Глава 14. БИЛЛИАРДЫ

Биллиарды очень наглядны и удобны для изучения свойств гамильтоновских динамических систем. Интерес к ним связан с существованием аналогий между траекториями частиц в биллиарде и траекториями в исследуемых системах. Примером такой связи может служить задача о динамике лучей в неоднородных средах, которая будет рассмотрена ниже.

§ 1. Перемешивающие биллиарды

Перемешивающим называется биллиард, в котором возможно движение с перемешиванием. Область фазового пространства, занимаемая стохастическими траекториями, может составлять часть всей области фазового пространства допустимого движения. Мы уже встречались с перемешивающими биллиардами в § 3 гл. 4 и здесь остановимся на их обсуждении подробнее.

Рис. 14.1. Примеры нерассеивающих биллиардов со стохастическими траекториями

Общая картина динамики частицы в биллиарде определяется его геометрией. Биллиарды как динамические системы очень быстро приобрели популярность, когда стало ясно, что самым наглядным примером динамической системы с перемешиванием является биллиард отрицательной кривизны. Последующие исследования показали, что биллиарды с фокусирующими участками также могут приводить к перемешиванию. Примеры таких биллиардов приведены на рис. 14.1. Сейчас ясно, что ни существование фокусирующих и рассеивающих участков, ни гладкость границ не служат препятствием для хаотической динамики в биллиардах. Трудно указать такой биллиард (конечно, не очень правильной формы), который не создавал бы стохастических траекторий частиц. Биллиарды с регулярными траекториями являются редкими исключениями. Перейдем к более детальному анализу траекторий в некоторых типах биллиардов, которые встречаются в физических приложениях [1].

Анализ траекторий. Рассмотрим сначала биллиард в форме, изображенной на рис. 14.2. Как будет видно, для нас не важно, являются ли дуги выпуклыми или вогнутыми. Уравнения кривой, представляющей дугу биллиарда, запишем следующим образом:

где координата и параметры указаны на рис. 14.2. Знак дробной части сейчас не существен, так как координата направленная вдоль изменяется в интервале Однако в дальнейшем мы расширим область изменения и этот знак будет использован по существу.

Следующие неравенства используются для упрощения задачи:

где I — длина прямолинейных участков биллиарда.

Рассмотрим траекторию частицы после нескольких отражений от боковых прямолинейных участков. Изображать каждый отрезок луча траектории между двумя последовательными отражениями от прямолинейных участков будем на отдельном листе. Сложим листы с последовательными отрезками траектории в стопку и склеим их попарно вдоль тех прямолинейных участков биллиарда, от которых происходит отражение (рис. 14.3). В результате траектория частицы изображается на «плиссированной» поверхности. Подчеркнем, что падающий и отраженный лучи криволинейных участков биллиарда изображаются на одном и том же листе.

Растянем теперь полученную «плиссированную» поверхность и будем изучать траекторию частицы на образовавшейся однолистной поверхности (рис. 14.4). До сих пор все рассуждения были точными. Введем последовательно ряд упрощений технического характера. Если биллиард симметричный, то поверхность с траекторией удобно согнуть вдоль оси х вдвое и склеить. Теперь задача сводится к биллиарду типа «гусеница» (рис. 14.5). Следующее упрощение связано с использованием неравенств (1.2). Они позволяют пренебречь участками траектории частицы, которые содержат более чем одно последовательных столкновений внутри дуги биллиарда.

Рис. 14.2. Биллиард с фокусирующими дугами и прямолине и участками

Рис. 14.3. Образование «плиссированной» поверхности

Рис. 14.4. Развертка «плиссированной» поверхности

Рис. 14.5. Образование из «плиссированной» поверхности биллиарда типа «гусеница»

Введем координаты так, как это показано на рис. 14.5. Тогда

или, вводя вместо х переменную I с помощью (1.1), получим

Неравенства (1.2) позволяют увидеть различие в свойствах переменных и Значение производной мало из-за условия Поэтому изменение переменной на одном шаге отображения также мало, и, следовательно, фаза является медленно изменяющейся функцией. Наоборот, изменения велики, и поэтому локальная неустойчивость возникает именно в связи с этими изменениями. Из полученного отображения находим

коэффициент растяжения фаз 5:

Отсюда следует условие стохастичности траекторий частицы в биллиарде

Если, например, дуга биллиарда является параболой, то из (1.1) следует, что

и выражение (1.4) переходит в

Граница стохастичности определяется из условия а -энтропия при

К 1 равна

Рис. 14.6. Образование из «плиссированной» поверхности биллиарда типа «веер»

Тот способ, с помощью которого были получены уравнения отображения (1.3), нигде не предполагал знание явного вида кривой Аналогично может быть рассмотрен и более сложный случай биллиарда, изображенного на рис. 14.16. Для него строится «плиссированная» поверхность, которая при растяжении переходит в многозаходный «веер» (рис. 14.6). Дальнейший анализ траекторий частицы производится так же, как и в предыдущем случае.

Кинетика частицы в биллиарде. Следующий шаг в анализе динамики частицы в биллиарде связан с получением ее кинетического описания, если выполнено условие (1.4) или (1.5). Оно производится с помощью уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова, которое имеет в данном случае вид

где функция распределения и скобки означают усреднение по быстрой переменной 1

Величина означает изменение на одном шаге отображения, интервал времени между двумя последовательными отображениями. Кроме того, функция должна удовлетворять граничному условию

и условию нормировки

Из уравнений (1.3) находим

где индекс в конечном результате для удобства опущен. Из рис. 14.5 следует, что

где - скорость частицы. Поскольку распределение по при больших значениях К близко к равномерному на интервале (0,1), то с точностью до членов второго порядка малости по имеем

Формулы (1.7) показывают, что принцип детального равновесия имеет место, т. е.

Поэтому уравнение (1.6) принимает дивергентную форму

где коэффициент диффузии равен

С его помощью оценивается характерное время установления равновесного распределения до

Само равновесное распределение до легко находится из (1.8) и (1.9) и имеет вид

Это выражение удовлетворяет граничному условию и условию нормировки.