§ 2. Движение в магнитном поле и поле волнового пакета

Выше рассматривалась динамика частиц в поле волнового пакета. Во многих областях физики, и в особенности физики плазмы, возникает более усложненный вариант этой задачи, в котором к полю волнового пакета добавляется еще внешнее магнитное поле. Симметрия задачи изменяется, и возникают новые качественные эффекты. Достаточно заметить, что частица в магнитном поле В движется по винтовой линии с ларморовским радиусом

и ларморовской частотой вращения

где поперечная к магнитному полю компонента скорости. Траектория частицы уже не может быть уложена на плоскости и становится трехмерной.

Сочетание потенциального поля волнового пакета и вихревого магнитного поля делает задачу богатой различными физическими случаями, которые могут оказаться характерными не только в физике плазмы, но и в других областях физики.

Мы будем рассматривать задачу о движении частицы в поле одной волны или волнового пакета и во внешнем постоянном магнитном поле. Можно выделить два характерных случая, когда волновой пакет или волна движутся под углом к магнитному полю и когда движение пакета или волны происходит перпендикулярно магнитному полю. В этом параграфе мы остановимся на первом из них (ком. 4).

Уравнение движения. Пусть постоянное магнитное поле направлено вдоль оси а все волновые векторы к волн в пакете лежат в плоскости Тогда гамильтониан частицы, движущейся в этих полях, имеет следующий вид:

где -обобщенный импульс частицы, -орт вдоль оси у, — амплитуды потенциалов плоских волн. Даже при сделанных предположениях относи тельно структуры волнового пакета задача все еще очень сложна. Мы примем, что каждому значению соответствует одно значение Из (2.1) следует, что

так как в нем отсутствует зависимость от у. Обозначим новую координату

и введем с ее помощью полярные координаты:

Эти выражения описывают в явной форме ларморовское вращение в маг нитном поле. Положим также

Гамильтониан (2.1) можно переписать, используя введенные обозначения

Воспользуемся разложением

где - функции Бесселя, и представим с его помощью в виде

Теперь, вводя более удобную запись, представим динамику частицы как эволюцию динамической системы с двумя степенями свободы под действием зависящего от времени возмущения. Для этого положим

Переменные являются канонически сопряженной парой переменных типа действие—угол. С их помощью гамильтониан (2.3) представляется в канонической форме

где

Уравнения движения теперь записываются в простой форме:

и совпадают, как легко убедиться, с исходными уравнениями движения в старых переменных

Переменные (2.4) позволяют далее воспользоваться уже известными приемами анализа нелинейных резонансов в системе и их перекрытия.

Резонансы волна—частица. Рассмотрим сначала взаимодействие частицы с одной волной. Выделим в потенциале одну какую-либо гармонику с фиксированными номерами и обозначим соответствующий ей гамильтониан как

где

и — фаза комплексной амплитуды (рис. 13.3). Если в уравнения движения (2.7) подставить вместо выражения (2.8), (2.9), то получатся уравнения, описывающие взаимодействие частицы с одной плоской волной:

Здесь введена нелинейная частота в системе отсчета, сопровождающей волну. Это очень важная характеристика. Ее зависимость от продольной компоненты скорости определяет нелинейный характер резонанса между движением частицы и волной. Для волн, распространяющихся поперек магнитного поля, и зависимость частоты от действия 31 пропадает. Это создает, как мы увидим в следующем параграфе, новую физическую ситуацию. Поэтому очень важно, что в рассматриваемом нами случае не слишком мало.

Рис. 13.3. Невозмущенная траектория в поле одной волны и в магнитном поле

Условие резонанса волна—частица вытекает из последнего уравнения в (2.10):

В окрестности резонанса происходит сильное взаимодействие двух степеней свободы, описываемых переменными Совершая некоторое число оборотов I при ларморовском вращении, частица попадает все время в одну и ту же фазу волны. Это взаимодействие известно как циклотронный резонанс при нормальном эффекте Доплера или аномальном эффекте Доплера В частности, если то резонанс остается возможным при (ком. 5).

Исследование резонанса происходит так же, как это делалось до сих пор. Из первых двух уравнений (2.10) следует интеграл движения

или

Это делает систему (2.10) интегрируемой и приводит ее к уравнению для нелинейного маятника

где введена частота фазовых колебаний частицы

В случае сильных магнитных полей и частота становится равной

Условие применимости рассмотренного резонансного приближения заключается в том, что частота мала по сравнению с невозмущенными частотами, т. е.

Эти условия приводят к неравенствам

Первое из них очевидно; второе неравенство является очень важным, так как оно устанавливает нижнюю границу для компонент продольного движения по отношению к магнитному полю. Поэтому мы не можем перейти к пределу

Рис. 13.4.

Модуляция ларморовского радиуса

Посмотрим теперь, как выглядит решение при резонансе. Условие резонанса (2.11) определяет и

Отсюда с помощью соотношения (2.13) можно выразить значение ларморовского радиуса при резонансе:

Действие резонанса проявляется в модулированных отклонениях от резонансных значений скоростей и ларморовского радиуса (рис. 13.4). Стандартное решение уравнений (2.10) дает

где эллиптический косинус,

значение интеграла «энергии» в (2.10), определяющее амплитуду фазовых колебаний. Аналогично можно записать и решение при Выражение (2.17) описывает модуляцию скорости около резонансного значения Используя выражения (2.13) и (2.16), легко находим величину модуляции поперечной скорости и Описанный резонанс будем называть резонансом продольного движения, так как для него нельзя устранить движение вдоль Он аналогичен также резонансу волна—частица при отсутствии магнитного поля.

Перекрытие резонансов продольного движения. Выше мы рассмотрели движение частицы в поле лишь одной гармоники, описываемое

гамильтонианом (2.8). Однако даже в том случае, когда плоская волна состоит из одной только моды с волновым числом наличие магнитного поля создает много гармоник. Это видно непосредственно из выражения (2.6). Уравнение (2.11) определяет теперь большое число резонансов при различных значениях I и различных значениях

Если — значения удовлетворяющие условию резонанса (2.6) при фиксированном соответственно, номерах то расстояние между резонансами по частоте равно

Для времениподобного волнового пакета расстояние между резонансами при фиксированном I равно

а в пространственноподобном случае пакета

где -расстояние между соседними гармониками в волновом пакете. Поэтому в общем случае следует взять в качестве величины выражение

где

Условие перекрытия резонансов

означает хаотизацию фаз волн Неравенство (2.20) и определения показывают, что диффузионная эволюция параметров частицы имеет ограничения так же, как и в случае отсутствия магнитного поля, рассмотренного в предыдущем параграфе. При условии (2.20) хаотическая динамика частиц сопровождается «нагревом» частиц, т. е. увеличением их энергии в среднем. Это приводит к росту скорости частиц . В результате становится существенным ограничение (2.18), так как начинает превышать . В этом случае критерий (2.20) может перестать выполняться, так как существует максимальное значение начиная с которого функции Бесселя, входящие в (2.14), экспоненциально обрезаются.

Кинетическое уравнение. При выполнении условия (2.20) можно записать соответствующее кинетическое уравнение. Это очень просто сделать, если использовать введенные нами канонические переменные в (2.4) [9]. Пусть

есть функция распределения в пространстве действий. Обратим внимание, что она зависит, с точностью до постоянных множителей, от и Напомним теперь, что именно использование канонических переменных позволяет получить кинетическое уравнение типа ФПК в дивергентной форме. Для этого используем следующие обозначения:

Тогда коэффициенты разложения потенциала в (2.6) в ряды Фурье можно обозначить так:

поскольку каждому соответствует одно определенное значение Теперь с помощью этих обозначений кинетическое уравнение записывается в виде

где введен дифференциальный оператор

и принято обычное выражение для -функции

Время расцепления корреляций фаз может быть оценено при так же, как это делалось до сих пор: 1

Кинетическое уравнение (2.22) можно также переписать в обычном виде, используя обозначение в форме (2.21):

Это уравнение описывает, в частности, стохастический нагрев в магнитном поле.