§ 5. Интегральные инварианты Пуанкаре
Рассмотрим гамильтоновскую систему
имеющую 
степеней свободы. Пуанкаре нашел 
интегральных инвариантов для такой системы, т. е. таких интегральных выражений 
которые не изменяются при фазовом потоке:
Рис. 1.20. Эволюция контура С, охватывающего трубку фазовых траекторий
Первый интегральный инвариант. Рассмотрим в фазовом пространстве произвольный замкнутый контур С и трубку фазовых траекторий, охваченных этим контуром в некоторый момент времени 
(рис. 1.20). Фазовый поток 
переводит контур С в 
Тогда имеет место равенство 
Применение теоремы Стокса к (5.3) позволяет также получить
где 
-двумерная поверхность, опирающаяся на контур С.
Выражение 
носит название первого относительного интегрального инварианта, а — первого абсолютного интегрального инварианта.
Теорема Лиувилля. Другой интегральный инвариант более высокого порядка имеет вид
где 
-произвольная четырехмерная поверхность в фазовом пространстве, имеющая границу 
Последовательность относительных 
и абсолютных 
интегральных инвариантов можно продолжить вплоть до 
Последний из них,
есть фазовый объем некоторой 
-мерной области 
. Его сохранение при фазовом потоке выражает теорему Лиувилля (ср. с (1.7)).
Роль интегральных инвариантов, по-видимому, еще в полной мере не выявлена. Это проявляется, в частности, в том, что приложение к различным физическим задачам нашли только инвариант 
порядка (фазовый объем) и инвариант первого порядка 
Приведем одно следствие, касающееся его.
Инвариантность интеграла (5.3) (как и всех остальных) является следствием канонических уравнений движения. Справедливо также обратное утверждение: если для системы уравнений
выражения 
инварианты движения, то система (5.7) является гамильтоновской.
С помощью инварианта 
строится переменная действия, которая играет важную роль в различных приближенных методах и для описания общих свойств многомерного движения (см. гл. 2). С переменной действия связаны также адиабатические инварианты системы.
