§ 4. Стохастическая неустойчивость нелинейной волны

Некоторые идеи, которые использовались при анализе слабонелинейного волнового поля, могут быть перенесены для изучения сильнонелинейных волн. Мы уже отмечали в гл. 9, что параметр сильной связи для нелинейных периодических волн можно эффективно использовать для изучения их эволюции с помощью подходящей теории возмущения. Именно так исследовалось резонансное взаимодействие в § 3 гл. 9 между

внешним возмущением и волной. Сейчас мы пойдем дальше и рассмотрим» как существование большого числа резонансов может привести к стохастизации нелинейной волны (см. обзоры [12, 2]).

Канонические уравнения. Пусть снова, как и в § 3 гл. 9, нелинейная периодическая волна возмущается внешним периодическим источником. В § 9.3 нам удалось ввести переменные действие—угол и получить укороченные уравнения (3.28). Для анализа более общего случая нам понадобится и более точная форма уравнений движения в переменных

Для этой цели представим гамильтониан системы в виде невозмущенной части и возмущения

Ограничимся, как и в § 3 гл. 9, случаем, когда линейно зависит от у. Пользуясь условием периодичности по координате, представим величины в виде разложений

которые эквивалентны (9.3.22) и (9.3.18), а функция имеет смысл силы возмущения (см. формулы (9.3.16)).

Теперь повторим кратко процедуру введения переменных . С помощью невозмущенного гамильтониана находим при функциональную зависимость

где — скорость невозмущенного движения волны. Определение происходит с помощью уравнения

Далее полагаем, что определенная нами функциональная зависимость

справедлива всегда, т. е. для системы (4.1). Это и есть производимая нами замена переменных.

Убедимся в том, что уравнения движения для являются каноническими. Имеем вместо (4.1), пользуясь разложением (4.2):

Если бы переменные были канонически сопряженной парой, то должно было бы быть:

Первое уравнение (4.7) действительно имеет место, так как из него следует точное уравнение

Для того чтобы убедиться в этом, достаточно воспользоваться определением (4.4) для откуда

Второе уравнение в (4.7) может быть также получено непосредственно из уравнений движения для фурье-гармоник Заметим, что в зависимости от того, как это более удобно, мы изменяем переменную, от которой зависит частота полагая в качестве аргумента либо а зависимость от для простоты записи не указываем.

Существует различие между уравнением для изменения энергии волны (4.8) и аналогичным уравнением для изменения энергии частицы

где гамильтониан частицы, а возмущающая сила. По существу уравнения (4.9) и (4.8) идентичны. Однако в правой части (4.9) стоит произведение скорости и силы, а в правой части (4.8) стоит произведение типа свертки от этих же величин. Это сильно изменяет структуру возможных резонансов.

Расстояние между резонансами. Остановимся на этом замечании подробнее. Разложим в ряд Фурье по времени:

где - частота возмущающей силы. Перепишем уравнения (4.7) с учетом разложения (4.10):

Отсюда видно, в частности, что резонансам соответствуют решения уравнения

Пусть есть множество тех значений которые удовлетворяют уравнению (4.12), т. е.

Ближайшие к резонансные значения находятся из условия

или из условия

Найдем расстояние между резонансами:

В случае (4.14) имеем

В случае (4.7) получаем

Наконец, при больших может оказаться существенным еще один случай;

При величина бсоц оказывается существенно меньше, чем что вытекает сразу из сравнения (4.19) с (4.17) и (4.18). Поэтому этот случай приводит к минимальным расстояниям между соседними резонансами.

Перекрытие резонансов. Напомним, что ширина отдельного резонанса определяется выражением (9.3.38):

где

Подставляя в (4.20), приводим к виду

Условие возникновения стохастичности можем записать как условие перекрытия резонансов

где под понимается минимальное возможное значение Подставляя формулы и (4.21) в (4.22), получаем следующие три случая;

Выполнение какого-либо из условий (4.23) означает, что фаза волны становится случайной функцией времени и ее корреляция экспоненциально убывает со временем. Нелинейная волна покрывается стохастической рябью (рис. 10.2), и эволюцию волны можно описать с помощью кинетического уравнения.

Рис. 10.2. Стохастическая рябь на волне

Диффузионная динамика волны. Дальнейшую картину эволюции волны можно представить себе следующим образом. Внешние силы действуют на волну резонансным образом. Сначала какая-то гармоника (одна или несколько) находятся в резонансе с соответствующими гармониками волны. Вследствие сильной связи в резонанс с внешним полем накачки оказывается втянутой вся волна. На ней появляется рябь возмущения, а энергия и скорость волны изменяются. Волна выходит из резонанса, в котором она находилась. Однако вследствие перекрытия резонансов она оказывается «втянутой» в другое, тоже резонансное взаимодействие. В нем участвуют уже другие гармоники волны. Волна блуждает по резонансам, «подставляя под резонанс» различные свои гармоники.

Описанное случайное блуждание волны может быть формализовано с помощью функции распределения в которой состояние волны характеризуется всего лишь одной переменной Соответствующее уравнение представляет собой уравнение типа Фоккера-Планка-Колмогорова. Его можно получить обычным способом из уравнений движения (4.7) путем усреднения по случайным фазам То обстоятельство, что переменные

являются канонически сопряженной парой, позволяет записать это уравнение в дивергентной форме

Коэффициент диффузии определяется выражением

В нем скобки обозначают усреднение по фазе а время должно быть велико по сравнению со временем затухания фазовых корреляций и мало по сравнению со временем диффузии. Из уравнения (4.11) выражаем

Подставляем это выражение в (4.25) и выполняем усреднение по фазе при Это дает

Упростим выражение (4.26) для типичных нелинейных волн.

Как мы уже видели, для них фурье-гармоники обладают простой зависимостью от

где -амплитуда волны. Поэтому

где эффективная ширина -функции равна и определяется одной из формул Фиг Если, например, возмущение почти монохроматично по времени, то в нем и следует воспользоваться выражением Это дает с учетом того, что сумма по I состоит из одного члена:

Подставляя (4.28) в (4.27), получаем

Для нелинейных волн такого же типа, как решение уравнения имеем

Отсюда

Поле накачки приводит к росту энергии волны за счет передаваемой ей энергии в результате резонансных взаимодействий. Этот рост можно оценить следующим образом. Для тех же волн

Отсюда

и, следовательно,

Подстановка (4.32) в (4.24) дает следующую оценку роста действия волны:

Согласно (4.31), рост энергии волны можно установить из соображений размерности:

Это — довольно быстрый рост. Он имеет степень более высокую, чем при обычном броуновском движении Полученный эффект имеет очевидную интерпретацию. Волна сильно нелинейная, и ее энергия определяется не квадратичной зависимостью от гармоник, как в слабонелинейном случае, а кубической. Это и повышает, как нетрудно убедиться, степень диффузионного роста энергии.

Мы показали, каким образом решается задача о диффузии нелинейной волны во внешнем поле. В основе решения лежит возможность сокращенного описания волны. Поэтому можно таким же способом исследовать накачку любых нелинейных волн. В частности, можно оценить время достижения такой энергии волны (или скорости), при которой происходит опрокидывание. Например, в случае (4.33), где критические скорости для разных видов волн имеем

Мы получили ее, приравняв (4.33) критической энергии . В действительности эта оценка несколько груба. Надо иметь в виду, что с ростом а соотношения (4.31) в волне исчезают, и закон дисперсии сильно отличается от того, которым мы пользуемся при а 1.

КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 10

(см. скан)

(см. скан)