§ 3. Примеры стационарных волн

Разнообразие стационарных волн велико. Всевозможные их виды и типы определяются средой, в которой они распространяются, и характером физических процессов. Следующие ниже примеры интересны не только в связи с приложениями к многочисленным задачам физики плазмы, но и для понимания некоторых общих вопросов структуры стационарных волн в диспергирующих средах.

Ионно-звуковые волны. В отсутствие столкновений электроны и ионы в плазме имеют, вообще говоря, разные температуры. В тех случаях, когда электронная температура Те велика по сравнению с ионной температурой могут возникнуть колебания типа ионного звука со скоростью

где -масса иона. Нелинейная теория этих колебаний может быть описана с помощью следующих уравнений [6, 7]:

Здесь первое уравнение есть уравнение непрерывности для плотности ионов Второе - уравнение движения для скорости ионов в потенциале Третье — уравнение Пуассона, определяющее потенциал. Линеаризация этой системы приводит к следующему дисперсионному уравнению:

в котором скорость ионного звука определена выражением (3.1), а — де-баевский радиус:

Если рассмотреть случай длинных волн то закон дисперсии (3.3) принимает все тот же универсальный вид (2.10). Теперь роль характерной длины, определяющей дисперсию волн, играет дебаевский радиус (3.4). Интересно, однако, рассмотреть, какой вид имеют нелинейные волны при произвольных значениях дисперсии, т. е. для любых Полагаем

Тогда система (3.2) принимает вид

Уравнение (3.7) показывает, что задача снова приводится к колебаниям частицы в некоторой потенциальной яме.

Запишем интеграл энергии полагая для простоты Имеем из (3.6) и (3.7)

Рис. 8.8. Фазовая плоскость ионно-звуковых колебаний при

Особенностью нелинейных стационарных волн является зависимость их фазового портрета от двух независимых параметров — Поэтому рассмотрим два разных семейства фазовых кривых на плоскости

На рис. 8.8 изображены фазовые кривые при различных значениях Решению с соответствует солитон. Его амплитуду ошах можно найти из уравнения (3.8), положив в нем

Это уравнение удобно преобразовать, выразив отах через Фтах с помощью второго уравнения в (3.6). Простые преобразования дают [6]:

Рис. 8.9. Фазовая плоскость ионно-звуковых колебаний при

При малых амплитудах волн и из выражения (3.10) следует Поскольку то это означает просто волну ионного звука. Наша цель, однако, связана не с этим результатом, и мы сейчас поясним, зачем понадобилось записывать столь громоздкое выражение, как (3.10).

Критическая скорость. Рассмотрим семейство фазовых траекторий при и различных значениях и. Они представлены на рис. 8.9. Из него видно, что для тех значений для которых существует периодическое решение, имеется некоторое критическое значение скорости не такое, что при финитная траектория исчезает и о достигает бесконечного значения.

Это, как мы уже знаем, соответствует опрокидывающейся волне. Чтобы понять, что здесь происходит, как раз и необходимо выражение (3.10).

С ростом скорости волны и одновременно происходит и рост амплитуды скорости (см. (3.9)). Это, в свою очередь, приводит к увеличению амплитуды потенциала . В системе координат, связанной с волной, поток ионов из набегает на потенциальный барьер, образованный волной, со скоростью . Их энергия при не слишком больших амплитудах поля превышает высоту потенциального барьера . В результате ионы, несколько задержавшись, переваливают через него.

Рис. 8.10. Различные формы солитонов в зависимости от числа Маха

Однако с ростом амплитуды волны происходит рост потенциального барьера. В итоге, начиная с некоторой скорости, набегающие частицы уже не в состоянии перевалить через потенциальный барьер. С этого момента частицы накапливаются у барьера, и их плотность стремится к бесконечности. Последнее вытекает сразу из первого уравнения (3.6), в котором при возникает особенность, когда с течением времени Очевидно, что это происходит при

Подставляя (3.11) в (3.10) и полагая в левой части получаем уравнение для определения Оно дает

Этим значениям соответствует критическое значение числа Маха

Как видно из рис. 8.9, с ростом числа Маха амплитуда волны нарастает и ее профиль заостряется. Поэтому, например, форма солитона модифицируется так, как это показано на рис. 8.10.

Существование опрокидывания является следствием сильной нелинейности уравнений. Мы видим, что дисперсионные эффекты не всегда могут остановить процесс укручения волны. В связи с этим возникает возможность появления промежуточного случая умеренной нелинейности

Именно в этом случае волны ионного звука, распространяющиеся в одном направлении, описываются уравнением Неравенство (3.13) означает также, что

Важное значение неравенства (3.14) в том, что амплитуда волны а теперь очень мала по сравнению с амплитудой опрокидывающейся волны Именно поэтому уравнение возникающее при условии (3.13), соответствует случаю, далекому от опрокидывания.

Магнитозвуковые волны. Еще один пример, близкий к предыдущему, показывает, что конкурентная игра нелинейности и дисперсии при образовании стационарных волн и существование критических чисел Маха являются достаточно характерной физической ситуацией. Этот пример относится к распространению волн поперек магнитного поля в разраженной плазме. Приведем сразу уравнение для магнитного поля В волны [6,7]:

Здесь с — скорость света, -частота плазменных колебаний электронов:

- константа интегрирования, имеющая смысл величины магнитного поля при отсутствии возмущения, т. е. в том случае, когда плотность плазмы равна магнитное число Маха:

где альвеновская скорость

Однократное интегрирование уравнения (3.15) приводит к интегралу энергии

Структура траекторий на фазовой плоскости приведена на рис. 8.11. Значению соответствует гиперболическая точка. Через нее проходит сепаратриса при Эллиптическая точка определяется согласно (3.17) уравнением

Очевидно, что физически разумные решения получаются при условии т. е. при

Уединенной волне (солитону) соответствует решение на сепаратрисе. Для него из (3.17) при следует связь между амплитудой солитона Втах и скоростью волны и, входящей в число Маха:

Рис. 8.11. Фазовая плоскость магнитозвуковых колебаний

Остановимся на этом уравнении подробнее. Из рис. 8.11 видно, что амплитуда волны определяется степенью превышения амплитуды поля Втах над невозмущенным значением поля . Другими словами, переход соответствует переходу к волнам малой амплитуды. Совершая его и учитывая определение (3.16), получаем из (3.19)

Это — линейный закон дисперсии магнитного звука. В общем случае выражение (3.19) играет роль нелинейного закона дисперсии.

Решение солитонного типа исчезает при достаточно больших значениях . Для определения их заметим, что уравнение (3.17) имеет особенность при значениях обращающих в нуль скобку возле В. Это означает, что

Подставляя в (3.21) выражение (3.19), находим критические поле и скорость:

Если

то возникает опрокидывание волны, которое полностью аналогично опрокидыванию в предыдущем примере.

При ионы на гребне волны «останавливаются», а их плотность, возрастает до бесконечности. При еще больших амплитудах ионы просто отражались бы от потенциального барьера, образуя многопотоковое

движение, состоящее из взаимопроникающих потоков набегающих на горб волны ионов и отражающихся от него ионов.

Уравнение синус-Гордона. Рассмотрим еще один пример нелинейного уравнения, который в дальнейшем нам окажется полезным. Это уравнение является частным случаем уравнения (2.34) при

и называется уравнением синус-Гордона. Оно имеет вид

и попадает в класс точно интегрируемых моделей, которые будут обсуждаться позже. Примечательной особенностью уравнения (3.23) является удивительное разнообразие различных физических задач, в которых оно появляется в качестве некоторой приближенной модели описания (см., например, [12]).

Мы могли бы с ним встретиться в § 7 гл. 1, если бы совершили элементарные преобразования в гамильтониане для атомных цепочек (1.7.6):

где положено для удобства Упростим задачу, считая, как это зачастую бывает, что

Тогда уравнение движения атома имеет вид

Перейдем в (3.25) к непрерывному пределу

где безразмерная координата атома. Теперь (3.25) переходит в точности в нелинейное уравнение Клейна — Гордона

которое при дает выражение (3.23). Таким образом, (3.23) описывает уравнение движения дислокации в определенном потенциальном поле (ком. 4).

Приведем решение уравнения (3.23) в виде стационарной волны Имеем вместо (3.23)

Интеграл энергии удобно представить в виде

Мы пришли к уравнениям нелинейного маятника, рассмотренным в § 3 гл. 1. Заметим лишь, что при колебания маятника происходят относительно точки а при относительно точки

Рис. 8.12. «Кинк» и «антикинк»

Приведем решение, соответствующее солитону. Оно получается при

где некоторое начальное условие для величины Решения при

приведены на рис. 8.12. Эти решения называют «кинк» и () и «антикинк» () (или в теории джозефсоновских контактов-«флюксон» и «антифлюксон»).

Соответственно для скорости атомов, например при имеем

т. е. солитон и антисолитон Это выражение эквивалентно формуле (1.3.7).