§ 2. Системы с одной степенью свободы

Системы с одной степенью свободы относятся к числу простейших систем. На их примере можно ввести некоторые важные понятия общей теории.

Фазовый портрет. Остановимся на анализе простейшего вида движения гамильтоновской системы с одной степенью свободы. Если гамильтониан системы имеет форму

т. е. не зависит от времени, то энергия системы является интегралом движения Это позволяет в одномерном случае записать

и проинтегрировать задачу, т. е. найти траекторию где

Качественный анализ возможных видов траекторий системы можно, однако, произвести, не интегрируя выражения (2.2), а воспользовавшись существованием инварианта . В зависимости от структуры потенциала имеются «захваченные» в потенциальную яму траектории частиц и «пролетные» траектории. Захваченным траекториям соответствует финитное движение (периодические колебания), пролетным—инфинитное. Различные типы траекторий разделяются на фазовой плоскости особыми кривыми, называемыми сепаратрисами на рис. 1.5).

Уравнения движения (1.5) согласно (2.1) имеют вид

Состояние равновесия находится из условий т. е.

Это означает, что в положениях равновесия скорость (см. (2.3)) равна нулю, а потенциал имеет экстремум (точки на рис. 1.5).

Рис. 1.5. Потенциал и фазовый портрет системы; сепаратрисы

Проведем элементарное исследование траекторий системы в окрестности положений равновесия. Уравнение траекторий на фазовой плоскости выражается формулой (2.2). Разложим ее левую и правую части в окрестности положения равновесия Согласно (2.4) получаем

где значение энергии в точке равновесия. Удобно переписать (2.5) в виде

Рассмотрим сначала случай (потенциальный горб). Через точку проходят две прямые. Эти прямые являются частями сепаратрисы и соответствуют траектории с Семейство траекторий имеет вид гипербол {рис. 1.6а). Точка называется гиперболической точкой или седлом. Не вдаваясь в детали определения понятия устойчивости, легко увидеть, что движение в окрестности седла неустойчиво. Такими точками на рис. 1.5 являются точки

Рис. 1.6. Фазовые траектории в окрестности гиперболической (а) и эллиптической (б) точек

При точка называется эллиптической, так как в ее окрестности семейство траекторий, согласно (2.6), имеет вид эллипсов (рис. 1.66), причем всегда . В определенном смысле движение в окрестности эллиптической точки устойчиво. Точка на рис. 1.5 является эллиптической.

Траектория, проходящая в достаточно малой окрестности эллиптической точки, совершает всегда финитное движение. Обратное утверждение также справедливо, если траектория не имеет особенностей.

Переменные «действие — угол». На примере систем с одной степенью свободы удобно ввести переменные, которым отведено особое место в теории нелинейных систем. Это переменные «действие—угол». Их уникальные свойства простираются за пределы классической теории, и в квантовой механике переменная действия встречается не реже, чем в классической. После рассмотрения систем с числом степеней свободы мы обсудим некоторые причины, выделяющие действие — угол среди произвольного множества других переменных.

Канонически сопряженной парой переменных для гамильтониана называются переменные, удовлетворяющие гамильтоновским уравнениям движения (1.5). Введение канонически сопряженной пары действие—угол для одной степени свободы осуществляется с помощью соотношений

где укороченное действие, являющееся для данного случая производящей функцией. В уравнениях (2.7) предполагается, что система совершает финитное движение, и интеграл берется по полному периоду колебаний. Аналогично можно ввести действие для нефинитных движений, и в случае, если гамильтониан является периодической функцией координат:

Уравнения движения для имеют вид

Из определения (2.7) следует, что является функцией только I и не зависит от Поэтому действие является интегралом движения, так же как и энергия Вместо можно записать Мы это всегда будем подразумевать. Второе уравнение в (2.8) определяет нелинейную

частоту Интегрирование уравнений (2.8) дает

Важное свойство переменной цикличность. Действительно, изменение на периоде равно

Отсюда

что и оправдывает название переменной

Траекторию системы можно изобразить кривой, лежащей на цилиндрической поверхности (рис. 1.7), если фазовую плоскость дополнить осью Поскольку сечение поверхности равно как раз величине (2.10), то поверхность, на которой лежит множество всех траекторий при фиксированной энергии и произвольных начальных значениях является инвариантом движения.

Рис. 1.7. Инвариантная цилиндрическая поверхность

Спектр нелинейных колебаний. Формулы (2.7) позволяют (по крайней мере, принципиально) выразить через новые переменные Будем далее предполагать это выполненным. Тогда по циклической переменной можно произвести разложение в ряд Фурье:

где коэффициенты разложения удовлетворяют условию вещественности

и определяются стандартными формулами

Фурье-гармоники определяют спектральные свойства движения системы. Для линейной системы

можно легко получить из (2.7):

Поэтому в случае линейных колебаний разложение (2.11) состоит всего из одной моды:

Появление других мод в спектре (2.11) означает энгармонизм колебаний. Можно ли сказать что-либо априори относительно свойств фурье-гармоник Оказывается, можно. Предположим, что потенциал

является достаточно хорошей функцией, и поэтому не имеют особенностей на действительной оси Рассмотрим асимптотику при Проведем сначала качественные рассуждения.

Выделим некоторый, пусть малый, но конечный интервал Очевидно, что если этот интервал достаточно мал, то, например, как функция меняется на нем очень мало. Поэтому с достаточной степенью точности можно принять на интервале Но тогда

Точность равенства (2.13) можно сколь угодно повышать, выбирая достаточно большие То же самое можно сказать и относительно всех других интервалов из которых состоит область Таким образом, при любой заданной точности найдутся достаточно большие для которых и согласно их определению в (2.12).

Ясно, что поскольку не есть тождественные константы как функции то это лишь означает, что малость выражений при не может быть уловлена ни в каком конечном порядке Тогда отсюда следует, что

т. е. существует такое число которое экспоненциально обрезает спектр. Это число имеет простой формальный смысл: порядка расстояния от действительной оси до ближайшей особенности в комплексной плоскости На примерах, рассматриваемых ниже, мы получим более наглядную интерпретацию соотношений (2.14).

Существование «критического» номера имеет глубокий физический смысл, определяя степень жесткости системы. Очевидно, что величины при очень малы, и ими можно достаточно надежно пренебречь, если нас не интересуют столь малые эффекты. Тогда можно сказать, что система характеризуется в основном гармониками, которые сильно связаны между собой. При изучении многих задач, и в особенности динамики нелинейных волн, мы увидим, как число самым существенным образом определяет эволюцию системы.

Расплывание фазовой капли. Введенное выше число характеризует степень энгармонизма колебаний. Степень их нелинейности можно описывать с помощью безразмерного параметра а:

Он определяет, в частности, характер движения фазовой капли в фазовом пространстве. Рассмотрим, например, некоторую область в фазовом пространстве, заполненную не взаимодействующими осцилляторами. Если т. е. и осцилляторы линейные, то происходит перемещение всей области как целого без изменения формы ее границ.

Если, однако, то фазовая капля начинает расплываться. Это обусловлено тем, что частоты осцилляторов зависят от их энергий (т. е. от величины действия). Поэтому частицы из различных участков фазового пространства движутся с различными скоростями. В результате происходит искажение формы границы фазовой капли со временем (рис. 1.8). Расплывание фазовой капли сопровождается укручением профиля фронта ее границы (рис. 1.9), где частицы с большей ординатой обладают большей скоростью.

Пусть фазовая капля ограничивает в фазовом пространстве область, в которой действие лежит в интервале Дисперсия действия

определяет дисперсию частот в фазовой капле:

Рис. 1.8. Расплывание фазовой капли

Рис. 1.9. Укручение фронта границы фазовой капли

Очевидно, что опрокидывание фронта профиля капли и потеря однозначности формы границы происходит через такое время когда дисперсия фазы станет порядка т. е.

В безразмерных переменных с помощью (2.15) формулу (2.16) удобно переписать в виде

где время расплывания связывается с параметром нелинейности а.