§ 5. Интегральные инварианты Пуанкаре

Рассмотрим гамильтоновскую систему

имеющую степеней свободы. Пуанкаре нашел интегральных инвариантов для такой системы, т. е. таких интегральных выражений которые не изменяются при фазовом потоке:

Рис. 1.20. Эволюция контура С, охватывающего трубку фазовых траекторий

Первый интегральный инвариант. Рассмотрим в фазовом пространстве произвольный замкнутый контур С и трубку фазовых траекторий, охваченных этим контуром в некоторый момент времени (рис. 1.20). Фазовый поток переводит контур С в

Тогда имеет место равенство

Применение теоремы Стокса к (5.3) позволяет также получить

где -двумерная поверхность, опирающаяся на контур С.

Выражение носит название первого относительного интегрального инварианта, а — первого абсолютного интегрального инварианта.

Теорема Лиувилля. Другой интегральный инвариант более высокого порядка имеет вид

где -произвольная четырехмерная поверхность в фазовом пространстве, имеющая границу

Последовательность относительных и абсолютных интегральных инвариантов можно продолжить вплоть до Последний из них,

есть фазовый объем некоторой -мерной области . Его сохранение при фазовом потоке выражает теорему Лиувилля (ср. с (1.7)).

Роль интегральных инвариантов, по-видимому, еще в полной мере не выявлена. Это проявляется, в частности, в том, что приложение к различным физическим задачам нашли только инвариант порядка (фазовый объем) и инвариант первого порядка Приведем одно следствие, касающееся его.

Инвариантность интеграла (5.3) (как и всех остальных) является следствием канонических уравнений движения. Справедливо также обратное утверждение: если для системы уравнений

выражения инварианты движения, то система (5.7) является гамильтоновской.

С помощью инварианта строится переменная действия, которая играет важную роль в различных приближенных методах и для описания общих свойств многомерного движения (см. гл. 2). С переменной действия связаны также адиабатические инварианты системы.