§ 3. Особенности возникновения турбулентности

Понимание условий появления хаоса в типичных динамических системах помогает приблизиться к созданию теории возникновения турбулентности. Сейчас это все еще сложная задача. Причину сложности мы укажем ниже. Приведем некоторые достаточно общие соображения, которые с той или иной степенью достоверности можно приписать турбулентности. В дальнейшем мы все время в этом параграфе будем иметь в виду не развитую турбулентность, а переходный режим от ламинарной динамики к развитой сильно турбулентной динамике.

Существует ли сценарий турбулентности? Первый вопрос, который следует задать, - это вопрос о реальном механизме перехода от ламинарного движения к турбулентному. По-видимому, первая физическая интерпретация, в которой на слове «физическая» следует сделать особое ударение, принадлежит Ландау [19]. Ее суть заключается в последовательном ступенчатом увеличении числа частот характеризующих появление новых степеней свободы (мод) по мере роста числа Рейнольдса (или какого-либо другого характерного для данной задачи числа). В конце концов, решение принимает вид

где частоты несоизмеримы. При большом их числе движение является достаточно сложным, для того чтобы его можно было считать хаотическим.

Сейчас мы знаем, что в этом нет необходимости, так как существует вполне ясная картина возникновения хаоса в регулярных уравнениях движения. Эта возможность породила ряд строго сформулированных признаков перехода регулярность — хаос. Попытки положить их в основу развития турбулентности привели к созданию ряда сценариев (ком. 4).

По-видимому, вопрос о типе сценария, приводящего к турбулентности, имеет узко специфический характер. Это всего лишь вопрос в том, какая неустойчивость развивается в данной системе и при данных условиях. Существование сложного бифуркационного дерева в многомерном пространстве параметров не позволяет ожидать, что это дерево будет изотропным и универсальным. Это соображение подтверждается многочисленными

экспериментами. Хотя ограниченная точность экспериментальных данных не позволяет полностью исключить возможность существования универсально устроенного бифуркационного дерева, тем не менее подобную возможность сейчас трудно себе представить.

Необходима ли диссипация? Каноническое представление о турбулентности обычно привязывает ее зарождение к системам с диссипацией. Достаточно заметить, что число Рейнольдса, определяющее возникновение турбулентности в задачах с течениями, содержит вязкость в знаменателе. Однако уже давно существует представление, свободное от этого условия. Это — большая область явлений слабой турбулентности, которую мы уже обсуждали. При слабой диссипации случайная динамика системы хотя и отличается от гамильтоновской динамики, однако это отличие мало [22, 23]. Тот же вывод следует из сравнительного анализа тепловой конвекции и электродинамической конвекции. Поэтому универсальная природа возникновения турбулентности, скорее всего, не связана с существованием диссипативных факторов. Последние, однако, определяют характер ведущей неустойчивости.

Заметим также, что стационарное решение, реализующее поток энергии в область малых масштабов, предполагает определенные граничные условия, создающие накачку и сток. В этом смысле, конечно, диссипация существует всегда для турбулентных движений. Однако в инерционной области, по-видимому, наличие диссипации не есть непременное условие турбулентности.

Локальная неустойчивость и фрактальность. Главным свойством как гамильтоновской, так и диссипативной систем, определяющим переход от ламинарного движения к турбулентности, является локальная неустойчивость в фазовом пространстве Г:

Это свойство должно выполняться для некоторой подобласти Более точная формулировка требует, чтобы оно выполнялось при Это приводит к тому, что область должна быть устроена очень сложно. Теперь мы предполагаем с большой вероятностью, что область -фрактал, и это свойство также не зависит от существования или отсутствия диссипации. В зависимости от последнего меняется лишь вид фрактальности.

Упрощение может быть достигнуто путем использования некоторого огрубленного объема Тогда турбулентность развивается в области достаточно хорошей и в которой предел легко выполняется. Тем самым упрощается определение локальной неустойчивости.

Центральный пик. По-видимому, еще одно свойство универсального характера может быть приписано зарождению турбулентности. Оно связано со спектральными свойствами движения.

Одна из главных особенностей динамики в переходе к турбулентности связана с существованием островков. Размеры островков тем больше, чем ближе мы находимся к границе возникновения хаоса. Существование островков также не связано с тем, имеется ли в системе диссипация, хотя структура островков при этом видоизменяется. При слабой диссипации островки локализуются вблизи сепаратрис. Поэтому появление хаоса на самом начальном этапе сопровождается существованием большого числа траекторий с большими периодами. Мы уже обсуждали это явление в § 1 гл. 5 (см. рис. 5.7, 5.8). Оно сразу же проявляется в спектральной функции динамических переменных. Область низких частот после перехода границы зарождения хаоса резко становится отличной от нуля, демонстрируя зачастую максимум в нуле.

Пространственно-временной хаос. При фиксировании пространственной структуры исследование динамики среды сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям, в которых может возникнуть хаотическая динамика только во времени. Элементарным примером является модель Лоренца. В ней жестко зафиксированы пространственные масштабы трех гармоник.

Изменение амплитуд этих гармоник во времени может испытывать последовательность бифуркаций, приводящих, в конце концов, к хаосу. Эта модель демонстрирует лишь одну сторону перехода к турбулентности. При анализе слабой турбулентности был использован тот же временной подход, фиксирующий пространственную регулярность системы и, следовательно, дискретность набора волновых чисел. Более того, все виды сценариев турбулентности [20] не выходят за пределы того же взгляда.

Действительность скорее всего выглядит иначе, хотя, конечно, изложенное выше представление имеет какие-то свои области применимости. Имеется другая — пространственная — характеристика турбулентной среды. Она, как это видно уже из многочисленных экспериментов, определяется образованием нерегулярных пространственных структур. Поэтому спектр волновых чисел при достижении критических параметров также становится непрерывным. Сейчас мы не знаем, возникают ли временной хаос и пространственный хаос одновременно или нет. Ясно лишь, что оба эти явления связаны, и следует говорить о пространственно-временном хаосе, если речь идет о турбулентности. В части III мы покажем, как в одномерной цепочке атомов может быть описано образование пространственного хаоса. Однако результаты сочетания временной и пространственной стохастичности пока что остаются не выясненными.

Можно заметить лишь, что, если условия возникновения временного и пространственного хаоса различны, то могут существовать области параметров, где реализуется либо только динамическая турбулентность, либо только структурная турбулентность.