§ 2. Нелинейные кооперативные явления при взаимодействии поля излучения с веществом

Взаимодействие сильных полей с атомами становится в значительной степени нелинейным. Существует некоторое разнообразие в проявлении нелинейного характера взаимодействия. Одну из весьма важных причин нелинейности можно охарактеризовать как пленение излучения. Квант света поглощается атомом на резонансном переходе и затем излучается обратно. Излученный квант практически не успевает пробыть в свободном состоянии и снова поглощается, но уже другим атомом. В результате

квант на длительное время, или, иначе, на длинном пути, оказывается плененным системой атомов. Возникает когерентное взаимодействие атомов с полем излучения. Среда приобретает активные свойства, индуцированные полем. Этот процесс играет в современной квантовой радиофизике важную роль. Рассмотрим его подробнее (ком. 4).

Кооперативные эффекты. Система энергетических уровней атома, как правило, сильно неэквидистантна (рис. 15.3). Поэтому при взаимодействии атома с полем, имеющим фиксированную частоту, основную роль играет лишь та пара уровней, переход между которыми резонансен частоте поля. Это приводит к тому, что атомы часто рассматривают как двухуровневую систему, и такое приближение оказывается достаточным. Оно приводит к тому, что атом становится сильно нелинейной системой. Действительно, линейный осциллятор имеет эквидистантный полуограниченный спектр. Двухуровневая система имеет минимальное сходство с ним.

Рис. 15.3. Неэквидистантный энергетический спектр атомов

Если атомов много, то при взаимодействии их с полем могут возникнуть кооперативные эффекты. Простейшее представление о них можно получить следующим образом. Для этого рассмотрим, как может происходить излучение системы, состоящей из многих атомов.

В классической электродинамике интенсивность излучения системы равна

где дипольный момент системы. Система из атомов имеет дипольный момент

где дипольный момент атома. По существу, ответ на вопрос об излучении системы из атомов зависит от того, чему равна сумма (2.2). В процессе взаимодействия с полем излучения дипольный момент атома не остается постоянной величиной. Он осциллирует, и это есть прямое следствие нелинейности атома, которую мы объяснили выше. Поэтому сумма дипольных моментов атомов (2.2) может принимать значения в очень широком диапазоне. Если в процессе излучения атомы ведут себя некоррелированным образом, то

где -дипольный момент одного атома. Соответственно с (2.3) и (2.1)

где — частота излучения. Мы приходим к хорошо известному и тривиальному результату: интенсивность излучения пропорциональна сумме интенсивностей отдельных излучателей. Однако этот результат не является единственно возможным.

Предположим, что взаимодействие атомов с полем излучения происходит скор рели рованным образом. Изменение со временем дипольных моментов отдельных атомов происходит когерентным образом, и в результате для суммы (2.2) имеем

Это сразу приводит к

т. е. интенсивность излучения увеличивается в раз по сравнению со случаем некогерентного движения атомов. Излучение, описываемое формулами

(2.5), (2.6), называется сверхизлучением. Аналогично сверхизлучению возможно сверхпоглощение и сверхрассеяние.

Когерентная динамика дипольных моментов отдельных атомов вызвана их коллективным движением в результате взаимодействия с полем. В этом случае говорят о кооперативных эффектах, которые вызваны образованием связанного состояния между системой атомов как целого и полем излучения. Это связанное состояние, как будет видно ниже, полностью аналогично многим, уже рассмотренным нами, случаям резонансного взаимодействия нелинейных систем с внешним полем. Если поле излучения «заперто» внутри резонатора, то говорят о сложной, системе «атомы поле». Мы ниже будем иметь дело именно с такого типа системой.

Атомы + поле излучения как динамическая система. Для ее описания можно воспользоваться так называемой полуклассической моделью, в которой поле излучения считается классическим, а атомы квантовой двухуровневой системой (ком. 5). Состояние атома описывается волновой функцией

представляющей суперпозицию двух базисных состояний (атома Коэффициенты удовлетворяют условию нормировки

Состояние атома удобно характеризовать тремя величинами:

где величина называется разностью населенностей. Дипольный момент атома равен

где -матричный элемент дипольного момента.

Для системы из атомов вводятся плотности соответствующих величин

С их помощью уравнения движения системы атомы поле для поля с частотой , равной частоте перехода атома, и с длиной волны, превышающей размеры системы, принимают вид [13]:

где поле излучения и плотность атомов. В теории взаимодействия атомов с излучением важную роль играет величина называемая кооперационным числом. Оно равно

Из двух последних уравнений системы (2.11) получаем

и, следовательно, кооперационное число является интегралом движения. Кроме того, система (2.11) имеет интеграл энергии

где введена безразмерная величина поля

и безразмерная константа взаимодействия

Выражение (2.14) можно после простых преобразований рассматривать как гамильтониан системы, состоящей из двух степеней свободы — атомы и поле. Атомы характеризуются коллективными переменными (2.10). Согласно (2.8), величина имеет смысл эффективной населенности, приходящейся на один атом. Поскольку величине соответствует возбуждение атома на верхний уровень, т. е. поглощение одного кванта поля с энергией со, то можно сказать, что есть также плотность на один атом числа фотонов с частотой со, поглощенных атомами и, следовательно, находящихся в связанном состоянии. Величина в силу (2.9) есть просто средний дипольный момент, приходящийся также на один атом.

Удобно далее ввести переменные действие—угол:

и определить гамильтониан системы с помощью (2.14) следующим образом:

где обозначено

и сделана замена

Первый член в (2.17) имеет очевидную форму энергии линейного осциллятора с частотой со и соответствует энергии поля. Второй член описывает энергию двухуровневой системы. Он соответствует энергии прецессирующего момента с проекцией на фиксированную ось. Наконец, третий член описывает взаимодействие атомов с полем, и в нем есть два слагаемых. Первое содержит косинус разности фаз, второе — косинус суммы фаз состояний атомов и поля. Чтобы понять разницу между ними, запишем уравнения движения в переменных действие — угол.

Из (2.17) имеем

Обратим внимание на то, что последние два уравнения соответствуют обобщенному гамильтоновскому принципу, который мы уже обсуждали ранее. Нетрудно убедиться в том, что система (2.20) эквивалентна системе (2.11). Мы видим, что при малых А частота поля и частота прецессии момента, характеризующего состояния атомов, равны со. Поэтому член с в гамильтониане (2.17) соответствует резонансному взаимодействию. Наоборот, член с в соответствует нерезонансному взаимодействию.

Связанное состояние атомов с полем излучения. Рассмотрим сначала случай малых и ограничимся лишь резонансным членом в гамильтониане. Тогда

где через обозначена энергия взаимодействия атомов с полем:

Соответствующая система уравнений движения совпадает с системой (2.20), если в последней отбросить все слагаемые, содержащие или . С точностью до этих отброшенных слагаемых просто получить, что

и, следовательно, в резонансном случае возникает дополнительный к Я (или С) интеграл движения. Это позволяет проинтегрировать точно задачу в резонансном случае.

Движение, определяемое гамильтонианом происходит по поверхности Фазовые траектории приведены на рис. 15.4. На нем Каждая траектория определяется двумя интегралами движения и описывает периодические колебания разности населенностей атомов Одновременно с этим происходит колебание энергии поля Этому процессу можно придать очень наглядный физический смысл.

Рис. 15.4. Поверхность постоянной энергии в фазовом пространстве

Для этого заметим, что величина

есть число фотонов поля излучения, приходящееся на объем, занимаемый одним атомом. Поэтому величина

есть полное число фотонов в объеме одной атомной ячейки. Часть из них находится в «полевом состоянии», а часть поглотилась атомами и возбудила их, переводя на верхний уровень. Из соотношений (2.19), (2.20) и (2.22) следует, что

т. е. выражение (2.24) также есть интеграл движения. Поэтому колебания величин означают, что некоторая доля фотонов периодически переходит из поля в атомы и обратно. В этом и заключается физический смысл фазовых траекторий на рис. 15.4. Их проекции на плоскость приведены на рис. 15.5. Принято говорить, что в системе (2.21) происходят периодические преобразования поля.

Полное преобразование поля происходит на особой траектории с . Это — сепаратриса. Она описывает решение типа солитона, при котором поле может полностью перейти в атомы, т. е. может произойти полное поглощение поля. Соответствующее обращение этого решения во времени описывает полное излучение атомами поля.

Приведем решение, описывающее в явной форме процесс периодического преобразования поля. Для этого совершим некоторые вспомогательные преобразования. Сначала заметим, что согласно уравнениям (2.11) и (2.12) можно исключить заменами

Поэтому без ограничения общности можно положить просто что мы и будем далее предполагать.

Переменные являются канонически сопряженной парой, если принятьв качестве гамильтониана интеграл движения записанный в виде

Действительно, выражения

соответствуют уравнениям движения, получаемым из (2.20) в резонансном приближении.

Еще одно упрощение можно получить, если перейти от переменных к переменным . В качестве гамильтониана возьмем (2.26) в виде

в котором следует исключить с помощью первого уравнения (2.27). Это дает

Рис. 15.5. Проекции траекторий в резонансной модели при различных значениях

Непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости уравнений

т. е. есть также канонически сопряженная пара переменных для гамильтониана (2.28).

Теперь уже гамильтониан в форме (2.28) имеет привычную для нас форму энергии осциллятора с кубическим потенциалом. Система (2.29) легко интегрируется, и решение зависящее от двух интегралов движения <§ и 3, имеет вид

где корни уравнения

х—модуль эллиптической функции

Решение типа (2.30) нам хорошо известно. В данном случае оно описывает периодические переходы энергии (или квантов) из поля в атомы и обратно. Этот процесс, естественно, является когерентным и соответствует образованию связанного состояния между атомами и полем излучения. Связанное состояние аналогично внутреннему нелинейному резонансу. В частности, в окрестности сепаратрисы Частота малых колебаний переходов равна при

Одной из примечательных особенностей рассматриваемой системы является существование в резонансном приближении дополнительного интеграла движения, который выделяется в явном виде как энергия взаимодействия двух

степеней свободы. Учет нерезонансного отброшенного члена приводитк разрушению этого интеграла движения и потере когерентности. Рассмотрим, как это происходит.

Рис. 15.6. Стохастическая траектория при

Разрушение связанного состояния. Влияние нерезонансных членов можно рассматривать как возмущение. Оно обусловлено в системе уравнений (2.20) теми слагаемыми, которые содержат или

Рис. 15.7. Полная стохастизация при

При малых значениях т. е. при слабом взаимодействии атомов с полем, следовательно, эти члены являются быстро осциллирующими.

Невозмущенное движение имеет сепаратрису при Поэтому высокочастотное возмущение, обусловленное нерезонансными членами, приводит к образованию в окрестности сепаратрисы экспоненциально узкого

стохаотического слоя. Оценка его ширины приведена в § 3 гл. 5. В данном случае стохастический слой имеет ширину

где

Поскольку полное преобразование энергии из атомов в поле и обратно происходит вблизи сепаратрисы, то именно этот режим подвержен стохастическому разрушению. При этом происходит потеря когерентности поля. Однако теперь она связана не с потерей корреляции отдельных атомов, а с некогерентной динамикой всей атомной системы как целого.

Рис. 15.8. Зависимость расстояния между начально близкими траекториями от времени при

Формула (2.32) показывает, что существует универсальная граница когерентного преобразования энергии при взаимодействии атомов с полем излучения. Граница зависит, в основном, от одного параметра—константы взаимодействия. Хотя область разрушения когерентности и мала, однако потеря когерентности является сильной. Ее можно характеризовать степенью уширения спектральных линий колебаний, например, разности населенностей Поскольку перемешивание внутри стохастического слоя является достаточно интенсивным, то относительная ширина линий оказывается достаточно большой. Для ее оценки можно написать

где среднее время расцепления фаз внутри стохастического слоя, — характерная частота внутри слоя и — параметр локальной неустойчивости -энтропия). Численный анализ, например, показывает, что при получается Это очень большая величина, которая означает фактическую потерю когерентности (ком. 6).

С увеличением ширина стохастического слоя растет. Кривые из области на рис. 15.4 переходят в область и обратно. Пример стохастической траектории при приведен на рис. 15.6. Точки обозначают места пересечения траекторией плоскости Сама же траектория теперь не лежит на поверхности, как в резонансном приближении, а заполняет трехмерное многообразие Однако наиболее сильное разрушение когерентности происходит при переходе значения через критическое значение

Оно сопровождается практически полным разрушением регулярного движения и заполнением траекторией всего фазового объема. Пример такой траектории

при приведен на рис. 15.7. Ей соответствует полное исчезновение когерентных свойств в системе «атомы + поле». Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть локальную неустойчивость при таких значениях и найти На рис. 15.8 приведены два случая вычисления где расстояние между точками двух траекторий с близкими начальными значениями и безразмерное время. Из этих кривых легко получить:

Таким образом, относительная ширина линии перехода быстро приближается к единице с ростом

Рис. 15.9. Стохастическая траектория на плоскости при Прямой изображена невозмущенная траектория

Еще одна характеристика системы позволяет глубже понять физический смысл происходящих в ней процессов. При отбрасывании нерезонансных членов взаимодействия в системе остается дополнительный интеграл движения (2.24). Это означает, что при значения на траектории лежат на прямой (2.24). Однако в точной постановке задачи, где возникает стохастичность, величина <§ уже не есть интеграл движения, и поэтому точки траектории системы не лежат на прямой (2.24). Характер разрушения интеграла движения при хорошо виден из рис. 15.9. Число фотонов поля так же как и число возбужденных атомов, хаотически изменяется со временем, разрушая когерентность всех процессов взаимодействия атомов и поля излучения (ком. 7).

КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 15

(см. скан)

(см. скан)