§ 3. Адиабатические инварианты

Адиабатическое возмущение представляет собой другую крайность в конструкции динамической системы по отношению к рассмотренной в предыдущем параграфе. Это возмущение параметров системы, развивающееся крайне медленно и плавно с большим характерны" временем и с высокой степенью аналитичности.

Классическим примером адиабатического процесса является маятник с медленно изменяющейся длиной Условие адиабатичности изменения имеет тот же вид, что и условие, необходимое для применения метода усреднения:

однако теперь изменены роли для системы и возмущения. Здесь — характерная частота системы, характерное время изменения ее параметров. Что будет происходить с маятником при изменении Ответ на этот вопрос для линейных колебаний маятника был известен еще Эйнштейну [11]. Несмотря на то, что энергия и частота маятника со могут сильно меняться, величина

сохраняется с большой точностью. Это и есть адиабатический инвариант.

Адиабатические инварианты — это величины, сохраняющиеся с большой точностью при медленном изменении параметров системы. Как их определять и как находить точность, с которой они сохраняются? Решение этих вопросов представляет собой одну из красивейших и еще не законченных областей физики. С адиабатическими инвариантами связаны столь многочисленные результаты классической и квантовой физики, что трудно представить себе какую-либо область физики без этого понятия. Его появление относят к работам Больцмана и Эренфеста, а многие трудности в определении той степени, в которой адиабатический инвариант является инвариантом, не преодолены до сих пор (ком. 8).

Определение адиабатических инвариантов. Во-первых, это инварианты с некоторой степенью точности, хотя и очень высокой (экспоненциальной). Во-вторых, это величины, определенные только для гамильтоновских систем.

Пусть гамильтониан зависит от параметра

который является медленно изменяющейся функцией времени Пусть также при движение системы финитно, т. е. траектория является обмоткой тора. Тогда в случае одной и двух степеней свободы

адиабатическими инвариантами являются действия при либо индекс можно опустить, если если только точка вырождения частот расположена достаточно далеко от действительной оси

Последнее замечание означает для что условие вырождения может быть выполнено только при комплексном с достаточно большой мнимой частью (рис. 2.11). Аналогичное условие имеет место при для точек, где и

Если при адиабатический инвариант существует, то им является действие, и частоты не вырождены.

Рис. 2.11. Точка вырождения частоты в комплексной плоскости

Таким образом, первый интегральный инвариант непосредственно определяет величину адиабатического инварианта. Во всех случаях система должна быть достаточно далека от каких-либо резонансов. И, кроме того, число степеней свободы выделено.

Линейный случай также является особым по отношению к нелинейному. Если система далека от вырождения, т. е. никакие из уравнений

не могут выполняться достаточно близко от действительной оси, то адиабатическими инвариантами являются действия которые сохраняются с экспоненциальной точностью для любого (ком. 9). Мы поймем смысл этих условий чуть позже при вычислении адиабатических инвариантов. Здесь важно только, что в линейном случае число ничем не выделено. Нелинейные системы ведут себя принципиально иначе, и мы сосредоточим свое внимание главным образом на них.

Усреднение уравнений. Вернемся к уравнению (3.1) для одной степени свободы Тогда система совершает колебания с некоторой частотой. Зависимость параметра от по условию, предполагается медленной. Это означает, что

Перейдем от гамильтониана в форме (3.2) к гамильтониану от переменных Это делается следующим образом. Так же, как и при см. (1.2.7)), вводятся производящая функция

и действие

где замыкание контура осуществляется так же, как и при Например, в случае линейного осциллятора с имеем

и точки поворота при интегрировании в (3.6) равны

Поскольку зависит от то зависят от времени и точки Однако это не мешает ввести определение (3.6) для I, так как определение контура производится не по времени, а в плоскости с помощью (3.7). Это замечание существенно, так как в действительности из-за дрейфа контур никогда не замыкается (рис. 2.12). Таким образом, формулы типа (3.7)

годятся для определения пути интегрирования в (3.6) независимо от того, является частота постоянной величиной или функцией времени.

Место, в котором сказывается зависимость какого-либо параметра системы от - это не определения а новый гамильтониан, возникающий при переходе от переменных к Он имеет вид

Рис. 2.12. Адиабатический дрейф

Согласно (3.5) явная зависимость от возникает только через параметр Поэтому (3.8) можно переписать в виде

Из определений (3.5) и (3.6) следует, что

Поэтому уравнения движения имеют каноническую форму, получаемую из (3.9):

где

Найденныеформулы частично решают задачу. Гамильтоновский характер уравнений (3.10) приводит к тому, что в правой части уравнения для 1 стоит производная по фазе. Поэтому при усреднении этого уравнения по фазе правая часть обращается в нуль, и мы получаем

Это и означает, что действие есть адиабатический инвариант, так как в течение очень большого времени различие между и усредненным значением отсутствует.

Рис. 2.13. Адиабатическое изменение параметра

Изменение адиабатического инварианта. Полученный выше результат еще не дает возможности составить достаточно четкое представление о том, в какой мере и с какой точностью адиабатический инвариант является инвариантом. Можно было бы показать, что он сохраняется во всех порядках теории возмущений [14], это означает, что его изменение меньше любой степени малого параметра введенного в (3.4). Мы, однако, этого делать не будем, а сразу покажем, следуя [7], что экспоненциально мало. С этой целью определим изменение адиабатического инварианта

и будем считать, что зависимость параметра (например, частоты малых колебаний от имеет вид, приведенный на рис. 2.13. Разложим в ряд Фурье пой:

Из первого уравнения (3.10) и (3.13) находим

Теперь можно поступать различными способами, и мы выберем наиболее простой из них.

Во-первых, заметим, что член с в сумме отсутствует. Это есть следствие того, что в уравнении (3.10) для стоит производная по т. е. следствие того, что переменная канонически сопряжена циклической переменной

Во-вторых, поправка в уравнении (3.10) для пропорциональна Поэтому ею можно пренебречь, если достаточно мало и нет вырождения по частоте. Таким образом, можно считать, что

В-третьих, все подынтегральное выражение в (3.14), за исключением множителя является медленно меняющейся интегрируемой функцией

Этого достаточно для того, чтобы сразу написать ответ. Как уже не раз нам встречалось, выражение (3.14) есть фурье-образ от медленно меняющейся функции. Поэтому

где константы есть характерное время изменения параметра Это время по порядку величины равно расстоянию особенности медленной функции до действительной оси (см. рис. 2.11).

Поскольку выражение (3.15) экспоненциально мало, то ясно, что в сумме по в формуле (3.14) следует оставить только члены с

Рис. 2.14. Немонотонное изменение адиабатического параметра (а) и его особенности в комплексной плоскости t (б)

Теперь мы видим, какова роль условия отсутствия нулей функции со достаточно близко от действительной оси, так как в противном случае экспоненту нельзя было бы считать быстроосциллирующей.

Адиабатические инварианты при . То, что мы рассмотрели выше, относилось не только к одной степени свободы, но и к виду зависимости медленного параметра от времени, приведенной на рис. 2.13. Этот специальный вид заключался в весьма нетривиальном предположении: достаточно близко к действительной оси имеется только одна особенность с мнимой частью Все же остальные особенности расположены намного дальше, и их вкладом в (3.14) можно пренебречь.

Представим теперь, что существует таких особых точек подынтегральной функции в (3.14) (кроме экспоненты), что

как это изображено на рис. 2.14. Тогда совершенно очевидно, что

и при больших изменение действия может стать далеко не малым.

Осталось сделать совсем небольшой шаг, чтобы понять, что если зависимость является периодической,

то изменение действия может быть не только сколь угодно большим, но и бесконечным (для линейной системы). Это и есть то, что называют параметрическим резонансом, который в данном случае происходит на очень малых частотах

Существенное отличие нелинейной системы от линейной в следующем. По мере накопления изменения действия при продвижении вдоль действительной оси начинается деформация частоты Если, например, с ростом частота растет, то парциальные вклады от особенностей уменьшаются согласно (3.15), и полное изменение действия стремится к постоянному пределу. Возможны, конечно, и другие ситуации, однако в линейном случае частота не зависит от и поэтому параметрический резонанс всегда приводит к неустойчивости даже при выполнении условия адиабатичности (3.4).

Эти простые рассуждения позволяют понять, что может происходить в многомерном случае

Пусть в гамильтониане (3.2) ряд -мерные векторы и пусть при любом зафиксированном значении существует инвариантный -мерный тор. Будем также предполагать невырожденность системы, исключающей как резонансы типа (3.3), так и резонансы более высокого порядка. В этом случае также можно совершить переход от переменных к переменным Гамильтониан в новых переменных имеет форму (3.9), в которой, однако, и надо считать -мерными векторами. Уравнения движения принимают вид

Здесь, как и ранее, можно произвести усреднение по фазам и получить

т. e. N действий являются адиабатическими инвариантами (ком. 10).

Нарушение адиабатической инвариантности. Мы уже, однако, знаем, что получение выражения для адиабатических инвариантов может быть гораздо более легкой задачей, чем определение условий, при которых этот вывод справедлив. Укажем здесь на две возможные ситуации, которые могут привести к большим изменениям величины

и тем самым нарушить адиабатическую инвариантность действия.

Пусть сначала и частоты сильно различаются. Примем для определенности Рассмотрим систему (3.18) для :

Что касается второй степени свободы, то ее частота очень мала. Если в уравнении

можно в первом приближении пренебречь членом и посчитать

то это означает, что в правых частях (3.20) стоят медленные, но периодические функции времени.

Теперь разберемся с временами задачи. Условие адиабатичности означает выполнение двух неравенств:

Поэтому на. временах происходит много осцилляций по второй степени свободы. Следовательно, в изменении может возникнуть большой вклад от этих осцилляций, если, например, выполнено условие

Объясним подробнее это неравенство, используя рассуждения, приводящие к формуле (3.17).

В рассматриваемом случае имеем

так как вторая степень свободы, рассматриваемая как внешняя сила, имеет характерное время Число таких осцилляций за время дает

Подстановка в (3.17) и приводит к неравенству (3.21).

Другая причина возникновения больших изменений является более обширной и более универсальной. Начнем снова с и пусть, для простоты,

Рассмотрим поверхность постоянной энергии и условие резонанса

где -целые числа. Можно исключить, например, выразив его через и Это дает вместо (3.22):

Наконец, из (3.22) и (3.24) исключаем и выражаем как функцию

Формула (3.24) на плоскости имеет вид некоторой кривой (рис. 2.15). Условию резонанса (3.23) соответствует на плоскости семейство прямых

с различными наклонами Точки их пересечения с кривой (3.25) и являются решениями уравнения (3.23). В действительности опасными будут не только резонансы, но и некоторая область в их окрестности (рис. 2.15).

При топология резонансов резко меняется. Например, при различным резонансам соответствуют уже не точки, а кривые (рис. 2.16), и опасная область представляет собой систему каналов, покрывающую всю гиперповерхность постоянной энергии. При система каналов обладает тем же свойством. Все это является отражением того факта, что при инвариантные торы делят пространство и пересекаются при (§ 6 гл. 1).

Отмеченный топологический эффект сразу приводит к необычайно важному следствию для анализа устойчивости системы: попав даже в сколь угодно узкий резонансный канал, система может уйти сколь угодно далеко на поверхности постоянной энергии для и не может этого сделать при Эти соображения были открыты Арнольдом (см. [5,6]) и легли в основу явления диффузии Арнольда, которая будет рассмотрена позднее.

Теперь следует заметить, что при все фазовое пространство покрыто областями или каналами, зацепленными с какими-либо резонансами. Первый из отмеченных случаев фактически тоже сводится к резонансу

высокого порядка. Действительно, справа в условии (3.21) стоит большое число, которое можно с огромной точностью аппроксимировать рациональным числом. Поэтому в многочастотных системах изменение параметра со временем может привести к прохождению системы через резонансы и, как следствие, к возможности ее ухода достаточно далеко. Для этого необходимо лишь, чтобы начальные условия системы попадали в некоторые специальные очень сложно устроенные малые области (ком. 11).

Рис. 2.15. Резонансные точки при и «опасные» области в их окрестности

Рис. 2.16. Резонансные кривые при и опасная область

Почти адиабатические инварианты. В связи со сделанными замечаниями для многочастотных систем можно ввести лишь понятие «почти адиабатических инвариантов», принадлежащее Арнольду [5]: действия являются почти адиабатическими инвариантами невырожденной гамильтоновской системы, т. е. их изменения малы для множества начальных условий, представляющего собой все фазовое пространство, за исключением некоторого множества малой меры.