§ 1. Слабонелинейные поля

Каким бы путем мы ни желали построить достаточно наглядную картину временной эволюции волновых процессов, нам приходится сначала использовать то или иное понятие степени свободы. Мы уже обсуждали частично этот вопрос в § 1 гл. 9. Удобство, связанное с этим понятием, может не только отражать реально существующий факт, но и приводить к очень сильным упрощениям в решаемых задачах. Классическими примерами таких степеней свободы являются различного рода квазичастицы в линейных средах. Слабое возмущение не очень сильно портит «язык квазичастиц», и это просто означает, что квазичастица является достаточно устойчивым образованием. Слабое взаимодействие квазичастиц позволяет говорить об аналогии с взаимодействием частиц, которое меняет состояние частиц, не разрушая их при этом или переводя их в другие частицы.

В случае сред со слабой нелинейностью затравочными степенями свободы являются плоские волны с соответствующим законом дисперсии. Они и играют роль квазичастиц, взаимодействие которых обусловливается нелинейными свойствами среды. В § 3 гл. 9 было показано, что взаимодействия, в которых участвуют три и более волны, могут приводить к резонансам и неустойчивостям параметрического характера. Именно здесь и следует искать причины, порождающие турбулентную динамику.

Построение отображения. Мы будем исходить из того, что в слабонелинейной среде возбуждены колебания с дискретным спектром. Число их достаточно велико, а нелинейность достаточно мала. Гамильтониан такой системы мы уже выписывали в § 1 гл. 9 (см. формулу (9.1.33)). Если ограничиться для простоты только кубической нелинейностью и нелинейностью четвертой степени в гамильтониане, то он будет иметь вид

В нем величина V предполагается малой.

Мы уже видели ранее, что выражениям типа (1.1) можно придать различный физический смысл, так как многие и очень не похожие друг на друга задачи могут быть приведены к гамильтониану (1.1). Сейчас нам удобно рассматривать его просто как энергию взаимодействия системы из большого

числа осцилляторов с амплитудой Тогда индекс просто обозначает номер осциллятора, уравнение движения которого имеет вид

Оно получается с помощью обычных гамильтоновских уравнений

и имеет элементарную физическую интерпретацию. Это — уравнение движения осциллятора, взаимодействующего нелинейным образом со всеми остальными осцилляторами. Если пренебречь взаимодействием, т. е. правой частью в (1.2), то

где амплитуда колебания и -начальное значение фазы

Нашей ближайшей целью будет понять более детально структуру возмущения свободного движения (1.3), т. е. понять, как устроена правая часть уравнения (1.2). Для этого подставим нулевое приближение (1.3) в правую часть (1.2). Это дает

где величина получена следующим образом. Выделим в члене четвертого порядка в (1.2) те слагаемые, которые содержат амплитуду Они имеют вид

Если подставить сюда нулевое приближение (1.3) и усреднить это выражение по быстрым временным осцилляциям, то возникает поправка к частоте осциллятора:

Остальными членами третьего порядка в (1.4) можно пренебречь по сравнению с более старшими членами второго порядка малости по амплитуде у. Этого, однако, нельзя было сделать в выражении (1.5), так как невозмущенные частоты осцилляторов вообще не зависят от амплитуд. Поэтому в формуле (1.5) мы оставляем первую, отличную от нуля, поправку к частоте.

Рассмотрим теперь правую часть уравнения (1.4). Ее зависимость от времени определяется суммой слагаемых следующего типа:

где различные знаки принимают независимые значения.

Сделаем некоторые предположения относительно того, как устроено волновое возбуждение среды в нулевом приближении, т. е.

Обозначим через сошах и соответственно максимальную и минимальную частоты возбужденного спектра гармоник. Пусть -характерное расстояние между соседними волновыми числами в пакете. Если, например, колебания среды происходят в области размером то

Характерное расстояние между частотами в волновом пакете равно

Если возбужден достаточно широкий пакет, то число возбужденных мод равно

Далее будем считать близким к нулю.

Последнее и важное предположение состоит в том, что все характеристики гармоник в пакете медленно изменяются с изменением к. Таким же свойством пусть обладают и матричные элементы взаимодействия

При сделанных предположениях можно приближенно представить уравнение (1.4) при в виде

некоторые средние значения по пакету от величин

Основное достижение, связанное с введением аппроксимации (1.8), заключается в том, что непрерывная задача (1.4) теперь может быть приведена к дискретному виду, с которым мы уже умеем обращаться. Напомним кратко, в чем проявляется удобство введения отображения. Во-первых, явно выделены моменты времени, в которые происходит существенное изменение адиабатического инварианта осциллятора, — это моменты действия -функций. Интервал времени между двумя их последовательными действиями имеет порядок

Величина (1.9), вообще говоря, изменяется от толчка к толчку, т. е. Однако эти изменения очень малы, и ими можно пренебречь. Как будет видно далее, грубый эффект возникновения хаоса не зависит от этих малых модуляций интервалов

Во-вторых, удобство представления (1.8) состоит в том, что коэффициент при -функции явно учитывает величину изменения адиабатического инварианта осциллятора.

Аналогично (9.1.36), положим

вводя тем самым переменные действие - угол Здесь

Уравнение (1.8) эквивалентно задаче со следующим гамильтонианом:

где

Она описывает осциллятор с частотой находящийся под действием последовательности -импульсов. Уравнения движения его в переменных имеют вид

и в точности эквивалентны (1.8).

Мы уже встречались с подобным уравнением в § 1 гл. 5. Теперь, однако, имеется существенное отличие от примера, рассмотренного в § 1 гл. 5. Оно заключается в том, что нелинейность осциллятора обусловлена не только зависимостью частоты сок от собственного действия а ее зависимостью также от действий других осцилляторов, как это видно из формул (1.5) и (1.11).

Теперь достаточно просто записать отображение, интегрируя (1.14) в окрестности -функций. Полагаем

Из (1.14) получаем

где означает зависимость от всех действий и

Локальная неустойчивость фаз. До сих пор все, что мы делаем, напоминает вывод универсального отображения нелинейных колебаний. Очевидно, что главное отличие содержится в том месте, которое учитывает взаимодействие различных волн. Это взаимодействие входит в зависимость нелинейной добавки к частоте от амплитуд других волн.

Для того чтобы получить самую простую оценку условий появления хаоса в системе (1.15), исследуем локальную устойчивость траекторий системы. Величины как это видно из (1.16) и (1.13), являются малыми по сравнению с так как взаимодействие волн мало по амплитуде. Однако изменение фаз может быть большим, и именно здесь могут возникнуть такие соотношения параметров, которые приводят к локальной неустойчивости.

Действительно, из (1.15), (1.16) и (1.11) получаем

где параметр имеет порядок

Упростим выражение (1.18). Будем считать переменную у безразмерной. Тогда гамильтониан имеет размерность Такую же размерность имеют и все матричные элементы Однако если мы, например, рассмотрим выражение (1.1) для то уже из него видно, что матричные

элементы должны быть нормированы на чтобы квадратичные и кубические члены в (1.1) давали результаты одного порядка. Это означает, что

С другой стороны, для большинства гармоник можно использовать определение (1.7) для Это дает

где индексы опущены, так как оценка (1.19) справедлива для всех матричных элементов.

Оценку матричных элементов ответственных за нелинейные поправки к частотам (см. (1.5)), следует провести несколько иначе. Это связано с тем, что число диагональных элементов в может быть очень малым. Мы обозначим это число через и заметим, что оно может быть и не зависит, вообще говоря, от предельного перехода Поэтому примем просто

Теперь можно переписать (1.18) в виде

где характерная амплитуда гармоник

Параметр К может принимать различные значения даже при малых амплитудах так как расстояние между гармониками можег быть очень малым:

Полезно еще до анализа сложных соотношений (1.17) остановиться подробнее на том, каков истинный малый параметр задачи. Очевидно, что изменение действия под влиянием -функционального толчка должно удовлетворять неравенству

Подставляем (1.16) и (1.13) в (1.21). Это дает с учетом оценки (1.19):

Таким образом, используемая нами нормировка выбрана естественным образом, при котором безразмерная амплитуда фурье-гармоники является малым параметром.

Теперь можно обратиться снова к уравнению вариации фазы колебания (1.17). Оно имеет структуру, близкую к аналогичным уравнениям, с которыми мы встречались в § 1 гл. 5 при анализе стохастической неустойчивости нелинейных колебаний. Если

то возникает локальная неустойчивость в фазовом пространстве всюду, за исключением некоторых областей фаз вблизи точек Размер этих областей тем меньше, чем больше К.

Представим отображение (1.15) в более явной форме. Имеем

где произведено разложение величин в ряд по Хотя аналогия уравнения для фаз в (1.24) с универсальным отображением в § 1 гл. 5 очевидна, тем не менее одно обстоятельство является новым. Растяжение фазы происходит по многим направлениям вдоль которых выполнено условие (1.23). Это приводит к важным физическим следствиям. Остановимся сначала на энтропии Колмогорова-Синая для такого рода системы.

К-энтропия. Ранее, в § 2 гл. 4, энтропия Колмогорова-Синая вводилась из простых качественных соображений об эволюции огрубленного фазового объема в неустойчивом случае (см. формулу

В том случае, когда имеется неустойчивых степеней свободы с инкрементами неустойчивости выражение (1.25) легко обобщается:

Отсюда в соответствии с определением (4.2.15) получаем обобщение динамической энтропии:

Грубо говоря, при наличии приблизительно одинаково неустойчивых направлений К-энтропия возрастает в раз.

Выражение (1.27) можно применить для волнового поля, в котором взаимодействие гармоник определяется отображением (1.24). Из формулы (1.17) при условии сильной локальной неустойчивости

следует, что

где индексы в К в дальнейшем опускаются. При этом под К понима ется некоторое усредненное значение по волновому пакету. Кроме того в (1.29) опущен множитель т. е. тем самым делается пренебрежение малыми островками устойчивости. Пусть теперь

есть элемент фазового объема подпространства фазового пространства на шаге отображения, причем осями этого подпространства являются только неустойчивые направления. Рассмотрим величину

Она характеризует изменение фазового объема за шагов, которое выражается через соответствующий якобиан. Имеем следующие тождественные преобразования:

Воспользуемся выражением (1.29). Это дает

Подставляя отсюда выражение для вместо в (1.27), получаем

при

Отметим, что главный член в формуле (1.30) соответствует обычному выражению для К-энтропии системы, в которой локальная неустойчивость развивается независимо по координатным направлениям фазового пространства. Поправочный член в (1.30) обусловлен в рассматриваемой модели тем, что различные степени свободы не независимы.

Расцепление корреляций. Выражение (1.30) показывает в явном виде, что инкремент локальной неустойчивости траекторий в фазовом пространстве увеличивается примерно в раз по сравнению со случаем одной степени свободы. На основании этого следует ожидать, что время расцепления корреляций фаз [волн должно соответственно уменьшаться в раз. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующий коррелятор:

где операция усреднения по фазам обозначена как

Один из способов оценки состоит в следующем. Воспользуемся неравенством (1.28) и будем оставлять в рекуррентном соотношении для фаз (1.24) только наиболее быстро меняющиеся члены. Тогда

Далее следует подставить (1.33) в (1.31) и, используя определение (1.32), произвести оценку интеграла методом стационарной фазы так же, как это делалось ранее для одной фазовой переменной в § 1 гл. 5. Приведем сразу результат:

где время расцепления корреляций равно

Формула (1.35) содержит искомый результат. Время релаксации фаз обратно пропорционально числу степеней свободы, по которым происходит перемешивание. Из сравнения (1.35) и (1.30) следует соотношение между и безразмерной К-энтропией:

Следует помнить, что неравенство (1.28) означало лишь, что мы рассматриваем только очень сильное перемешивание. В действительности даже при стохастизация существует, если число степеней свободы достаточно велико. Исследование подобных случаев является сложным и требует иного подхода. Во всяком случае, можно принять условие

как условие для границы сильной стохастичности. Поэтому выражение (1.37) можно рассматривать в качестве уравнения для которое определяет спектральные области быстрого перемешивания и отделяет их от областей, где стохастизация, если и происходит, то достаточно медленно (ком. 1).