§ 1. Нелинейный резонанс

Вернемся к той простейшей ситуации (§ 1 гл. 2), когда под действием возмущения в системе с одной степенью свободы возможен резонанс.

Уравнения резонанса. Невозмущенное движение системы (например, частицы в потенциальной яме) будем описывать гамильтонианом а возмущенное гамильтонианом

где безразмерный малый параметр Возмущение V будем считать периодическим по времени с периодом

Поэтому V разлагается в двойной ряд Фурье:

Уравнения движения, следующие из (1.1) и (1.2), принимают вид

Нам уже известно, что в уравнениях (1.3) возможен резонанс, если условие

может быть выполнено при каких-либо целых значениях .

Основная идея исследования резонанса достаточно проста. «Опасный» резонансный член выделяется отдельно из разложения (1.2) и исследуется динамика, обусловленная только этим членом возмущения. Затем можно попробовать оценить влияние отброшенных членов и, если это удастся, получить условие, при котором подобный анализ справедлив.

Пусть условие резонанса выполняется точно для некоторой тройки чисел т. е.

Таких троек может быть, естественно, несколько, однако мы зафиксируем лишь одну определенную и обсудим впоследствии, что делать с остальными. Оставляем в системе (1.3) только резонансную гармонику в правой части. Это дает

где обозначено

Удобно также ввести новую фазу

и переписать систему (1.6) в виде

Если в гамильтониане (1.1) и в разложении (1.2) также оставить только резонансный член, то это дало бы

Несмотря на столь сильное упрощение, ни систему (1.8), ни уравнения, порождаемые гамильтонианом (1.9), решить еще не просто. Здесь, однако, следует вспомнить, что параметр мал, и поэтому отклонение действия от его резонансного значения можно ожидать малым.

Качественная картина динамики в окрестности резонанса может быть представлена следующим образом. Пусть очень близко к Тогда вследствие резонанса действие нарастает. Из-за нелинейности частота зависит от поэтому изменение действия приводит одновременно к изменению частоты а это означает расстройку резонансного условия (1.5). Таким образом, изменение действия следует ожидать ограниченным из-за нелинейности системы. Вследствие гамильтоновости в системе не может быть притягивающих множеств, и поэтому в окрестности резонансного значения должны происходить осцилляции с малой амплитудой при малых Посмотрим теперь, как эти предварительные соображения реализуются в действительности (ком. 1).

Предполагая малым отклонение

разложим в ряд по до второго порядка включительно, членов первого порядка, а величину возьмем в точке Пренебрежем также членом в уравнении (1.9) для Это приводит к системе

Те же процедуры преобразуют выражение (1.9) в следующее:

Нетрудно видеть, что система (1.10) порождается гамильтонианом

в котором каноническими переменными является пара

Переход от в форме (1.11) к осуществляется с помощью канонического преобразования

с точностью до несущественной константы Оно называется переходом во вращающуюся систему координат (с частотой

Гамильтониан (1.12) называется универсальным гамильтонианом нелинейного резонанса.

Свойства нелинейного резонанса. Сразу же бросается в глаза полное сходство выражения для с гамильтонианом нелинейного маятника (см. § 3 гл. 1). Роль импульса играет величина а эффективная масса равна

и тем меньше, чем больше параметр нелинейности

Аналогия с нелинейным маятником еще более очевидна, если продифференцировать второе уравнение (1.10) по и использовать первое уравнение (1.10):

где произведен сдвиг фазы на

и введена частота фазовых колебаний

Рис. 3.1. Переход

Уравнение (1.15) совпадает с (1.3.2). Поэтому далее можно использовать все формулы для нелинейного маятника, заменив в них лишь на Мы не будем здесь их выписывать, а представим динамическую картину в окрестности резонанса на фазовой плоскости. Пусть исходный невозмущенный осциллятор представлен в произвольных канонических переменных На фазовой плоскости его траектория изображается некоторой замкнутой кривой (рис. 3.1). Перейдем к переменным Это означает, что ими является площадь, ограниченная траекторией на плоскости и некоторая угловая переменная. Далее перейдем во вращающуюся систему координат с помощью преобразования (1.13) и рассмотрим для простоты резонанс первого порядка

Во вращающейся системе фазовый портрет, определяемый гамильтонианом на плоскости имеет вид, приведенный на рис. 3.2.

Главной особенностью фазовых колебаний является рождение из цикла (штриховая кривая) пары особых точек—эллиптической и гиперболической. Вокруг первой происходят локальные осцилляции фазы, характеризующиеся бананообразными кривыми. Через гиперболическую точку проходит сепаратриса, за которой следуют снова инвариантные циклы.

Ширину сепаратрисы (максимальное расстояние между двумя усами сепаратрисы) можно принять в качестве ширины нелинейного резонанса.

Имеем из (1.12) и (1.16) для ширины резонанса по действию

или по частоте

Оценим порядки этих величин. Мы считаем малыми величинами параметр возмущения и параметр нелинейности Кроме того,

Отсюда и из (1.14), (1.17) и (1.18) имеем

Оценки порядков возмущения действия и частоты (1.20) позволяют теперь найти условия справедливости сделанных приближений.

Рис. 3.2. Нелинейный резонанс первого порядка: штриховая линия — невозмущенная траектория при тонкие кривые—фазовые колебания, жирная кривая — сепаратриса фазовых колебаний

Условие отбрасывания возмущения в уравнении (1.8) для имеет вид

или, согласно (1.19) и (1.20),

Условие замены на эквивалентно условию

т. е. тому же неравенству (1.21). Отбрасывание нерезонансного члена по сравнению с резонансным возможно при

т. е. при неравенстве

которое автоматически справедливо при малых Неравенства (1.21) и (1.22) можно записать в виде

который иногда называется условием умеренной нелинейности. Характерной особенностью нелинейного резонанса является левое неравенство в (1.23). Оно показывает, что нелинейность должна быть достаточно сильной. Во всяком случае, она должна быть больше возмущения и предельного перехода к линейному случаю не существует.

Еще одно важное свойство нелинейного резонанса связано с оценками (1.20). Они показывают, что относительные изменения величин пропорциональны а не как это было бы в обычной теории возмущений. Поскольку то изменения очень велики. По существу, теория возмущений при нелинейном резонансе строится по параметру

Рис. 3.3. Усложненный вариант нелинейного резонанса

Таким образом, можно выделить следующие три особенности описанного анализа нелинейного резонанса:

1) теория возмущений является особой, приводит к рождению сепаратрисы с парами эллиптических и гиперболических точек (рис. 3.3 при );

2) нелинейность должна быть больше некоторой критической и предельного перехода к линейной задаче нет;

3) теория возмущения строится по параметру

Теория нелинейного резонанса имеет необычайно широкий круг приложений, которые подчас выглядят совсем неожиданно. Позднее мы рассмотрим некоторые из них.

Внутренний нелинейный резонанс. Выше мы описали нелинейный резонанс между нелинейной системой и внешней силой. Если число степеней свободы системы то возможны резонансы между двумя и более степенями свободы.

Рассмотрим для простоты систему из двух степеней свободы, например состоящую из двух невращающихся частиц. Ее гамильтониан можно записать в виде

Уравнения движения имеют вид

Предположение о существовании резонансного взаимодействия двух частиц означает, что условие

выполняется для некоторых целых чисел и для действий

Разложим взаимодействие в (1.24) в двойной ряд Фурье по и сохраним, как и ранее, только резонансный член взаимодействия:

Кроме того, разложим и частоты

в окрестности резонанса Это дает из (1.24) эффективный гамильтониан аналогично тому, как это было сделано при выводе (1.12):

где

и фаза вводится соотношениями

Уравнения движения в окрестности резонанса могут быть получены из (1.26):

где использованы обозначения (1.27). Структура уравнений (1.28) такова, что имеется очевидный интеграл движения:

В теории параметрических усилителей выражение (1.29) известно как соотношение Мэнли — Роу. Благодаря ему происходит понижение порядка системы (1.28), и она интегрируется в квадратурах.

Проще, однако, продифференцировать уравнение для в (1.28) по времени. Получаем для фазы

т. е. уравнение нелинейного маятника. Оно описывает фазовые колебания в окрестности внутреннего резонанса с частотой При отрицательном выражении в квадратных скобках уравнение фазовых колебаний имеет вид

Если производные имеют разные знаки, то возможно дополнительное вырождение при

В более сложных случаях, когда в резонансе участвует более двух степеней свободы, число соотношений типа (1.29) увеличивается, и весь процесс по-прежнему определяется одним уравнением фазовых колебаний типа (1.30). Мы познакомимся с таким случаем позднее.

Проведенный выше анализ показывает, что с определенной степенью точности динамика системы в окрестности отдельного резонанса может быть изучена достаточно подробно. В действительности общая ситуация связана с уравнениями, например (1.3), где резонансов может быть много. И то, что мы в состоянии проследить за движением частиц в области изолированного нелинейного резонанса, еще не позволяет нам сделать какие-либо прогнозы относительно динамики в случае общего положения.