Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4. Еще два примера нелинейных колебанийРассмотренный выше пример колебаний нелинейного маятника достаточно хорошо передает типичную ситуацию того, как устроено нелинейное движение. Однако в физических задачах могут возникнуть отклонения от описанной картины. Нелинейные колебания плазмы. Рассматриваемый здесь пример выделен тем, что колебания в нем ангармоничны, а частота не зависит от энергии (или от действия). Существует еще одна, более интересная особенность этого вида колебаний, о которой будет сказано ниже. Колебания электронной плазмы описываются уравнениями
где выбрана система единиц Рассматриваются только такие решения системы (4.1), которые зависят от переменной
и играет роль граничного условия, в котором положено Из следующих двух уравнений (4.1) легко находим интеграл движения
где плазменная частота Выражение (4.2) можно рассматривать как гамильтониан системы в фазовом пространстве Решение, соответствующее гамильтониану (4.2), легко построить, хотя и в неявной форме. Для этого обозначим
и введем новую функцию
пропорциональную скорости. Тогда из (4.2) находим
где знаки
Рис. 1.15. Фазовый портрет плазменных колебаний
Рис. 1.16. Скорость частиц в окрестности сепаратрисы для плазменных колебаний Прежде чем обсуждать полученную картину нелинейных колебаний, рассмотрим спектральные свойства решения (4.5). Период колебаний вычисляется по очевидной формуле:
Это означает, что частота колебаний Удобно сначала определить спектральное разложение переменной
имеем
С помощью определения (4.4) выразим интеграл (4.7) в виде
Отсюда после замены переменной
Введем параметр
характеризующий степень близости к сепаратрисе. Согласно (4.3) на сепаратрисе
Таким образом, энгармонизм плазменных колебаний определяется параметром
Рис. 1.17. Колебания в прямоугольной яме Осталось определить, что происходит в пределе Колебания в прямоугольной яме. Еще один, особый, случай, рассматриваемый ниже, содержит особенность траектории при любых значениях энергии. Пусть частица движется между двумя идеально отражающими стенками, расположенными на расстоянии а друг от друга. Горизонтальное движение частицы описывается простым выражением:
(рис. 1.17). Область движения частицы по координате равна а и не зависит от энергии. Внутри этой области
где масса, как и ранее, положена равной 1. Однако скорость частицы зависит от энергии, и поэтому ее период также является функцией
Из рис. 1.176 легко видеть, что
Отсюда и из (4.12) следует соотношение
Формулы (4.12)-(4.14) показывают, что безразмерный параметр нелинейности а, определенный выражением (2.15), равен
Скорость частицы имеет простую зависимость от времени:
где периодическая ступенчатая функция
Зависимость фурье-амплитуд
Рис. 1.18. Периодическая ступенчатая функция
Рис. 1.19. Разрывная зависимость фазы волчка от времени Это есть следствие того, что сила, действующая на частицу, имеет периодическую особенность на действительной оси Ротатор. Жесткий волчок, вращающийся с постоянной угловой скоростью
где 3 — момент инерции. Поэтому
и уравнение
определяет
Формулы
т. е. движение происходит на цилиндрической поверхности. Наличие оператора
Включение начальной фазы
|
1 |
Оглавление
|