в форме, приведенной на рис. 2.24. Эквивалентность уравнений (5.10) и (5.3) очевидна. Ей соответствуют замены

где

и импульс частицы в системе единиц, в которой .

Из рис. 2.24 видно, что соотношение между соответствует прохождению частицы над барьером. Теперь мы можем пойти дальше в развитии аналогии. Мы в состоянии достаточно легко объяснить причины надбарьерного отражения, а следовательно, и несохранения адиабатического инварианта. Как далеко бы ни двигалась частица над потенциальным, барьером, -волна, соответствующая и неограниченная в пространстве, всегда дифрагирует на любом потенциальном барьере. Следовательно, она рассеивается и обязательно Это, согласно (5.9), сразу означает изменение адиабатического инварианта.

Рис. 2.24. Потенциал и энергетический уровень для уравнения Шредингера

Обход особенностей в комплексной плоскости. Нам осталось лишь непосредственное вычисление Здесь можно сослаться на § 3 гл. 2, но можно предложить и более совершенную технику, которая хороша именно в данной ситуации. Это вариант метода Цвана (см., например, [17]).

Рис. 2.25. Картина линий уровня (сплошные кривые) для случая надбарьерного отражения

Рассмотрим комплексную плоскость Положим, что в некоторой достаточно большой области зависимостью 2) можно аппроксимировать параболой:

(см. рис. 2.23). Введем фазу

как функцию комплексной переменной Величина на действительной оси нигде не обращается в нуль. Как видно из (5.12), нулями со являются точки

Аппроксимация (5.12) и формулы (5.14) позволяют на плоскости комплексного начертить линии уровня, где фаза действительная, и линии, где фаза -чисто мнимая. На рис. 2.25 это линии 1, 6 и 1, 4 соответственно. Точки нули фазы (5.14). Соединим их разрезом

Чтобы убедиться, что линии уровня идут именно так, как это нарисовано, достаточно представить

и проинтегрировать в окрестности какой-либо из точек Это дает,

например, возле

Представляем также

Отсюда если

или

Таким образом, углы, где действительно, равны

Формула (5.15) доказывает структуру линий уровня на рис. 2.25.

Объясним теперь, зачем это понадобилось. На линиях уровня (5.15) оба решения выступают равноправно, так как они одного порядка. Однако при переходе через штриховые линии одно из решений экспоненциально затухает. Это означает, что, совершая обход в комплексной плоскости и пересекая штриховую линию, мы теряем информацию о коэффициенте при затухающем решении. Действительно, писать вообще это решение с каким бы то ни было коэффициентом явилось бы превышением точности. Само такое решение экспоненциально мало и, следовательно, меньше любой степени с точностью до которой пишется другое решение.

С помощью приобретенной информации легко установить, что на линиях 1,3 а на линиях

Пусть теперь на действительной оси в точке (рис. 2.25) решение представлено в виде

Обозначим

где интеграл берется по замкнутому контуру, охватывающему разрез Очевидно, что -действительное, так как чисто мнимое.

Сместим начало отсчета в и перейдем на линию уровня 1. На ней коэффициенты при соответственно равны

На линии 2 запишем

где -неопределенный множитель. Происхождение формул (5.19) следующее. При переходе 1 2 пересекаем линию 1, где Поэтому коэффициент при сохраняется а коэффициент при становится неопределенным, и его удобно представить так, как это сделано в (5.19). Аналогично на линии 3

где — неопределенный множитель. Спускаемся на действительную ось и возвращаем начало отсчета снова в точку 0. Получаем

Итак, объединяя формулы (5.16)-(5.21), можно записать матрицу отображения от

Теперь все трудности остаются позади, и необходимо лишь определить коэффициенты матрицы перехода

Матрица перехода. Проще всего это сделать, если использовать инвариант (5.7). Для решения, заданного в форме (5.16), это означает:

Здесь стоит задержаться, чтобы подчеркнуть, что действительное решение приводит к потере некоторой информации, так как форма (5.7) обращается в нуль, как это видно из (5.23). Для уравнения (5.22) это означает, что

С другой стороны, левую часть (5.24) можно выразить из уравнения (5.22) через и коэффициенты матрицы Приравнивая левые и правые части при и при находим :

где — неизвестная фаза, которая в дальнейшем не понадобится. Отсюда

Положим теперь для падающей волны для прошедшей волны для отраженной волны и оставим при только прошедшую волну, т. е. Тогда уравнение (5.22) и выражение (5.26) дают

Величина имеет порядок где -расстояние между точками оно определяется масштабом медленности:

Сравнивая это соотношение с (5.2), получаем

Таким образом, при имеем и

Из (5.29) и (5.9), в частности, следует, что

т. е. экспоненциально малое изменение действия вычислено.

Однако формулы (5.27) имеют значительно большую область применимости, которая включает также случай Он соответствует слиянию особенностей и появлению на действительной оси нуля частоты. Теперь

Это означает, что происходит сильное взаимодействие с особенностью и отсутствует малость изменения

Переходное излучение. На всех рассмотренных примерах можно было убедиться, что появление экспоненциально малых эффектов «рассеяния» действия связано с очень своеобразным резонансом. Это резонанс между осциллирующим решением и возмущением. Необычность его в том, что частота невозмущенного решения со очень велика по сравнению с характерной частотой возмущения выполнено условие адиабатичности Резонанс не может произойти на действительной оси. Он оказывается возможным лишь в комплексной плоскости. Это и приводит не к осциллирующему или степенному выражению по параметру а к экспоненциально малому изменению действия.

Физическая природа богата такими примерами, и для иллюстрации приведем еще один простой пример с переходным излучением [27].

Пусть заряженная частица движется со скоростью вдоль оси z в слабонеоднородной среде. Свойства среды характеризуются диэлектрической постоянной зависящей от координаты слабо. Например, в плазме

где -плазменная частота, неоднородная плотность плазмы, изменяющаяся по тому же закону, что и показанная на рис. 2.13.

Ток вдоль оси образованный движущимся зарядом, равен

Поэтому фурье-компонента тока на частоте со равна

Рассмотрим компоненту векторного потенциала А, которая направлена вдоль скорости заряда Уравнение для ее фурье-гармоники по времени имеет вид

где штрих обозначает дифференцирование по волновое число ортогонально к оси z и использовано уравнение (5.32) для тока. Член с А может быть отброшен с точностью до малых величин второго порядка. Поэтому решение однородного уравнения (5.33) в ВКБ-приближении имеет вид

где

Теперь мы продемонстрируем, как, пользуясь некоторой «эквилибристикой» между квантовым и классическим способами рассуждений, можно быстро достичь результата.

Если бы тока не было (правая часть в (5.33) равна нулю), то свободное поле А, распространяясь в неоднородной среде, испытывало бы изменение адиабатического инварианта. При наличии у функции нулей или особенностей на действительной оси эти изменения были бы конечными. При отсутствии таких особенностей изменения адиабатического инварианта были бы экспоненциально малыми.

Здесь нас будет интересовать вынужденное решение, обусловленное движением частицы, и поэтому мы пренебрежем отмеченными изменениями свободного поля, считая их достаточно малыми. Заряд движется в неоднородной среде. Изменение тока, обусловленное неоднородностью, приводит

к излучению поля. Попробуем получить этот эффект, пользуясь аппаратом классической механики.

Запишем гамильтониан, соответствующий уравнению движения

в котором роль времени играет переменная

Перейдем к переменным действие—угол, считая медленно меняющимся параметром. Это нам приходится делать уже не в первый раз, и поэтому мы детали опускаем.

Имеем уравнение для действия ифазы 9:

с точностью до малых производных Связь между и та же, что и для линейного осциллятора:

Рассмотрим изменение действия

Величина А зависит от z согласно (5.34). Если то резонанса на действительной оси z нет, так как

Поэтому в первом приближении интеграл (5.39) равен нулю. Если отвлечься от всех особенностей на действительной оси, то здесь мы снова встречаемся с интегралом от медленно меняющейся функции умноженной на быстроосциллирующую экспоненту. Соответствующее неравенство имеет вид

где расстояние от ближайшей особенности функции до действительной оси.

Теперь сразу пишем оценку

Осталось сделать последний шаг и показать, что величина пропорциональна интенсивности переходного излучения. Действительно, излучение связано с изменением интенсивности поля, определяемой числом квантов излучения. Последнее пропорционально изменению действия поля. Прямой анализ показывает то же, так как интенсивность поля определяется изменением величины которая, как видно из (5.34), равна действию

Полученный результат показывает, что малые градиенты (и временные, и пространственные) могут выступать эквивалентным образом, приводя к экспоненциально малым эффектам изменения усредненных величин.

В дальнейшем при обсуждении динамики волновых процессов мы еще не раз встретимся с подобным явлением и убедимся в его определенной степени универсальности.

Замечание о роли нелинейности. Что должно измениться в этом нашем представлении при рассмотрении нелинейных систем? Если речь идет о

системе с одной степенью свободы, то практически ничего. Однако при как мы уже отмечали, меняется стандартная ситуация: исчезает интеграл, соответствующий высокой фурье-гармонике от медленно меняющейся функции. Поэтому не всегда возникает экспоненциально малый эффект. Но одно утверждение все-таки оказывается общим как для линейного, так и для нелинейного случая. Возникновение конечного, не экспоненциально малого выражения обусловлено тем, что в вычисляемом интеграле особенность в фазе спускается из комплексной плоскости на действительную ось. Причины для этого бывают разные, и одна из них — увеличение числа степеней свободы, облегчающее возможность прохождения через резонанс или даже через большое число резонансов.

КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 2

(см. скан)