§ 5. Стохастические аттракторы

До сих пор в этой главе наше внимание было сосредоточено исключительно на гамильтоновских системах и на механизме возникновения в них хаоса. Теперь мы отметим некоторые существенные стороны появления стохастичности в негамильтоновских диссипативных системах. Существование диссипации приводит к уменьшению фазового объема системы. Забегая вперед, можно сказать, что некоторые черты рождения хаоса и его свойств должны оставаться общими как для гамильтоновских систем, так и для диссипативных.

Финитность движения. Следующее ниже замечание прежде всего относится к понятию локальной неустойчивости. Очевидно, что появление этой неустойчивости формулируется столь универсальным способом, что он не связан с конкретным детальным видом динамической системы. Здесь, однако, надо быть достаточно аккуратным.

Пусть, например, уравнение движения имеет тривиальный вид:

Его решение

показывает сразу неустойчивость относительно возмущений начального условия:

С другой стороны, очевидно, что, несмотря на свойство (5.2), никакой стохастичности в системе (5.1) нет. Парадокс связан с тем, что система (5.1) совершает инфинитное движение, в котором траектории могут расходиться достаточно далеко и достаточно быстро из-за неограниченности фазового пространства.

Ситуация изменяется, если вместо (5.1) рассмотреть систему, фазовое пространство которой финитно,

с которой мы уже встречались. Здесь есть стохастичность при Очень важное условие, налагаемое на рассматриваемые далее системы, — финитность их динамики в фазовом пространстве. Это замечание приобретает более глубокий смысл для диссипативных систем, где осцилляторная динамика может вообще отсутствовать. В частности, характеристические показатели могут не иметь мнимой части ни при каких реальных значениях параметров.

Аттракторы и репеллеры. Сравнительный анализ особенностей на фазовой плоскости для гамильтоновских и диссипативных систем наилучшим способом представляет их различие. Структура фазового пространства в диссипативном случае намного богаче, и поэтому здесь следует ожидать более разнообразную динамику систем.

Одним из отличительных свойств диссипативных систем является существование аттракторов и репеллеров. Под «аттрактором» понимается любое притягивающее множество. Примерами аттракторов могут быть устойчивый фокус, устойчивый предельный цикл. «Репеллером» является отталкивающее множество точек. Таким свойством обладают, например, неустойчивый фокус и неустойчивый предельный цикл. При фазовые траектории все ближе приближаются к аттрактору. Система приближается к некоторому установившемуся режиму, точки которого принадлежат множеству являющемуся аттрактором. Аттрактор есть инвариантное множество, т. е.

Репеллер легко понять, если представить его как аттрактор А к которому стремятся фазовые траектории при Он также является инвариантным множеством:

Стохастический аттрактор. На первый взгляд кажется, что существование аттракторов исключает возможность стохастической динамики в фазовом пространстве, так как с течением времени расстояние между точками фазовой траектории и точками множества должно стремиться к нулю. Поэтому с течением времени траектория все больше приближается к точке или циклу, в структуре которых нет ничего случайного. Природа, однако, распорядилась иначе.

Существуют притягивающие множества, сама структура которых является очень сложной. Ее не просто описать, но можно указать ее главную особенность. Динамика точки на такой структуре в любом возможном для анализа смысле является случайной подобно тому, как это имеет место в гамильтоновских системах. Такое притягивающее множество, на котором реализуется стохастическая динамика, будем называть стохастическим аттрактором (ком. 11).

В понятие стохастичности вкладываются, по существу, те же не очень строго определенные понятия, апеллирующие скорее к физическому смыслу, чем к строгому определению. Перечислим их.

1. Система совершает финитное движение.

2. В конечной области фазового пространства имеется локальная неустойчивость, позволяющая ввести понятие энтропии Колмогорова-Синая. В этом месте следует сделать остановку и разобраться, о чем идет речь.

В гамильтоновских системах траектория достаточно быстро заполняла все фазовое пространство вследствие эргодичности и перемешивания. Теперь эти понятия представляются анахронизмом, так как траектория притягивается к некоторому множеству которое не только есть часть фазового пространства, но и может иметь нулевую меру. Можно, однако, поступить следующим образом. Воспользуемся инвариантностью

и тем, что через некоторое не очень большое время точки фазовой траектории очень близки к точкам Поэтому понятие локальной неустойчивости можно ввести не в фазовом пространстве а в

здесь индекс при означает, что расстояние берется между двумя траекториями, начальные точки которых принадлежат

Следующее важное замечание позволяет снять индекс в (5.5). Если не очень мало, то отличие положения точек реальной траектории от положения подходящих точек мало. Им можно пренебречь, и поэтому расходимость траекторий по закону

будет происходить для любой пары точек в некоторой области фазового пространства конечной меры, если только выполнено важное неравенство

Доказательство существования времени может оказаться достаточно сложным для реальных систем, хотя сам факт его существования может представляться вполне очевидным.

Это длинное замечание позволяет ввести более коротким путем и в том же смысле, что и раньше, понятие перемешивания.

3. Существуют переменные z такие, что расцепляется коррелятор

где некоторые интегрируемые функции и

Так же, как и при переходе от (5.5) к (5.6), неравенство (5.7) позволяет снять индекс в формулах (5.8) и (5.9). Тогда их вид ничем не отличается от определений в гамильтоновском случае, если заменить на в (5.9).

Свойство (5.9) означает существование процесса перемешивания, который, однако, реализуется теперь не на всем фазовом пространстве, а на некотором множестве Оправданием этому является то, что при выполнении неравенства (5.7) отличие области, покрываемой фазовой траекторией, от мало.

Квазиаттракторы. Этот термин не столько дает определение конкретной физической ситуации, сколько фиксирует нашу беспомощность перед множеством накопленной на компьютерах информации.

Пусть, например, динамическая гамильтоновская система определена отображением

и сохраняет меру.

Введем понятие диссипативной системы, близкой к гамильтоновской, следующим образом:

где отображение уже не сохраняет меру из-за наличия диссипативной части Оператор действует в том же фазовом пространстве, что и То, или в его части.

Теперь сформулируем следующий вопрос. Пусть система (5.10) является К-системой, т. е. отображение порождает стохастичность, и пусть система

имеет обычные аттракторы. Каковы свойства системы (5.11), в которой К-свойство и аттракторы являются двумя предельными случаями?

Далее мы увидим, что в системе (5.11) существует стохастический аттрактор. Но мы также увидим, что существует квазиаттрактор в следующем смысле: в течение некоторого времени система ведет себя подобно К-системе, после чего ее траектория притягивается к регулярному (не стохастическому) аттрактору. Время, в течение которого это происходит, может быть очень большим. Оно может превышать любой достижимый в настоящее время разумный интервал расчетов, но самым важным является, пожалуй, другое обстоятельство. За большое время наличие даже малых ошибок в вычислениях окажется достаточным для того, чтобы регулярно отбрасывать систему от простого аттрактора. Поэтому процесс редукции К-свойства к регулярному движению может оказаться технически недостижимым (ком. 12).