§ 4. Еще два примера нелинейных колебаний

Рассмотренный выше пример колебаний нелинейного маятника достаточно хорошо передает типичную ситуацию того, как устроено нелинейное движение. Однако в физических задачах могут возникнуть отклонения от описанной картины.

Нелинейные колебания плазмы. Рассматриваемый здесь пример выделен тем, что колебания в нем ангармоничны, а частота не зависит от энергии (или от действия). Существует еще одна, более интересная особенность этого вида колебаний, о которой будет сказано ниже.

Колебания электронной плазмы описываются уравнениями

где выбрана система единиц плотность, скорость, -потенциал.

Рассматриваются только такие решения системы (4.1), которые зависят от переменной где постоянная и есть скорость волны, и в дальнейшем полагается (ком. 1). Выбор такого типа решения сразу резко упрощает задачу, так как уравнения в частных производных (4.1) превращаются в обыкновенные дифференциальные уравнения. Первое из них дает

и играет роль граничного условия, в котором положено

Из следующих двух уравнений (4.1) легко находим интеграл движения

где плазменная частота точка означает дифференцирование по

Выражение (4.2) можно рассматривать как гамильтониан системы в фазовом пространстве Траектории на фазовой плоскости приведены на рис. 1.15. При траектория стягивается в точку эллиптического типа. Значению соответствует сепаратриса, а финитное движение существует при

Решение, соответствующее гамильтониану (4.2), легко построить, хотя и в неявной форме. Для этого обозначим

и введем новую функцию

пропорциональную скорости. Тогда из (4.2) находим

где знаки соответствуют разным полупериодам колебаний. График зависимости или при фиксированном приведен на рис. 1.16.

Рис. 1.15. Фазовый портрет плазменных колебаний

Рис. 1.16. Скорость частиц в окрестности сепаратрисы для плазменных колебаний

Прежде чем обсуждать полученную картину нелинейных колебаний, рассмотрим спектральные свойства решения (4.5). Период колебаний вычисляется по очевидной формуле:

Это означает, что частота колебаний и не зависит от энергии колебаний. Вместе с тем колебания являются ангармоническими. Для того чтобы убедиться в этом, найдем спектр колебаний.

Удобно сначала определить спектральное разложение переменной Записывая для нее ряд Фурье

имеем

С помощью определения (4.4) выразим интеграл (4.7) в виде

Отсюда после замены переменной и некоторых преобразований получаем

Введем параметр

характеризующий степень близости к сепаратрисе. Согласно (4.3) на сепаратрисе Рассмотрим область значений таких, что 1. Тогда из (4.8), используя асимптотические формулы для функций Бесселя [7], находим

Таким образом, энгармонизм плазменных колебаний определяется параметром который, как и ранее, характеризует эффективное число гармоник в спектре. При амплитуды Фурье экспоненциально обрезаются.

Рис. 1.17. Колебания в прямоугольной яме

Осталось определить, что происходит в пределе Период колебаний не зависит от Поэтому при периодичность структуры на рис. 1.16 не изменяется. Однако то, что при этом означает, что углы функции заостряются. Это новое явление, которое отсутствовало в предыдущем примере. Оно называется опрокидыванием нелинейной волны. Хорошим аналогом его является заострение волн на поверхности моря при разгоне их ветром. Сначала происходит образование угла на гребне волны, а при больших значениях их скорости возникают «барашки». Так же, как и здесь, заострение гребня волны означает стремление эффективной ширины спектра к бесконечности. Мы еще обсудим этот вопрос при исследовании волновых движений.

Колебания в прямоугольной яме. Еще один, особый, случай, рассматриваемый ниже, содержит особенность траектории при любых значениях энергии. Пусть частица движется между двумя идеально отражающими стенками, расположенными на расстоянии а друг от друга. Горизонтальное движение частицы описывается простым выражением:

(рис. 1.17). Область движения частицы по координате равна а и не зависит от энергии. Внутри этой области

где масса, как и ранее, положена равной 1. Однако скорость частицы зависит от энергии, и поэтому ее период также является функцией Имеем

Из рис. 1.176 легко видеть, что

Отсюда и из (4.12) следует соотношение

Формулы (4.12)-(4.14) показывают, что безразмерный параметр нелинейности а, определенный выражением (2.15), равен

Скорость частицы имеет простую зависимость от времени:

где периодическая ступенчатая функция изображена на рис. 1.18. Разложение х в ряд Фурье дает

Зависимость фурье-амплитуд от показывает, что существенны все гармоники. Характерное число определяющее ширину спектра, отсутствует.

Рис. 1.18. Периодическая ступенчатая функция

Рис. 1.19. Разрывная зависимость фазы волчка от времени возникающая при ее неправильном определении

Это есть следствие того, что сила, действующая на частицу, имеет периодическую особенность на действительной оси

Ротатор. Жесткий волчок, вращающийся с постоянной угловой скоростью вокруг своей оси, является близким вариантом той же модели частицы в прямоугольной яме. Гамильтониан ротатора

где 3 — момент инерции. Поэтому

и уравнение

определяет

Формулы аналогичны формулам Отличие, однако, заключается в виде траектории и в структуре гамильтонианов. Свободное движение частицы является нефинитным, и поэтому в гамильтониан (4.11) приходится вводить потенциал стенок, ограничивающих движение. Это, в свою очередь, приводит к траектории с бесконечно широким спектром. Вращение волчка сразу финитно и

т. е. движение происходит на цилиндрической поверхности. Наличие оператора делает функцию особой (рис. 1.19). Следует писать решение в форме (4.20) или достаточно просто записать Ни то, ни другое. При введении периодического граничного условия зависимость находится уже более сложным образом. Приведем один из возможных способов определения при

Включение начальной фазы просто сдвигает области определения в (4.21) на Формулы (4.21) определяют функцию с помощью бесконечного числа «карт», которые наложены одна на другую с конечной областью перекрытия. Этот способ нагляден, хотя и не очень экономен. Существует возможность использовать только две карты (ком. 2).