Глава 5. ХАОС В ДЕТАЛЯХ

Возникновение хаотической динамики в очень простых системах является настолько необычным явлением, что естественным первоначальным желанием является стремление взглянуть на самое простое уравнение, которое его порождает. Некоторый минимальный набор таких уравнений был приведен в предыдущей главе. Теперь нам следует вернуться к реальным процессам. Мы увидим, что не только область физических задач, в которых возникает хаос, широка, но и что основные черты описанных ранее моделей повторяются. Однако возникают и новые особенности появления стохастичности, которые сильно усложняют задачу. В этой главе мы снова остановимся на простейших и типичных проявлениях хаоса. Теперь это будут уже не формальные модели, а модели различных физических процессов, наблюдаемых и измеряемых.

§ 1. Универсальное отображение для нелинейных колебаний

Мы возвращаемся снова к основной задаче динамики, которая для случая имеет вид

В данном случае это одна, вообще говоря, нелинейная, степень свободы (например, маятник), которая возмущается внешней силой, зависящей от времени. Здесь V — потенциал возмущения и -параметр возмущения. На этот раз у нас будут другие цели: мы покажем, что даже при малых в этой системе могут появиться хаотические траектории. Это очень сильное утверждение, так как система является очень элементарной в физическом смысле. Она может рассматриваться как некоторый обязательный элемент более сложных систем. Если в такой модели, как маятник, возмущаемый периодической силой, есть стохастическая компонента в динамике, то физику становится ясно, что такое движение может быть везде. Эта точка зрения, которая на первый взгляд может показаться наивной, в действительности отражает простое свойство типичности нелинейного колебания, являющегося «элементарной ячейкой» в огромном числе конструкций сложных физических процессов.

Структура отображения. Гамильтониан (1.1) порождает уравнения движения

где невозмущгнная частота нелинейных колебаний опредэляется выражением

Эти уравнения являются дифференциальными. В дальнейшем мы убедимся в том, что дискретная форма уравнений движения в виде конечных разностей предпочтительнее для анализа возможности появления стохастичности. Поэтому следует разобраться в том, как от уравнений (1.2) перейти к их разностной форме и какова структура последних.

Допустим, что выделена некоторая последовательность моментов времени и систему (1.2) удается свести к дискретной системе

которая связывает значения переменных в двух последовательных моментах времени. Удобно эти уравнения записать в такой форме:

где индекс опущен, черта стоит вместо индекса функции, зависящие от вида возмущения. В дальнейшем оператор при фазе будем, как правило, опускать.

Форма (1.3) является настолько общей, что не содержит никакой информации. В гамильтоновском случае отображение (1.3) должно сохранять меру, т. е. должно выполняться условие

Это означает, что

Для того чтобы система (1.3) обрела какой-либо смысл, в нее следует вложить физическое содержание.

Пусть переменная является действием. Ее изменение должно быть связано с некоторой неадиабатичностью движения. В адиабатическом случае, например, экспоненциально мало. В неадиабатическом случае будем считать, что изменение действия в основном происходит в некоторой области времени в которой нарушается адиабатическая инвариантность. Полноэ изменение действия системы накапливается суммированием различных отдельных изменений Пусть есть характерный интервал времени между двумя последовательными областями нарушения адиабатической инвариантности. Это подразумевает неравенство

которое сразу решает вопрос о том, как естественным образом ввести отображение (1.3).

Итак, наш вывод заключается в том, что если выполнено условие (1.5), то существует естественная структура отображения (1.3). Она включает последовательность моментов разделенных интервалами между областями, где происходит заметное изменение действия. Уравнения отображения получаются в результате сшивки изменений на двух последовательных интервалах.

Все различие в изменениях действия заключено в виде функций

Эти простые соображения позволяют без больших потерь исключить некоторые ненужные усложнения. Во-первых, будем считать, что т. е. изменение действия происходит мгновенно (удар). С физической точки зрения это означает, что временной интервал изменения действия меньше всех характерных врэмен задачи. Во-вторых, будем считать интервалы между моментами постоянными.

Гамильтониан описанной системы может быть представлен в -пространстве в виде

На осциллятор с гамильтонианом действуют мгновенные толчки через постоянные интервалы времени Между толчками движение является свободным и предполагается известным. Поэтому сшивка решений на двух разных интервалах может быть произведена точно. Покажем, как это делается.

Вывод отображения. Вернемся снова к переменным действие—угол:

где получается из заменой переменных. Уравнения движения (1.2) принимают вид

Пусть толчок происходит при некотором Определим -отображе-ние следующим образом:

Отображение возникает как последовательное действие удара и свободного движения (вращения на торе)

(рис. 5.1). Имеем для

Рис. 5.1. Построение универсального отображения

Чтобы получить проинтегрируем систему (1.8) в малой окрестности около момента толчка Учтем при этом, что переменная непрерывна. Поэтому в точке функция непрерывна. Имеем

Уравнения (1.12) определяют

Подставляя (1.11), (1.13) в (1.10), получаем уравнения (1.9) в явном виде:

Это и есть универсальное отображение. Оно допускает еще одно упрощение, если потенциал возмущения зависит только от обобщенной координаты и не зависит от импульса Тогда (1.14) превращается в следующее отображение:

Последняя модификация связана с выбором функции Это должна быть периодическая функция, и можно положить Еще одно упрощение связано с простейшим выбором функции Это дает

где обозначено

Уравнения (1.16) называют также стандартным отображением ввиду его максимальной простоты. С формулами (1.16) мы уже встречались в § 7 гл. 1 как с уравнениями равновесия линейных цепочек (с точностью до постоянного члена

Приведем также вид гамильтониана, соответствующего упрощенному отображению (1.16):

нелинейный член в гамильтониане исчезает при Квадратичный член по действию I при этом остается, так как в силу определения (1.17) величина отлична от нуля при

Критерий стохастичности. Простейший анализ уравнений (1.15) связан с определением собственных значений его якобиевой матрицы

Имеем для них следующее уравнение:

где обозначено

В частности, при и обозначениях (1.20) имеем

Находим из уравнения (1.19):

Отсюда следует, что неустойчивость возможна при

Вернемся назад и вспомним пример 2 из § 3 гл. 4, относящийся к типу автоморфизмов тора. Выражения (4.3.9) и (4.3.10) совпадают соответственно с (1.19) и (1.22). Различие, однако, имеется в виде параметра К. Ранее это была константа, и условия типа (1.23) означали границу появления стохастичности. Теперь параметр К является функцией переменных согласно (1.20). Более того, каким бы большим ни было значение всегда найдется область углов в которой значения К попадают в область устойчивости. Это обстоятельство резко усложняет возможность теоретического анализа границы возникновения стохастичности.

Численный анализ показывает, что достаточно большая область стохастичности возникает при

В действительности ситуация является значительно более тонкой и более сложной, чем это встречалось до сих пор (ком. 2).

Структура фазового пространства. Запишем систему (1.16) в упрощенной форме, опустив постоянный сдвиг фазы и перейдя к безразмерному действию:

Получаем

Неподвижные точки системы (1.25) находятся из уравнений т. е.

Отсюда находим особые точки

Согласно (1.23) точки являются неустойчивыми точками. Поведение траекторий вблизи них показывает, что эти точки гиперболического типа.

Рис. 5.2. Фазовый портрет стандартного отображения при малых значениях К

Рис. 5.3. Фазовый портрет стандартного отображения при -инвариантные кривые

Точки являются эллиптическими, если Фазовый портрет системы для малых приведен на рис. 5.2. С ростом в системе происходят бифуркации рождения кратных периодов, а при вблизи единицы появляется в окрестности сепаратрисы широкий стохастический слой (рис. 5.3). Различные стохастические слои отделены друг от друга инвариантными кривыми, существующими вследствие теоремы Колмогорова-Арнольда-Мозера.

Стохастическое море. Дальнейшее увеличение параметра приводит к разрушению КАМ-кривых и слиянию стохастических слоев. Образуется стохастическое море, в котором, однако, существуют островки устойчивости (рис. 5.4). Островки остаются всегда при любых сколь угодно больших значениях Их размер в этом случае имеет порядок а отображение (1.25) с ростом становится все ближе к У-системе.

Наличие островков устойчивости является фундаментальным свойством реальных физических систем. Все сказанное выше без труда переносится на универсальное отображение (1.14), и отличие выражается в конечном счете лишь в форме и числе островков. Это же свойство отличает реальные системы от идеализированных -систем, рассмотренных в предыдущей главе. Поэтому нас не должно удивлять, что граница стохастичности (1.24) не совпадает с границей устойчивости как это было ранее.

Сама структура островков также представляет собой необычайно сложную запутанную картину. Существуют системы островков разных порядков все более и более уменьшающихся размеров (рис. 5.5). Мы обсудим этот вопрос несколько позднее. Сейчас для нас важно лишь, что образование стохастического слоя происходит в окрестности сепаратрисы при а в области значений происходит слияние стохастических слоев с образованием общего стохастического моря. Таким образом, область перехода к хаосу является очень узкой. Сложнейшие явления, происходящие в ней, до сих пор остаются за пределами понимания, хотя отдельные элементы этого перехода можно описать, и это будет сделано ниже (ком. 3).

Рис. 5.4. Образование стохастического моря

Рис. 5.5. Островки различных порядков в стохастическом море. Отдельные, беспорядочно расположенные точки принадлежат одной траектории

По мере дальнейшего роста параметра стохастическое море заполняет все большую часть фазового пространства. В то же время островки устойчивости уменьшаются в своих размерах. Одновременно уменьшается и относительная мера островков.

Рис. 5.6. Экспоненциальный распад коррелятора и его спектр

Спектральные свойства. Мы уже видели на примере моделей, допускающих точный анализ, что появление хаоса приводит к экспоненциальному затуханию корреляций. Если коррелятор имеет вид

то его фурье-образ 00

имеет так называемую лоренцевскую форму (рис. 5.6). Она представляет собой функцию, быстро убывающую при

Величина фактически определяет ширину спектра системы. Чем меньше тем шире спектр. При ширина спектральной плотности системы

Рис. 5.7. (см. скан) Спектр корреляционной функции в стохастическом слое при и Ко, равном и

В дискретном случае обозначим через

некоторую функцию точки в фазовом пространстве, взятой в момент времени Разложение этой функции в ряд Фурье имеет вид

где - фурье-образ функции Формулы (1.29) являются дискретным аналогом разложения в ряд Фурье функции играет роль дискретного времени. Подразумевается, что хотя в реальных вычислениях всегда конечно.

Спектральная плотность корреляционной функции от переменных определяется выражением

Здесь величина также определяет максимальное число шагов отображения, хотя в действительности должно быть

При достаточно больших хорошо развитый хаос (очень большие значения должен иметь функцию с дискретным спектром из гармоник и огибающей их амплитуды кривой типа показанной на рис. 5.6. Однако наличие островков в области переходного хаоса целиком меняет всю картину. Приведем соответствующие числовые данные [5].

Рис. 5.8. Центральный пик в стохастическом слое:

Первый достаточно очевидный факт заключается в том, что стохастическая траектория, попав в область вблизи границы с самым крупным островком, будет находиться возле него достаточно долго. Такое замедление вблизи границ островка порождает локальный максимум вблизи частоты, соответствующей граничной частоте колебаний внутри островка. Островки различных порядков выделяют в структуре спектра локальные максимумы на частотах соответствующих резонансных островков. Островки с максимальным периметром определяют в основном левую границу спектра, т. е. максимальный период.

Наоборот, маленькие островки траектория должна обходить достаточно быстро, и поэтому они определяют правую границу спектра. На рис. видно, как изменяется ширина спектра при изменении Спектр стремится к непрерывному (с ростом N) и к равномерному (с ростом распределению.

Теперь у нас в руках есть достаточная информация, чтобы сформулировать три принципиальных свойства спектрального распределения зарождающегося хаоса. Все эти свойства являются прямым следствием существования островков [5].

1. При переходе от регулярного к хаотическому движению распределение островков устойчивости по размерам определяет ширину спектральной полосы корреляционной функции.

2. Замедление движения на траектории центрального островка, максимально близкой к гиперболической точке, приводит к появлению пика вблизи нулевой частоты (так называемый центральный пик — рис. 5.8).

3. На участках траектории, где происходит замедленное движение вдоль границы островков, изменяются свойства локальной неустойчивости. Близкие траектории также чувствуют границу островка, и поэтому они расходятся не экспоненциально быстро, а пропорционально Следовательно, участки траектории вблизи границы островков дают вклад в корреляционную функцию такой, что при

где, вообще говоря, 1.

Появление закона типа (1.31) легко понять из следующих соображений. Пусть случайный процесс состоит из двух частей:

причем

Тогда даже при в корреляторе

через достаточно большое время выживет коррелятор несмотря на наличие малого параметра при нем.

Оценим ширину спектра при зарождении хаоса, т. е. в области значений параметра стохастичности Ко вблизи критического:

Рис. 5.9. Зависимость эффективной ширины спектра от Ко

Можно предположить, что величина пропорциональна фазовому объему области стохастической динамики, как это обычно происходит в статистической физике, т. е.

Формула (1.32) аналогична также формуле для числа колеблющихся мод резонатора. В случае К-систем без островков устойчивости имеем

Если принять эту же формулу для области стохастического моря и формулу то из (1.32) следует

где некоторая постоянная. Точки на рис. 5.9 хорошо передают эту грубую оценку спектральной ширины как функции параметра надкритичности причем константа

Временные масштабы. Существование различных временных масштабов для отображений (1.15) или (1.25) составляет одну из важных сторон, позволяющую проводить их качественный анализ. Будем считать, как это уже отмечалось, параметр возмущения малым. Это означает, что за исключением некоторых малых интервалов времени изменение действия в уравнении (1.15) мало:

или в безразмерных переменных, как в уравнении (1.25):

Последнее выражение также становится малым после нескольких толчков, когда начинает превышать

Таким образом, мы всегда имеем такой временной масштаб на котором выполнено условие (1.34). Рассмотрим выражение

Если

то имеет место локальная неустойчивость, приводящая к быстрому перемешиванию по фазам за время которое мы сейчас вычислим. Перемешивание, конечно, не затрагивает малых островков размером о которых уже упоминалось.

Таким образом, мы приходим к очень важному выводу, который заведомо справедлив в области (1.36) больших значений происходит быстрое перемешивание по фазе согласно (1.31) и (1.36) и медленная эволюция по Поэтому на интервале времен

процесс перемешивания по фазе может быть рассмотрен независимо от эволюции по действию

Редукция к одномерному перемешиванию. Сказанное вытекает также и из второго уравнения (1.21), которое перепишем в виде

Отсюда, в частности, следует, что если изменяется слабо, то на интервале (1.37) достаточно ограничиться случаем

Наконец, при условии (1.36) мы можем исследовать выражение

которое возвращает нас к синус-отображению.

Таким образом, мы можем точно указать ту физическую ситуацию, которая порождает синус-отображение или его более полный вариант (1.38) [6]. Функция распределения по фазам достигает очень быстро стационарного распределения (рис. 5.10 [6]). Оно близко к равномерному. Однако в нем имеются локальные максимумы, расположенные в точках

которым соответствуют точки резонансов (ком. 4).

Рис. 5.10. Функция распределения синус-отображения

Одномерный коррелятор. Редукция к одномерному отображению делает разумным вычисление одномерной корреляционной функции фаз. Это означает, что мы не будем интересоваться слишком большими временами, существенно превышающими Рассмотрим выражение

где и - положительные целые числа, . В общем случае зависимости частоты (о от действия (но с конкретным видом зависимости возмущения от угла из (1.15) получаем

Далее мы считаем, что и со Подставляем как функцию в (1.41):

Воспользуемся известным разложением

где - функция Бесселя. Подставляем это выражение в (1.43) и продолжаем далее итерационный процесс:

Здесь мы намеренно привели это длинное выражение, чтобы показать идею итерационного процесса при вычислении корреляторов (ком. 5). Он связан с дальнейшим отбором в многомерных суммах главных членов. Воспользуемся тривиальным равенством

и асимптотикой функций Бесселя при

Подстановка в (1.44) этих выражений дает следующую оценку:

где время расцепления корреляции равно

В общем случае сокращенное отображение для фаз (1.42) обобщается следующим образом:

где функция удовлетворяет условию ограниченности и периодичности по Оценки (1.45) и (1.46) сохраняются и в этом случае.

Полученные результаты показывают, что в универсальном отображении сначала происходит процесс запутывания фаз, которые можно считать нескоррелированными уже после нескольких итераций. Действительно, так как то Далее на большем временном масштабе развивается процесс диффузии по действию I, который мы рассмотрим позднее.