§ 6. Многомерные интегрируемые системы

Основной путь решения уравнений движения связан с определением некоторых полезных инвариантных величин, или интегралов движения, позволяющих понизить порядок системы уравнений.

Первые интегралы движения. Будем всюду в этой главе считать, что задана некоторая изолированная гамильтоновская [система с степенями свободы и гамильтонианом

т. е. система имеет интеграл энергии совпадающий в данном случае с

Интегралы движения системы (6.1), позволяющие понизить порядок гамильтоновской системы уравнений, будут называться первыми интегралами. Они удовлетворяют условию

где

и введена операция коммутатора, или скобок Пуассона,

Говорят также, что функции находятся в инволюции, если их коммутатор (6.4) тождественно равен нулю:

т. е. условие (6.5) выполняется для всякой -мерной точки в фазовом пространстве.

Вопрос об интегрируемости гамильтоновских уравнений движения

в квадратурах аналогичен соответствующему вопросу для системы дифференциальных уравнений. Известно, что система дифференциальных уравнений порядка в общем случае интегрируется в квадратурах, если для нее известны столько же первых интегралов. Отличительное свойство гамильтоновских уравнений в том, что их можно проинтегрировать, если известны всего лишь первых интегралов.

В действительности имеет место еще более сильное утверждение: первых независимых интегралов не может быть более и первые интегралы не интегрируют задачу, если их число

Теорема Лиувилля — Арнольда. Эта теорема устанавливает условия интегрируемости системы с степенями свободы (ком. 5).

Пусть дана гамильтоновская система степенями свободы, совершающая финитное движение и имеющая первых интегралов,

линейно независимых и находящихся в инволюции, т. е.

Тогда:

1) траектории системы лежат на -мерном торе;

2) движение является условно-периодическим и характеризуется частотами:

3) угловые переменные характеризующие координаты на торе, удовлетворяют уравнениям

Эти уравнения сразу интегрируются и дают

Инвариантные торы. В процессе движения траектория остается все время на торе. Поэтому говорят также о существовании инвариантных торов в интегрируемом случае. Изменением интегралов движения получаем семейство инвариантных торов. Их взаимное расположение в фазовом пространстве определяется размерностью фазового пространства системы.

При торы, соответствующие различным значениям интегралов вложены друг в друга и не пересекаются. В этом случае говорят, что торы делят пространство. При торы не делят фазовое пространство и пересекаются. Это легко понять из следующих соображений.

В -мерном фазовом пространстве поверхность постоянной энергии имеет размерность Границы, которые ее должны делить на различные области, имеют размерность Если торы делят пространство, то их размерность должна удовлетворять условию

Отсюда

Резонансы. Пример движения на двумерном торе приведен на рис. 1.21. Оно характеризуется двумя частотами: В общем случае частоты несоизмеримы, и траектория всюду плотно покрывает поверхность тора и является незамкнутой. Если, однако, отношение

есть рациональное число ( — целые числа), то возникает так называемый резонансный случай. Траектория замыкается через конечное число оборотов на торе.

Очевидно, что условие (6.9) означает некоторое вырождение. Поскольку являются некоторыми функциями от то равенство (6.9) выражает соотношение между

В общем случае многомерного движения вырождение означает существование ненулевого -мерного вектора такого, что выполняется условие

Если соотношения типа (6.10) могут выполняться для различных векторов то говорят -кратном вырождении. Общее условие отсутствия вырождения мы запишем ниже после введения канонических переменных.

Рис. 1.21. Движение на двумерном торе

Переменные «действие — угол». В интегрируемом случае можно наиболее естественным образом ввести канонические переменные. Переменные и не являются канонически сопряженными.

Пусть являются обобщенными импульсами, называемыми действиями, которые канонически сопряжены углам Тогда в силу линейной независимости интегралов их можно выразить через действия:

Аналогично гамильтониан выражается только через действия:

т.е. переменные являются циклическими. Из (6.11) следует

или, согласно (6.7) и (6.11),

где частоты определены в новых переменных следующим образом:

Теперь необходимо выяснить, как можно ввести переменные действия. Рассмотрим выражение

зависящее, вообще говоря, от контура интегрирования связывающего начальную (1) и конечную (2) точки в фазовом пространстве. Согласно формулам (5.3), (5.4) это есть первый интегральный инвариант Пуанкаре. Поэтому величина

есть также инвариант.

Существует, однако, более сильное утверждение. Если число интегралов движения равно в точности то в этом и только в этом случае выражение (6.17) для является полным дифференциалом (ком. 6). Отсюда следует, что интеграл (6.16) не зависит от вида контура а определяется только положением начальной и конечной точек.

Предположим теперь, что интегрирование в (6.16) производится по замкнутому контуру С, т. е. точки 1 и 2 совпадают. Поскольку интеграл не зависит от С, то он равен нулю. Отличие от нуля может возникнуть лишь в том случае, если замкнутый контур С не может быть стянут в точку.

Рис. 1.22. Неприводимые контуры

Обратимся снова к траектории системы в интегрируемом случае, когда имеется интегралов движения. Она является обмоткой -мерного инвариантного тора. На нем можно выбрать ровно контуров которые не могут быть ни стянуты в точку, ни переведены непрерывным образом друг в друга. Это базисные контуры тора (случай приведен на рис. 1.22). Будем называть их также неприводимыми контурами.

С помощью неприводимых контуров и первого инварианта Пуанкаре определим переменные действия:

Можно также показать, что функция

является производящей функцией, реализующей каноническое преобразование [2]. Таким образом, есть канонически сопряженные переменные.

Однозначность инвариантных торов. Определение действий (6.18), вообще говоря, не является однозначным. Это связано с некоторым произволом выбора контура Например, при можно совершить замену Ясно, однако, что дело не в выборе переменных, а в свойствах траектории. И здесь вопрос решается следующим важным утверждением [2]: если система является невырожденной, т. е.

то инвариантные торы

определены однозначно независимо от неоднозначности в выборе переменных . В формуле (6.20) сокращенно записаны детерминанты размерности Неравенство их нулю означает независимость частот

Следствия. Некоторые следствия вытекают сразу из теоремы Лиувилля — Арнольда. Например, если то знание одного первого интеграла позволяет проинтегрировать задачу, так как вторым интегралом является энергия системы.

Если переменные задачи разделяются, то она сводится к одномерной задаче, которая интегрируется. Таких примеров немало, так как легкость

обращения с ними привлекает к ним более интенсивное внимание. Однако существует еще один аспект разделения переменных.

Если переменные разделяются в нескольких системах координат, то существует столько же разных действий, которые могут быть выбраны в качестве различных первых интегралов. Например, двумерная задача о движении в кулоновском поле разделяется в эллиптических и в полярных координатах.

Еще одно замечание связано с некоторым расширением условий применимости теоремы Лиувилля-Арнольда. Для этого вернемся к задаче о маятнике (формула (3.1)). Из его фазового портрета (рис. 1.10) видно, что финитному движению соответствуют колебания, а инфинитному — вращения маятника.

Аналогичная задача возникает также для заряженной частицы, движущейся в поле плоской волны:

где - амплитуда поля волны. Чтобы убедиться в этом, необходимо перейти в систему отсчета, движущуюся вместе с волной, точнее, с фазовой скоростью волны Для этого введем новую переменную

и уравнение (6.21) переходит в

где частота малых колебаний равна

Рис. 1.23. Переходы к цилиндрическому фазовому пространству

Инфинитное движение совершают пролетные частицы, не захваченные потенциальным полем волны. Их движение, однако, также является периодическим. Это показывает, что можно изображать фазовый портрет всех траекторий (соответствующих как захваченным, так и незахваченным частицам) не в неограниченном по координате фазовом пространстве, а на поверхности цилиндра (рис. 1.23). Для этого необходимо отождествить значения переменной у, которые отличаются на Таким образом, теорема Лиувилля-Арнольда распространяется и на некоторые инфинитные движения.

Спектральное разложение. Нам осталось рассмотреть еще один вопрос в этой главе, относящийся к спектральным свойствам траектории системы. Если система является интегрируемой, то этот вопрос решается довольно просто. Достаточно лишь знать связь переменных с переменными действие—угол. Пусть это так, т. е.

Тогда, учитывая цикличность по переменной имеем

где коэффициенты разложения удовлетворяют условию вещественности:

векторы равны

и - целые положительные или отрицательные числа.

Поскольку система интегрируема, Поэтому разложение (6.23) сразу переходит в следующее:

где постоянные фазовые множители включены в новые амплитуды разложения:

Таким образом, разложение (6.24) описывает -частотное движение, если отсутствует вырождение, т. е. справедливо условие (6.20). Такое движение носит название условно-периодического.

Нетривиальный пример (цепочка Тоды). Задачи с неразделяющимися переменными, но интегрируемые, следует, безусловно, отнести к нетривиальным случаям. Еще реже удается отыскать все интегралы движения в аналитическом виде. Такие примеры являются исключительными.

Примером может служить цепочка Тоды [11] из частиц, расположенных на кольце, с экспоненциальным законом взаимодействия

и с граничным условием

У этой цепочки существует ровно первых интегралов, что позволяет точно ее проинтегрировать. Приведем интегралы движения в виде, полученном в [12]:

где обозначено

Например, при интегралы движения превращаются в следующие:

В формулах (6.27) легко понять и получить первый интеграл, так как он равен полному импульсу системы. Просто также убедиться в том, что

т. е. второй интеграл связан непосредственно с энергией. Выражение для уже не является столь простым ни для его интерпретации, ни для получения. И тем более это замечание справедливо для числа частиц

Наиболее удивительной чертой цепочки Тоды является возможность точной записи всех интегралов движения при конечном произвольном числе частиц. Мы еще вернемся к подобного рода феномену при рассмотрении нелинейных волн.