§ 2. К-системы

Значительное время в физике понятие перемешивания относили лишь к статистическим системам. Это представлялось вполне естественным хотя бы потому, что казалось невероятным, чтобы столь сильно различающиеся движения, как регулярное (например, условно-периодическое) и нерегулярнее (стохастическое с перемешиванием), могли принадлежать одной и той же системе. Действительность оказалась достаточно неожиданной, т. е. выяснилось, что почти все нелинейные системы именно такие. Тем самым, открылся иной путь анализа динамических систем. Его следует начать снова с понятия устойчивости системы (ком. 2).

Локальная неустойчивость. Даже при беглом взгляде на рис. 4.1 и 4.2 мы обнаруживаем, что свойство перемешивания должно быть тесно связано со свойствами неустойчивости динамических систем (ком. 3).

Рассмотрим сколь угодно малую ячейку фазового пространства. При перемешивании она должна расплываться по всему фазовому пространству. Это означает, что точки, которые в начальный момент времени были близки друг к другу, с течением времени удаляются друг от друга и начинают двигаться независимо. Поэтому свойство перемешивания естественно ожидать

у таких неустойчивых систем, у которых траектории с течением времени быстро удаляются друг от друга. Иными словами, сколь угодно малые возмущения начальных условий приводят к сколь угодно сильному уходу фазовой траектории системы от своего невозмущенного значения. Если фазовое пространство системы является конечным, то фазовые траектории не могут разойтись из-за неустойчивости более чем на характерный размер пространства, и начинается их запутывание.

Рис. 4.3. Локальная неустойчивость траекторий

Описанный тип неустойчивого движения называется локальной неустойчивостью. Обозначим через расстояние между двумя точками в фазовом пространстве, принадлежащими разным траекториям в момент времени (рис. 4.3). Формальное определение локальной неустойчивости следующее: существует направление, в котором растет экспоненциально:

где инкремент неустойчивости является, вообще говоря, функцией точки, в фазовом пространстве.

Свойство (2 1) очень важно для последующего изложения. Поэтому остановимся на нем подробнее.

Пусть, например, движение динамической системы задано с помощью отображения в фазовом пространстве

где дискретное время и вектор определяет точку в фазовом пространстве. Якобиева матрица отображения определяется как

где размерность фазового пространства. Будем считать отображение невырожденным, т. е. Если фазовый объем сохраняется, то для любого момента времени

Рассмотрим собственные значения матрицы Они находятся из характеристического уравнения

где единичная матрица размерности Величины вообще говоря, комплексны. Их можно расположить в порядке возрастания абсолютных значений:

где выделено некоторое такое, что оно является последним, у которого Это означает, что имеется направлений в фазовом пространстве, вдоль которых возмущение вектора состояния и вместе с ним фазовый, объем растягиваются.

Показатель растяжения можно определить следующим образом. Пусть, сначала для простоты в направлении собственного вектора с номером происходит растяжение на шагу с характеристическим числом Пусть также эта величина не зависит от Тогда через шагов отображения, длина вектора состояния в направлении будет расти как

Величина является не чем иным, как показателем Ляпунова.

Если все неустойчивые направления имеют сохраняющиеся во времени показатели Ляпунова, то локальная неустойчивость характеризуется достаточно просто выражением

Оно определяет показатель экспоненциального роста элемента фазового объема.

В общем случае показатели Ляпунова а,- являются функцией точки более того, направления растяжения или сжатия векторов состояния меняются в зависимости от . С этим, как мы увидим далее, связаны некоторые формальные трудности, которые физики своеобразно «преодолевают», не обращая на них вообще никакого внимания (при этом сравнение получающегося результата с числовыми данными иногда достигает поразительной точности). В гамильтоновском случае Поэтому

Это означает, что при

Отсюда видно, что если неустойчивость существует, то одно направление в фазовом пространстве неустойчивое, а другое — устойчивое. Пусть для определенности

Тогда и вопрос о локальной неустойчивости решен положительно.

Пример. Этот классический пример носит название автоморфизма тора [2, 4, 10]. Он представляет собой следующее отображение, действующее в фазовом пространстве (х, у):

где означает дробную часть выражения. Уравнения (2.6) определяют линейное преобразование на торе, сохраняющее меру. Действительно,

Несколько позднее мы покажем, как отображение такого типа возникает для шарика, движущегося в биллиарде со специально подобранной формой стенок.

Собственные значения матрицы равны

и удовлетворяют соотношению

Они также несоизмеримы и поэтому определяют эргодическое движение на торе. Существование означает наличие локальной неустойчивости с инкрементом локальной неустойчивости

Развитие локальной неустойчивости приводит к причудливой модификации фазовой ячейки, о чем дает представление принадлежащий Арнольду рис. 4.4. Глядя на него, мы уже догадываемся, что здесь также имеет место перемешивание.

Связь перемешивания с локальной неустойчивостью. Существуют различные примеры и связанные с ними многие сложности, если допустить, что расцепление корреляций (1.15) может происходить произвольным способом. Чтобы избежать этих сложностей и сохранить по возможности наиболее ясную картину поведения динамических систем, мы ограничимся лишь теми случаями, где затухание корреляций происходит экспоненциально во времени:

Рис. 4.4. Изменение области «кот Арнольда» (заштрихована)

Время носит название времени расцепления корреляций.

Введенное ограничение не выводит наше рассмотрение из класса типичных задач в типичных ситуациях (ком. 4).

Интуитивно кажется вполне реальным, что расцепление корреляций и, следовательно, перемешивание обусловлены локальной неустойчивостью. В тех случаях, где удается вычислить обе названные характеристики, это оказывается действительно так. Более того, имеет место соотношение

Для примера, рассмотренного выше, коррелятор достаточно просто вычисляется и дает

К-системы. За этим очень важным соотношением скрывается в действительности еще более важная характеристика динамических систем. Соотношение (2.9) носит принципиальный характер. Оно устанавливает связь между статистическими свойствами системы и ее чисто динамической характеристикой Можно выяснить, когда регулярное движение системы разрушится и ее динамика станет перемешивающейся. Для этого достаточно выяснить условие, при котором возникает локальная неустойчивость (2.1). Такое условие будем в дальнейшем называть условием стохастической неустойчивости или просто условием стохастичности.

Локальная неустойчивость может также приводить к разрушению первых интегралов движения, и мы в дальнейшем познакомимся со многими такими примерами. Максимальной локальной неустойчивости в изолированной гамильтоновской системе с степенями свободы соответствует разрушение всех интегралов движения, кроме полной энергии. В этом случае происходит движение с перемешиванием на гиперповерхности полной энергии системы, и это есть как раз то ее качество, к выяснению которого были направлены многие исследования по обоснованию статистической физики (ком. 5).

Динамические системы, которые обладают свойствами локальной неустойчивости и перемешивания, не обусловленные действием случайных полей, будем называть далее К-системами. Это важное понятие в несколько более узком, но более строгом смысле было введено впервые Колмогоровым. Ему было суждено сыграть особую роль в теории динамических систем. Почему

это так, становится ясно, если поставить следующий вопрос: как много К-систем среди множества всех систем? Более детально, под К-системой будем понимать любую динамическую систему, у которой в некоторой конечной области значений ее параметров существует область фазового пространства, которой реализуется К-свойство (т. е. перемешивание). Тогда ответ на поставленный вопрос выглядит неожиданно: почти все динамические системы являются К-системами.

Такой ответ звучит в значительной степени обескураживающе, так как он рождает сразу же другой вопрос: почему мы так долго не видели или почти не видели К-систем? В действительности видели, но не замечали этого. А в некоторых случаях даже старались избегать очень странной динамики с плохо предсказуемым будущим. Сейчас понятие К-систем не только вдохнуло новую жизнь в анализ нелинейных систем, но и позволило получить более полное представление об их эволюции на бесконечном интервале времени.

Рис. 4.5. Изменение огрубленного фазового объема

Энтропия Колмогорова-Синая. Существование динамических систем, которые могут в той или иной степени обладать свойством перемешивания, приводит к необходимости введения некоторой универсальной характеристики таких систем. Очевидно, что эта величина должна также быть инвариантом.

В 1958 г. Колмогоров ввел новый метрический инвариант динамических систем называемый энтропией и определяющий, есть в системе перемешивание или нет [11]. Это определение было развито Синаем [12], и мы приведем этот последний вариант ниже. Мы не будем прибегать, однако, к точному формальному определению ввиду его относительной сложности, а воспользуемся неформальными качественными соображениями, более естественными для физического анализа картины [8].

Поскольку перемешивание означает появление достаточно сложной картины запутывания траекторий в фазовом пространстве, то естественно для описания ее сложности использовать понятие энтропии. Пусть, например, фазовая капля занимает объем в фазовом пространстве. Тогда ее энтропия равна

(все размерные константы положены равными единице). Если начальный фазовый объем капли равнялся то в момент времени он принимает значение Для гамильтоновской системы в силу теоремы Лиувилля

и энтропия (2.11) не изменяется.

Однако структура капли в результате эволюции изменяется. В ней появляются пузыри пустоты. С ростом времени пузырчатая структура становится все более мелкой, а огибающий объем фазовой капли расширяется и ограничивает все больший фазовый объем (рис. 4.5).

Введем величину имеющую размерность фазового объема, и огрубим структурную сетку фазовой капли на рис. 4.5 с точностью до Это означает, что траекторию надо изображать карандашом, рисующим линии толщиной Так возникает огрубленный фазовый объем Для него, конечно, теорема Лиувилля неприменима, и он растет со временем по мере увеличения длины фазовой нити.

Согласно формуле для локальной неустойчивости (2.1) легко находим

где

т. е. показатель роста объема получается усреднением инкремента локальной неустойчивости по всем направлениям и по всему фазовому пространству.. Воспользуемся теперь формулой (2.11) и подставим в нее (2.12):

где энтропия, вычисленная по огрубленному фазовому объему. При точности огрубления очевидно, что не имеет смысла брать меньше, чем Поэтому в формуле (2.14) можно положить

Для вычисления энтропии с большей точностью следует перейти к пределу

Рассмотрим выражение

Оно и определяет энтропию Колмогорова-Синая. Очень важно в формуле (2.15) выполнять предельные переходы в указанной последовательности. Перечислим основные свойства энтропии динамической системы

1. Энтропия определяет скорость увеличения энтропии в результате процесса перемешивания траекторий в фазовом пространстве.

2. Энтропия инкремент локальной неустойчивости и обратное время расцепления корреляций (см. (2.9)) являются величинами одного порядка:

3. Энтропия является метрическим инвариантом системы [11], т. е. ее значение не зависит от способа разбиения фазового пространства и его огрубления.

4. Энтропия определяет некоторое свойство подобия систем, которое мы обсудим впоследствии.

В дальнейшем мы увидим также, что те же понятия энтропии, перемешивания и локальной неустойчивости можно ввести и в диссипативном случае.

Если система совершает регулярное движение, то можно сказать, что поток фазовой жидкости является ламинарным. В этом случае, очевидно, Появление положительной энтропии при связано с превращением ламинарного течения фазовой жидкости в турбулентное. Это простое замечание указывает на глубокую связь между процессом возникновения, гидродинамической турбулентности и К-свойством динамической системы.