§ 3. Стохастическое ускорение и «нагрев» частиц

Одним из очень красивых и важных проявлений стохастичности может служить своеобразный механизм стохастического ускорения и стохастического нагрева частиц. В первом случае происходит ускорение частиц. Во втором — увеличение их энергии, хотя средняя скорость при этом не изменяется. Идея механизма стохастического ускорения частиц была предложена Ферми для объяснения происхождения быстрых частиц в космических лучах. Она состояла в том, что при столкновениях заряженных частиц с беспорядочно движущимися магнитными облаками в межзвездном пространстве частицы должны в среднем ускоряться. Рассматривая облако как гигантскую частицу большой массы, легко понять причину ускорения. При единичных актах столкновения частица приобретает или отдает энергию в зависимости от того, движется ли облако навстречу частице или от нее. Если скорости тел, с которыми сталкивается частица, распределены случайно, то можно сказать, что число тел, движущихся в одном направлении, равно числу тел, движущихся в обратном направлении. Поэтому частица будет чаще сталкиваться с телами, движущимися ей навстречу, так как они встречаются чаще. Отсюда следует, что частица будет чаще приобретать энергию, чем отдавать ее. Так возникает эффективное ускорение частиц, называемое ускорением Ферми.

При определенной симметрии задачи может оказаться так, что скорость частицы в среднем не изменяется, хотя ее отдельные значения могут становиться все больше и больше. В этом случае растет среднее значение квадрата скорости, т. е. энергия частицы, и мы приходим к случаю стохастического нагрева. Ускорение всегда сопровождается нагревом. Обратное не всегда верно.

Стохастичность и идеи нагрева и ускорения. В действительности очень часто случайные силы или тела отсутствуют, и тем не менее идеи стохастического ускорения или нагрева могут быть реализованы. Теперь мы это можем хорошо себе представить, так как уже знаем, что в нелинейных системах хаотические движения могут возникнуть в результате локальной неустойчивости. Развитие понятия -систем и анализ различных физических ситуаций, в которых возникает стохастичность, вдохнуло новую жизнь в идеи ускорения и нагрева. Оказалось, что такие возможности достаточно широко распространены, и мы продемонстрируем очевидность этого на очень простых примерах. Мы покажем, что стохастический нагрев или ускорение частиц могут возникать в регулярных полях очень простой структуры, и это отразит еще одно удивительное явление нелинейных систем.

Модель Улама. То обстоятельство, что механизм ускорения частиц может возникать в результате нелинейных взаимодействий, а не в результате действия случайных полей, по-видимому, было одним из направлений исследований Ферми, к которому он относился с определенной степенью настойчивости. Об этом, в частности, свидетельствуют работы по поиску термализации в одномерных цепочках ангармонических осцилляторов (модель Ферми-Паста - Улама, которая будет рассмотрена в части II). В

дальнейшем Улам предложил рассмотреть совсем простую, на первый взгляд, задачу о частице (шарике), движущейся между двумя упруго отражающими его стенками. Одна из стенок осциллирует по некоторому периодическому закону (ком. 3).

Рис. 6.1 показывает, как устроена модель Улама. Поле тяжести предполагается отсутствующим. Мы приведем здесь наиболееэлементарный анализ, чтобы продемонстрировать лишь характер физической ситуации, приводящей к ускорению частицы.

Рис. 6.1. Частица между двумя стенками. Нижняя стенка осциллирует с амплитудой а

Нижняя стенка на рис. 6.1 колеблется с амплитудой а, минимальное расстояние между стенками равно Пусть есть момент столкновения шарика с нижней стенкой, а -период ее колебаний. Введем понятие «фазы» при столкновении:

т. е. область изменения Обозначим через координату осциллирующей стенки, отсчитываемой снизу вверх. Примем для параболический закон:

Из (3.2) следуют очевидные соотношения:

Закон изменения скорости нижней стенки получается дифференцированием

Пусть скорость частицы, ее скорость перед столкновением:

Эту величину удобно записать в безразмерной форме:

Предположим, что

В этом приближении легко записать уравнения движения частицы в виде отображения:

Вычисление якобиана

показывает, что переменные являются канонически сопряженной парой. В простейшем варианте дсстаточно больших скоростей Поэтому

Эта величина и поэтому имеет место неравенство при

Условие локальной неустойчивости можно получить из (3.5) также в простейшем варианте:

Условие стохастичности (3.7) показывает, что неравенство (3.4) должно быть достаточно сильным. Из него также вытекает, что существует ограничение на максимально возможную скорость:

Условия (3.7) и (3.8) означают, что при достаточно малых скоростях действительно возникает стохастическое ускорение частиц вплоть до скоростей порядка Быстрой переменной, по которой происходит перемешивание на малых временах, является фаза По переменной и происходит медленная диффузия.

Конечно, граница стохастичности и граница ускорения являются весьма приближенными, и существует некоторая переходная область меяеду той частью фазового пространства, где диффузионное движение частицы является достаточно выраженным, и той частью фазового пространства, куда частица проникнуть не может. Мы здесь остановимся лишь на некотором грубом описании кинетики частицы.

Будем считать, что движение происходит в области т. е. условие нормировки функции распределения имеет вид

Изменение А и дается формулой (3.6). Однако время между двумя последовательными столкновениями частицы с верхней стенкой т. е. оно не является константой и зависит от скорости. Поэтому величину следует вычислить с большей точностью.

Время пролета частицы от верхней стенки до столкновения с нижней стенкой равно Время пролета от столкновения с нижней стенкой обратно до верхней стенки равно так как скорость изменилась на величину Складывая эти выражения, получаем

Это место для нас новое. Далее мы увидим, что ситуация, в которой время между двумя последовательными столкновениями в последовательности событий марковского типа является переменным и зависит само от изменения величин при столкновении, является достаточно частой. В формулах для коэффициентов переноса

величина попадает под знак усреднения.

В нашем случае скобки означают усреднение по Подставляя в (3.10) выражения (3.6), (3.9), находим

т. е. соотношение

имеет место. Поэтому уравнение диффузии имеет дивергентный вид

с граничным условием

выражающим отсутствие потока частиц через границу.

Стационарное распределение получается из уравнения (3.12), если положить в нем Отсюда с учетом условия (3.13) имеем

Время релаксации к равновесному распределению совпадает со временем диффузии и равно

Исьользуя (3.8), получаем

Рассмотрим достаточно малые времена такие, что равновесное распределение еще не успело установиться. Умножим уравнение (3.12) на и и проинтегрируем его по и. В результате получаем уравнение для первого момента

откуда

В этом и есть центральный результат модели. Регулярное движение (осцилляции стенки) привело к хаотическому изменению фазы столкновения Следствием этого возникло ускорение частиц (3.15) или (3.16) в среднем.

Время расцепления корреляций фаз вычислялось в [12] (см. также [1]). Для него справедливо все то же выражение, которым мы пользовались до сих пор:

С ростом скорости частицы и это время уменьшается, так как время уменьшается сильнее, чем уменьшается параметр К.

Рис. 6.2. Ускорение частицы в поле тяжести

Ускорение в поле тяжести. Видоизменение рассмотренной задачи превращает ее из модели в часто встречающуюся физическую ситуацию. Частица, подпрыгивающая на осциллирующей плите, представляет собой элемент многих задач, связанных с вибрацией. Специфика задачи определяется тем, каким способом частица возвращается обратно на плиту. В предыдущем случае это была другая стенка. Здесь мы рассмотрим возврат частицы благодаря действию силы тяжести (рис. 6.2). Эта задача была сформулирована в [14] (см. также [1]) как модель так называемой «гравитационной машины», ускоряющей частицы или тела. Роль осциллирующей плиты может играть, например, поле вращающейся двойной звезды. В дальнейшем мы продолжим эти аналогии, указав связь с другими задачами и, в частности, с поверхностными электронами в магнитном поле.

Будем считать, что плита колеблется по тому же закону (3.2), (3.3), что и в предыдущей задаче. Аналогично уравнениям (3.5) можно написать

где есть время возврата частицы на плиту после столкновения. В уравнениях (3.17) мы также пренебрегаем членами где есть высота, на которую поднимается частица. В поле тяжести

Подставляя (3.18) в (3.17), получаем

Отображение (3.19) показывает, что мы имеем дело с У-оистемой Аносова. Упростим задачу, считая Тогда условна локальной неустойчивости находится просто как

Условие (3.20) не зависит от скорогти частицы, как в предыдущем примере. Поэтому ускорение частицы ограничено только релятивистским фактором.

Для симметризованного времени между столкновениями имеем, как и выше,

где

Из этих соотношений с точностью до членов следует

Отсюда мы получаем кинетическое уравнение

Нас сейчас не интересует решение уравнения (3.21), которое легко получить. Мы ограничимся лишь определением темпа ускорения частицы. Это очень просто сделать, домножив (3.21) на и проинтегрировав его по и от до Имеем

Отсюда

и следовательно, скорость растет в среднем пропорционально при

Стохастический нагрев в поле волнового пакета. Хотя многие черты в описанных выше моделях и встречаются в ряде физических задач, тем не менее

реальные ситуации оказываются значительно сложнее. Мы сейчас познакомимся с одной из таких задач, формулировка которой выглядит обманчиво простой. Речь идет о движении частицы в поле волнового пакета, описываемом уравнением

Правая часть представляет собой просто суперпозицию некоторого числа плоских волн, движущихся, вообще говоря, с разными фазовыми скоростями из-за существования дисперсии Многое, конечно, зависит от того, как устроен волновой пакет, сколько в нем гармоник и какова величина дисперсии. Трудности в исследовании задачи (3.23) становятся очевидными, если даже оставить в (3.23) всего лишь две волны:

Перейдем в систему отсчета, движущуюся вместе с первой волной, т. е. положим

Тогда (3.24) переходит в следующее уравнение:

где обозначено

Мы пришли к уже известной задаче о возмущении нелинейного маятника, если Если же то возникает задача о перекрытии двух резонансов. В любом случае на фазовой плоскости есть область стохастической динамики частиц.

Нас, однако, сейчас будет интересовать другой случай, в котором имеется большое число гармоник. Эта задача имеет давнюю историю. Она возникла при изучении динамики частиц, взаимодействующих с плазменными колебаниями, и в несколько более общей постановке получила название квазилинейной теории плазмы (ком. 4). Оставляя подробный анализ уравнения (3.23) для специального раздела, мы здесь рассмотрим некоторый специальный случай, который может быть приведен к уже известной нам модели. Положим в (3.23):

Условия (3.27) означают, что амплитуды пакета достаточно однородны, а длины волн близки друг к другу. Более точно, условия (3.27) эквивалентны неравенству

т. е. малости скорости относительно групповой скорости.

Будем считать также, что волновой пакет в (3.23) достаточно широкий. Это означает, что суммирование по которым мы заменили суммирование по происходит в пределах

Теперь вместо (3.23) можно записать

где

Итак, мы снова пришли к задаче о маятнике, возбуждаемом последовательностью -импульсов. Теперь очень просто записать отображение, связывающее переменные между двумя последовательными -импульсами. Положим

Тогда интегрирование уравнений (3.29) на интервале включающем -функцию в момент времени дает:

где

Мы пришли к стандартному отображению, которое позволяет сразу записать условие стохастичности фаз и кинетическое уравнение

где

Если вернуться к переменной то диффузионное уравнение примет вид

Можно воспользоваться формулами (1.41), (1.42) для того, чтобы учесть корреляционные эффекты фаз. Тогда вместо (3.33) следует написать

где

Учитывая обозначения (3.27), имеем

Поэтому уравнение (3.34) представляется в виде

или, при используя правило (1.39),

где мы намеренно заменили обратно на под знаком -функции, чтобы придать уравнению (3.37) форму, близкую к квазилинейному уравнению плазмы

Конечно, суммирование в (3.37) можно снять, используя наличие -функции. Однако сохранение его проясняет физическую структуру диффузионного члена. В нем стоит сумма по всем возможным резонансам, определяемым условием

Этот резонанс перенормируется тривиальным образом, превращаясь в лоренцевскую форму линии, если учесть конечное время расцепления корреляций фаз Тогда вместо -функции в (3.37) возникает -функция с лоренцевской структурой в (3.36).

Теперь мы можем достаточно быстро решить вопрос о стохастическом нагреве частиц. Уже из формулы (3.33) видно, что

и имеет место стохастический нагрев. Поэтому уравнение (3.37), которое тождественно с (3.33), также дает увеличение энергии частиц и не приводит к увеличению их скорости. Действительно, наличие резонанса (3.38), обусловленного -функцией, оставляет только одно резонансное значение скорости

Положение полностью меняется, если учесть конечное время расцепления корреляций фаз. Уравнение (3.36) может содержать стохастическое ускорение частиц, так как в нем уже нет -функции, снимающей интегрирование:

Производная от функции А по и имеет вид, изображенный на рис. 6.3. Она антисимметрична относительно точки резонанса (3.39). Поэтому знак интеграла в правой части в (3.40) при усреднении зависит от того, каких частиц больше или

Рис. 6.3. Производная -функции

Равновесная функция распределения монотонно убывает с ростом Поэтому очевидно, что правая часть в (3.40) положительна и, следовательно, имеет место ускорение частиц. Этот результат означает следующее. Если в среде (плазме) возникает флуктуация в виде волнового пакета, то частицы в поле флуктуации ускоряются, набирая энергию в случае монотонно убывающей функции распределения частиц по скоростям. Эту энергию они берут от флуктуации вследствие закона сохранения энергии. В результате флуктуация затухает. Однако если функция распределения неравновесная, то возможно, что частицы не ускоряются, а замедляются, отдавая энергию волновому пакету. В этом случае энергия волнового пакета нарастает. Развивается неустойчивость, приводящая к модификации функции распределения по скоростям.

Влияние трения на динамику в волновом пакете. В уравнении (3.23) легко учесть влияние трения на механизм стохастического нагрева. Трение может быть обусловлено различными причинами и, в частности, столкновениями между частицами. Рассмотрим уравнение

Сделаем все те же предположения (3.27), (3.28) относительно волнового пакета. Положим также для простоты и перейдем к переменным (3.30). Тогда вместо (3.29) получаем

Уравнение (3.42) порождает отображение

где и — то же самое, что и в формуле (2.2). Таким образом, мы получили уже знакомое нам диссипативное отображение (2.1). Теперь ответ можно написать сразу, используя, например, выражение (2.9). Согласно определению (3.30) имеем

Формула (3.44) показывает максимальную энергию, которую могут набрать частицы в результате механизма стохастического нагрева.

Все приведенные выше соображения интересны, как примеры таких хорошо осязаемых физических моделей, в которых стохастичность проявляется в макроскопических эффектах — ускорении и нагреве. Мы еще встретимся с этими задачами на более сложном уровне, преодолевая ограничение

КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 6

(см. скан)

(см. скан)