§ 3. Резонансы нелинейных волн

При переходе от резонансов волн малой амплитуды к резонансным взаимодействиям сильно нелинейных волн трудности резко возрастают. И здесь превалирующую роль начинают играть различные эвристические соображения, которые позволяют сначала понять, что нам необходимо сделать, и затем найти адекватный способ описания физического процесса.

Константа связи. Мы уже отмечали, что нелинейная волна может быть интерпретирована как суперпозиция некоторого большого числа плоских волн, между которыми организуется сильная связь. Это означает, что представление нелинейной периодической стационарной волны в виде

обладает, по крайней мере, двумя характерными особенностями, отличающими разложение (3.1) от произвольного волнового пакета.

Во-первых, разложение (3.1) эффективно обрезается на некотором числе которое, по существу, определяет реальное число степеней свободы в волне.

Во-вторых, амплитуды разложения не являются независимыми, а могут быть выражены все как функции одного (или нескольких) параметров — например,

Для волны с заданным периодом и фиксированной скоростью и имеем просто

Интерпретация соотношения (3.3) настолько же важна, насколько она может показаться простой. Формула (3.3) означает, что все гармоник не являются независимыми, а находятся в сильной связи. Эта связь тем сильнее, чем больше число связанных волн Мы уже демонстрировали это свойство формальным образом для уравнения вводя число

пропорциональное нелинейности (см. формулу (8.2.23)).

Сделанные замечания позволяют придать числу смысл константы связи для стационарной периодической волны. При связь гармоник слабая. Ниже мы увидим, что многие задачи взаимодействия нелинейных волн могут быть решены путем разложения по обратным степеням при 1. В основе такого разложения лежит простое физическое соображение: сильно связанные волновых гармоник трудно «разорвать», превратив их в независимые степени свободы. Поэтому слабость возмущения будет проявляться в процессе эволюции системы, главным образом, в том, что эффективное число гармоник, характеризуемых из-за сильной связи лишь одним параметром, изменяется очень мало

Внешнее возмущение. Рассмотрим для определенности возмущенное нелинейное уравнение Клейна — Гордона

где возмущение и безразмерный параметр возмущения. Зададим также периодические по координате граничные условия, которым должно удовлетворять решение

и возмущение

Запишем разложение в ряд Фурье для у:

Аналогичные разложения запишем для силы и возмущения

Используя приведенные разложения (3.6) и (3.7), перепишем уравнение (3.5) в виде

В отсутствие возмущения системе уравнений

может быть придана еще одна форма.

Если рассматривать только решение в форме стационарной волны, распространяющейся со скоростью и, т. е.

то справедливо также разложение

Сравнение (3.10) и (3.6) показывает, что

где не зависят от Поэтому

и уравнение (3.9) с помощью (3.11) и (3.12) приводит к соотношению

которое является другой формой дисперсионного соотношения (1.25). Величина естественно, не зависит от

Гамильтониан для задачи (3.5) можно представить в следующей форме:

где выражения

являются потенциалами силы и силы возмущения Ф:

Гамильтониан (3.14) порождает гамильтоновские уравнения движения:

которые эквивалентны исходному уравнению (3.8).

Следующий пример показывает, как надо обращаться с выражениями типа (3.15). Пусть, например,

Тогда гармоника разложения в ряд Фурье по х имеет вид

Соответственно

В частности, если в уравнении

то вклад от возмущения в гамильтониан имеет вид

Пусть - произвольная функция -функционал, полученный тем же способом, что в (3.15). Тогда скобки Пуассона определяются из

соотношения

Теперь мы воспользуемся приведенными уравнениями для рассмотрения достаточно сложных явлений — нелинейного резонанса между волной и внешним возмущением и нелинейного резонанса между волнами (ком. 4).

Укороченные уравнения. Воспользуемся высказанными выше соображениями о числе как параметре, характеризующем эффективное число сильно взаимодействующих гармоник. Положим далее

Это неравенство является принципиальным для многих, рассматриваемых ниже задач. Оно лежит в основе вывода укороченных уравнений движения для задачи о возмущении стационарных волн.

Определим невозмущенный гамильтониан выражением

и представим решение возмущенной задачи в виде

В отсутствие возмущения, согласно (3.19) и (3.11), имеем

При наличии возмущения скобки Пуассона (3.19) дают возможность получить

Поскольку рассматриваемое возмущение не зависит от скорости, то возникает упрощение:

Наконец, в случае, когда находим в соответствии с (3.18):

Все уравнения для в том числе (3.24), являются точными.

Несколько сложнее обстоит дело с уравнением для фазы Его можно получить, используя определение (3.22). Это, однако, будет выглядеть несколько громоздко. В дальнейшем мы будем интересоваться в основном резонансными взаимодействиями, и это создаст некоторые упрощения. Согласно (3.23), уравнение для должно иметь структуру

При значениях , не слишком близких к нулю, изменение из-за возмущения имеет порядок

Это выражение надо сравнить со вторым членом в (3.25), который имеет порядок 8. Очевидно, что в отсутствие особенностей

Поэтому оба члена в (3.25) одного и того же порядка по Иначе обстоит дело, когда возмущение в (3.24) имеет резонансный член. Тогда в выражении для

появляется резонансный знаменатель и величина сильно возрастает. В этом случае первый член в (3.25) становится большим по сравнению с поправкой, и укороченное уравнение для фазы принимает вид

Последний шаг заключается в использовании выражений (3.22) и (3.23) для преобразования правой части в (3.24). В результате мы приходим к следующей замкнутой системе укороченных уравнений [16]:

Ее анализ можно производить так же, как это делалось в динамике частиц.

Нелинейный резонанс. Рассмотрим такой случай, внешнего возмущения, который допускает возможность резонанса между возмущением и волной. Пусть возмущение является периодической функцией времени с частотой Разложим в ряд Фурье по

Из (3.28) и (3.29) следует, что при выполнении условия

в некоторой точке возникает резонанс. Вообще, для каждой пары чисел может существовать значение при котором удовлетворяется уравнение (3.30).

Как и в § 1 гл. 2, рассмотрим случай изолированного резонанса. Это означает, что в уравнениях (3.28) основную роль играет один резонанс (3.30) в точке Поэтому всеми остальными членами можно пренебречь. Введем более удобные переменные. Опустим всюду индекс при и положим

Первая формула в (3.31) вводит вместо переменной переменную действия

Теперь система (3.28) принимает совсем простой вид:

где использована новая фаза

Уравнения (3.32) описывают изменение действия и фазы в окрестности резонанса (3.30). Относительная величина изменения действия мала. Поэтому можно положить

и разложить в ряд, ограничившись первым неисчезающим членом:

Отсюда находим первый интеграл системы (3.32):

Выражение (3.34) для является также гамильтонианом для нелинейного резонанса с канонической парой переменных где

Оно полностью совпадает с эффективным гамильтонианом нелинейного резонанса в § 1 гл. 2, и поэтому весь дальнейший анализ проводится аналогично.

Из (3.34) следует, что колеблются со временем периодически. Ширина резонанса по действию равна

Колебания приводят к периодической модуляции параметров волны. Этот факт совсем нетрудно установить. Он следует из существования сильной связи между гармониками нелинейной волны и выражается, в частности, равенством (3.3). В новых переменных мы можем записать

Рис. 9.7. Резонансная крупномасштабная модуляция нелинейной волны

Второй член в формуле (3.36), содержащий приводит к периодической модуляции, наложенной на волну. Ее период определяется начальными условиями, задающими величину Аналогичные осцилляции испытывает и скорость волны:

Таким образом, при резонансном взаимодействии нелинейной волны с внешним возмущением возникает своеобразное связанное состояние внешнего поля с волной. Это взаимодействие в первом приближении не разрушает волну, а приводит к периодической модуляции ее параметров во времени. Максимальное значение частоты модуляции (частоты фазовых колебаний), согласно (3.34) и (3.35), равно

Величина (3.38) определяет помощью формулы (3.37) глубину модуляции скорости волны:

Период модуляции в зависимости от константы изменяется от до Поэтому модуляция представляет собой крупномасштабную «рябь» на фоне стационарной волны (рис. 9.7). Рябь бежит по волне. Скорость этого движения и амплитуда ряби пропорциональны следовательно, существенно превышают величину возмущения

Ширина резонанса (3.35), (3.38), (3.39) зависит от пространственного спектра внешнего возмущения. Действительно, из уравнения (3.24) видно, что при взаимодействии внешнего поля с волной существенно выделяются только те гармоники номерам которых соответствуют заметно отличные от нуля гармоники волны Иными словами, если возмущение таково, что в его спектре основная энергия приходится на гармоники с то взаимодействие такого возмущения с волной экспоненциально мало. В этом проявляется особенность взаимодействия волн с внешним полем.

Период возмущения, например, ветрового воздействия может быть существенно мал в сравнении с длиной волн на поверхности океана. Однако для интенсивной накачки волн достаточно лишь, чтобы волны были достаточно «остры», т. е. чтобы в их спектре существовали с заметно ненулевой амплитудой гармоники с высокими частотами и, соответственно, мелкими масштабами. Возмущение действует интенсивно именно на эти масштабы. Вследствие сильной связи эти масштабы вытягивают за собой и гармоники со значительно более крупными масштабами. Легко найти тот минимальный масштаб возмущения ниже которого его взаимодействие с волной становится неэффективным. Очевидно,

Нетрудно понять, что это означает. Для этого вспомним, что, например, для уравнения КдВ число равно отношению длины волны к ширине горба солитона. Поэтому граничное значение (3.40) для есть просто ширина солитона. Если длина волны возмущения очень мала по сравнению с шириной солитона, то взаимодействие его с волной мало. Более сложные варианты взаимодействия, например с плазменными колебаниями вблизи границы опрокидывания, приведены в [19].

В заключение этого пункта полезно показать, как возникает реально малость взаимодействия со внешним полем, если число Из (3.28) следует, что даже при величина

где число резонансных гармоник в возмущении. Мы рассматривали выше Тем самым параметр малости устанавливается явным и очевидным образом.