§ 2. Фракталы и хаос

Хаос, возникающий из динамических уравнений, по природе своей фракталей. Его фрактальный характер обусловлен тем свойством траекторий, которое превращает их из регулярных или периодических в стохастические. Действительно, регулярная траектория имеет Однако локальная неустойчивость усложняет траекторию, делая ее все более запутанной и непредсказуемой. Появление фрактальных свойств в К-си-стемах происходит в разных местах и в разнообразных их свойствах. Здесь мы приведем некоторые примеры фрактального характера К-систем. Заметим предварительно, что они не должны быть для нас неожиданными. Столь сильное перерождение динамической системы, как превращение ее в К-систему, должно сопровождаться не менее сильным изменением ее топологических свойств.

Размерность стохастического аттрактора. Наиболее сильно фрактальные свойства проявляются на стохастических аттракторах. Рассмотрим для определенности стандартное диссипативное отображение (§ 6 гл. 5, формула

куда входят две константы: у — коэффициент диссипации и К (или константа возмущения. Якобиан отображения (2.1) равен

и поэтому два характеристических числа на шаге отображения удовлетворяют неравенству

которое не зависит от . В частности, при больших значениях 1 почти всюду, за исключением малых областей по имеем оценку

Теперь с помощью этой информации поставим вопрос о хаусдорфовой размерности стохастического аттрактора, порождаемого уравнениями (2.1).

Для начала положим, что отображение характеризуется двумя постоянными, т. е. не зависящими от характеристическими числами Тогда этот факт можно представить себе следующим образом. Существует направление, вдоль которого элечэнг фазового объема растягивается в раз

и существует ортогональное направление, вдоль которого фазовый объем сжимается в раз. Если в формуле (1.2) для выбирать

на шаге отображения, то будет стремиться к нулю при При этом число областей, покрывающих фазовый объем, равнона шаге

Используя эти выражения, получаем

Если отображение сохраняет меру, то

и, следовательно, согласно (2.5) для него

Это и следовало ожидать, так как стохастическая траектория достаточно равномерно заполняет плоскость вследствие перемешивания. Хотя размерность (2.6) — целая, мы имеем дело с фракталом, так как . В случае

из формулы (2.5) имеем

т. е. размерность стохастического аттрактора является дробной. Она лежит в интервале (1.2), так как аттрактор заполняет фазовую плоскость, образуя канторово множество в сечении (см. § 6 гл. 5).

Вернемся теперь к отображению (2.1) и будем считать, что для его параметров К и у выполнены условия, приводящие к появлению стохастического аттрактора. Характеристические числа зависят от . В этом случае для хаусдорфовой размерности получается та же формула (2.5), в которой, однако, следует переопределить величины следующим образом:

Выражение (2.9) можно сильно упростить, заметив, что оно стремится к некоторому неслучайному пределу [7]. Случайными являются числа так как они зависят от переменных принадлежащих стохастическому аттрактору. Представим из (2.9) в виде

Вследствие закона больших чисел правая часть самоусредняется и дает

где

стационарная функция распределения на стохастическом аттракторе.

Подстановка (2.10) в (2.8) дает

где введена -энтропия:

При малых значениях диссипации у размерность аттрактора близка к двум:

Если считать К большим, то из (2.4) и (2.12) следует формула

показывающая отклонение размерности от двойки. Это отклонение имеет простой смысл, который можно легко использовать для качественных оценок более сложных систем. Уменьшение размерности происходит на величину, равную отношению коэффициента диссипации (коэффициента сжатия траекторий) к коэффициенту разбегания траекторий (инкременту локальной неустойчивости).

Рис. 7.7. Локализация мод синус-отображения [8]

Фрактальные свойства локализации мод. Проявления фрактальности, будучи необычайно разнообразными, могут неожиданным образом указать способ сравнения таких свойств системы, которые, на первый взгляд, не имеют никакого конкретного количественного параметра для сравнения. Здесь мы приведем пример такого рода, связанный с последовательностью локализации мод синус-отображения

Значение является критическим. При переходе через него возникает хаотическая динамика. Напомним, что числом вращения называется величина

Рациональным значениям а соответствуют периодические движения. В зависимости от значения со движение при имеет определенную частоту. Это и называется локализацией моды. Для любого рационального а, т. е. периодического движения, при можно указать интервал значений , в котором такое движение возможно (или невозможно). При существуют все возможности, т. е. для любого рационального а существует некоторая область локализации моды. Соответствующая зависимость а имеет вид «дьявольской лестницы» и приведена на рис. 7.7. Все щели в ней также заполнены ступеньками, соответствующими промежуточным рациональным числам.

Рис. 7.8. Схема определения фрактальной размерности «дьявольской лестницы»

Теперь возникает вопрос о том, каким свойством можно охарактеризовать получившуюся «дьявольскую лестницу». Одним из возможных способов является определение ее фрактальной размерности, если, конечно, она

существует. Здесь возникает некоторый простор для спекуляций, и положительный эффект достигается при удачном выборе фрактальной характеристики объекта. Одним из возможных способов введения размерности в данном случае является следующий [8]. Рассмотрим два интервала соответствующих числам вращения На рис. Величину щели между интервалами и обозначим через Рассмотрим новый интервал локализации соответствующий числу вращения

На рис. 7.8 это число вращения равно Образовались две новые щели между интервалами соответственно.

Описанный процесс можно продолжить и получить некоторое число щелей Тогда фрактальной размерностью можно назвать величину, входящую в выражение

Мы будем называть далее величину размерностью разветвления.

Численный анализ в показал, что величина существует и равна

Более того, вычисление только по первым двум щелям, т. е. при дает значение с точностью до Величина не зависит также от положения на дьявольской лестнице, при котором ее вычисляют.

Рис. 7.9. Диаметры разветвления

Размерность разветвления. Описанный способ введения размерности формулой (2.14) в действительности является вариантом некоторой общей концепции. Ее можно сформулировать так: существует показатель подобия ветвящегося процесса. Для понимания этого утверждения рассмотрим простейший пример разветвляющегося на две части дерева, или потока, на рис. 7.9. В нем исходный диаметр потока, и -диаметры образовавшихся ветвей. Тогда закон разветвления можно записать в виде [3]

где величину назовем показателем разветвления. В случаях, где действует закон сохранения потока, Однако пример дьявольской лестницы, рассмотренный выше, показывает, что далеко не всегда -целое (ком 4).

Распределения и спектральная плотность. Рассмотренные примеры показывают, что понятием фрактальности можно пользоваться достаточно широко. Оно выходит за рамки понятия размерности и может характеризовать некоторые свойства подобия структуры или процесса с масштабным показателем, отличающимся от аддитивных случаев. Действительно, если имеется свойство аддитивности рассматриваемых величин, то возникают привычные соотношения. Объем двух частей множества равен сумме их объемов, и формула (1.2) дает Если бы в примере на рис. 7.8 не было конечного интервала локализации мод, то тогда и показатель в (2.14) равнялся бы единице и т. д.

Одно из сильных нарушений аддитивности возникает при сглаживании-распределений, имеющих фрактальный характер. Пример такой функции распределения приведен для стохастического аттрактора на рис. 7.10, 7.11. При огрублении таких функций их вид сильно меняется в зависимости от

(кликните для просмотра скана)

шага огрубления. Поэтому возникает вопрос о том, можно ли указать какую-либо универсальную характеристику распределений подобного типа, которая бы в некоторых пределах не зависела от шага огрубления. Конечно, ответ на этот вопрос далеко не однозначен. В качестве одного из возможных вариантов ответа рассмотрим следующий.

Рис. 7.12. Детализация гистограммы

Пусть дан некоторый участок гистограммы, которая строится с интервалом (рис. 7.12). Ордината функции равна на нем а площадь участка соответственно Детализируем гистограмму функции распределения, разбивая участок на две равные части длиной 6/2. На них ординаты равны а общая площадь участка равна

Условие равенства площадей вследствие нормировки распределения означает, что

Этот закон соответствует обычному процессу детализации, если речь идет о достаточно гладких функциях. Однако фрактальные кривые таким простым свойством среднего не обладают. Вместо него можно рассмотреть соотношение

с показателем разветвления Формула (2.18) аналогична (2.16).

Одним из важных мест, в которых можно использовать показатель является спектральная характеристика траектории -системы. Если корреляционная функция, например, величины из формулы (2.13):

то ее фурье-образ будет фрактальным. Детализация обычно приводит к сильным скачкам амплитуд гармоник, и использование показателя может позволить сравнивать различные спектры

КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 7

(см. скан)