3. Примеры

В этом параграфе мы приведем несколько примеров возникновения стохастической динамики. На первый взгляд они могут показаться излишне формальными. Здесь, однако, следует запастись определенным терпением. Все эти примеры являются идеализированными моделями реальных динамических систем, рассмотрение которых будет проведено позже. Выделение моделей обусловлено возможностью их точного анализа.

Пример 1. По-видимому, простейшим примером может служить отображение

где К - параметр и скобки обозначают дробную часть. При имеем просто

Поскольку то независимо от начального значения величина При ситуация полностью меняется, так как соотношение

указывает на существование локальной неустойчивости. Итерация условия (3.2) дает

Из соотношения (3.3) вытекает, что

так как величина постоянна для всего фазового пространства

Теперь для простоты положим К большим и нецелым. Выберем также в качестве функций-носителей для вычисления коррелятора

Тогда

т. е. при больших К

Несколько более сложный анализ [6] показывает, что

Отсюда следует, что

и сравнение формул (3.4) и (3.6) приводит к соотношению (2.16):

Функции (3.5) являются типичными для различных физических задач, в чем мы еще будем иметь возможность убедиться.

Итак, при отображение (3.1) порождает последовательность случайных чисел в которой память о начальном условии забывается тем быстрее, чем больше параметр К.

Свойства отображения (3.1) можно обобщить на случай

если выполнено условие

Пример 2. Еще один близкий пример относится к двумерному отображению, сохраняющему меру:

Оно, так же как и (2.6), является автоморфизмом тора. Его можно представить в виде

Оба примера — и первый, и этот — содержат одну и ту же идею получения коэффициента локальной неустойчивости, энтропии Колмогорова — Синая и времени расцепления корреляций. В одномерном случае мы использовали рекуррентные соотношения (3.3). Для отображения (3.7) или (3.8) можно поступить так же.

Якобиева матрица для (3.7) равна

и, следовательно, характеристические корни находятся из уравнения

Отсюда

и локальная неустойчивость определяется корнем

который всегда больше единицы, если В частности, при

Существует и другая возможность неустойчивости: Далее ограничимся рассмотрением только положительных К.

Таким образом, отображение (3.7) диагонализуется и имеет в направлении первого орта растяжение элементов длины в фазовом пространстве:

Эти равенства, так же, как и ранее, дают

Аналогично может быть получена оценка корреляционной функции при больших значениях К.

У-системы Аносова. Рассмотренные примеры включаются в более общий класс систем, называемых У-системами или диффеоморфизмами Аносова, который предложил их в 1967 г. [14]. Мы приведем в несколько упрощенной форме характерные черты -систем и в конце их определения объясним, почему некоторая формальность, проявляемая здесь, не является излишней. Ограничимся также двумерными отображениями, как это было в последнем примере. Пусть

есть вектор состояния. Пусть его динамика определяется отображением

Рассмотрим элемент длины Его инфинитезимальное изменение вследствие движения равно

Вектор называется растягивающимся, если

и соответственно сжимающимся, если

Определение У-систем следующее:

1) область сжимающихся векторов и область растягивающихся векторов образуют все допустимое фазовое пространство в данном двумерном случае в имеются два базисных направления — направление сжимающихся векторов и направление растягивающихся векторов;

2) свойство векторов сжиматься или расширяться под ейсгвием -отображения является инвариантным; сколько бы раз мы ни применяли оператор к вектору конечный вектор всегда будет удовлетворять одному и тому же условию (3.13) или (3.14).

Если выполнены оба эти условия, то система является У-системой, и для нее выполняются различные свойства, присущие стохастической динамике: локальная неустойчивость, эргодичность и перемешивание, расцепление корреляций [15].

Аносовым доказана также структурная устойчивость У-систем. Поэтому, например, малое шевеление отображения (3.7) при также приводит к У-системе.

Теперь можно высказаться более определенно относительно рассмотренных примеров и относительно тех реальных систем, исследование которых нас ожидает впереди. Простейшей ситуацией для реализации У-систем является случай, когда в условиях (3.13) и (3.14) левые части — просто константы, не зависящие ни от точки в фазовом пространстве, ни от момента времени действия отображения Именно такова была ситуация в двух рассмотренных примерах. В действительности все физические системы имеют переменные собственные значения где индекс обозначает момент времени. Однако наиболее неприятной особенностью реальных систем являются трудности с доказательством второго свойства. Поэтому, хотя физические задачи и близки во многом к У-системам, они в то же время содержат ряд принципиально иных качеств, которые будут обсуждаться в следующей главе.

Из соотношений (3.13) и (3.14), в частности, следует существование границы, разделяющей области растягивающихся и сжимающихся векторов. В случае, например, (3.7) она находится следующим образом:

.В диагональном представлении матрица имеет вид

Поэтому уравнение (3.15) можно записать следующим образом:

или

Это уравнение прямой. В случае Поэтому уравнение (3.16) превращается в следующее:

где величина определена выражением (3.10) с

В данном случае уравнение (3.17) для границы области, где действует локальная неустойчивость, достаточно простое, чтобы можно было проследить за движением и деформацией границы при последовательном применении отображения Однако в реальных случаях именно это место вызывает серьезные трудности.

Биллиарды. Существуют модели, которые, с одной стороны, допускают получение строгих результатов и, с другой стороны, являются настоящими физическими моделями. Это — движение частиц в биллиардах различных форм. Динамика в биллиардах позволяет получить несколько более наглядное представление о возникновении локальной неустойчивости и перемешивания.

В качестве первого примера задачи биллиардного типа рассмотрим задачу о движении луча в пространстве, заполненном отражающими сферами (рис. 4.6). Выпуклые поверхности сфер приводят к расходимости лучей, как это видно из рисунка. Если -угол между близкими лучами после какого-либо рассеяния на сфере, то после следующего рассеяния он увеличивается по формуле

где радиус сфер, характерное расстояние между сферами. Многократные рассеяния луча на сферах приводят, в конце концов, к потере памяти о начальном условии на траектории луча.

Рис. 4.6. Локальная неустойчивость лучей при рассеянии на сферах

Рис. 4.7. Простейший вид биллиарда Синая

Рис. 4.8. Биллиард типа «звезда»

Рис. 4.9. Биллиард типа «гусеница»

Выражения (3.18) аналогичны модели (3.1), и это позволяет написать оценку для расцепления корреляционной функции фаз

Теперь можно перейти от дискретного времени к непрерывному, полагая где характерное время между двумя столкновениями:

Это приводит к корреляционной функции фаз

с характерным временем расцепления корреляции

Более простой пример представляет собой биллиард в форме квадрата с внутренней круглой стенкой, ограничивающей движение частицы (рис. 4.7). В этом случае удается доказать строго все свойства: перемешивание и существование энтропии Колмогорова-Синая (ком. 7).

Рассеивающие биллиарды типа изображенных на рис. 4.6 и 4.7, называемые также биллиардами Синая, реализуют достаточно наглядно процесс перемешивания.

Рис. 4.10. Биллиард типа «стадион»

Рис. 4.11. Биллиард с аналитической границей

К этому же типу систем можно отнести биллиарды типа«звезда» (рис. 4.8) и типа «гусеница» (рис. 4.9). К ним приводятся различные задачи, например о собственных колебаниях мембраны сложной формы, о динамике частицы в магнитных ловушках и др. (см. [8]).

Еще два вида биллиардов, в которых имеет место стохастическая динамика, дополняют наше представление о подобных системах. Первый из них — биллиард типа «стадион» (рис. 4.10). Это две полуокружности, соединенные прямолинейными отрезками. Независимо от длины этих отрезков движение в таком биллиарде является стохастическим [17—19]. Второй - биллиард в форме кривой, задаваемой параметрическими уравнениями (рис. 4.11)

Численный анализ [20] обнаруживает возникновение стохастичности при Сильная стохастичность имеет место в области При этом остается постоянной величина Главное отличие этого биллиарда от всех предыдущих в том, что его граница является аналитической функцией.

Мы еще вернемся к более детальному анализу движения в биллиардных, системах в другом параграфе. Однако совокупность рассмотренных систем позволяет получить представление о том, как не просто найти такую форму биллиарда, которая не содержала бы стохастических компонент движения.