§ 4. Ленгмюровская турбулентность

Последовательность неустойчивостей и бифуркационных явлений, заканчиваясь на своем конечном этапе турбулентностью, может подчас иметь очень своеобразный вид. Одним из таких необычных процессов является возникновение турбулентных плазменных (ленгмюровских) колебаний вследствие развития так называемой модуляционной неустойчивости (ком. 5).

Турбулентность ленгмюровских колебаний не только не может быть описана в рамках теории слабой турбулентности, но и вообще развивается совсем не так, как в сильной гидродинамической турбулентности. На ее начальной стадии происходит интенсивный поток энергии в область длинноволновых колебаний. Эта картина полностью противоположна картине дробления масштабов и перекачки энергии в коротковолновую часть спектра. В результате этого в ленгмюровской турбулентности должен был бы существовать механизм поглощения энергии не при малых масштабах, а при больших. Но эффективного механизма поглощения в области длинных волн нет. Поэтому происходит сильное накопление энергии плазменных колебаний в области малых значений волновых чисел к. Как развивается эта картина дальше и каким образом происходит сток энергии, будет описано ниже. Пример ленгмюровской турбулентности очень поучителен. Хотя здесь еще не все детали ясны и картина зарождения хаоса не описана, тем не менее этот пример в определенной степени сбивает нас с проторенных путей, указывая на возможное разнообразие механизмов появления турбулентности в нелинейных средах.

Образование «плазменного конденсата». Мы уже встречались с плазменными и ионно-звуковыми колебаниями плазмы. В линейном приближении и при слабой дисперсии они имеют следующие дисперсионные уравнения соответственно:

где - частота плазменных колебаний:

дебаевский радиус электронов; -скорость ионного звука

Формула (4.3) при переходит в уже известную нам формулу. Из достаточно общих соображений можно сказать, что нелинейные уравнения плазменной среды должны приводить к взаимодействию плазмонов между собой и с фононами. Спектр (4.1) для плазмонов как нетрудно убедиться, не является распадным в первом порядке. Иначе, процесс типа

невозможен. Однако возможными оказываются процесс

либо процесс

Первый из них описывает распад плазмона на другой плазмон и фонон, второй - индуцированное рассеяние плазмона на фононе. Эти два процесса и определяют начальные нелинейные стадии на пути к турбулентности. В любом из них плазмон отдает энергию фонону. Поэтому процессы взаимодействия волн сопровождаются «покраснением» ленгмюровских колебаний, т. е. перекачкой энергии в область больших масштабов и больших фазовых скоростей. Однако чем с большей скоростью движется волна, тем слабее ее взаимодействие с частицами при Действительно, во-первых, уменьшается плотность частиц с увеличением скорости и, во-вторых, частота колебаний частиц в потенциальной яме волны уменьшается, делая невозможными резонансы «волна—частица».

Таким образом начинается накопление длинноволновых плазмонов и образование так называемого «плазмонного конденсата». Какова его дальнейшая судьба?

Модуляционная неустойчивость. Плазмоны имеют высокую частоту, фононы — низкую. Конденсат плазмонов оказывается неустойчив относительно модуляции его плотности. Приведем сначала качественные соображения, поясняющие физический смысл возникающей неустойчивости.

Представим себе, что на первоначально однородном фоне ленгмюровских волн происходит флуктуация, в результате которой появляется область, где амплитуда колебаний несколько превышает средний уровень. В результате в этой области возрастает и высокочастотное давление, так что электроны из нее вытесняются. Возникающее в результате поляризации плазмы электростатическое поле вытягивает ионы вслед за электронами. Образуется квазинейтральный профиль пониженной плотности. Опишем движение плазмонов в таком профиле плотности.

Удобно рассматривать плазмон как частицу с энергией определяемой формулой (4.1), и импульсом к. Неоднородное возмущение приводит к изменению плотности электронов:

Если это возмущение крупномасштабное, т. е. ширина, например, ямы на рис. 11.20 велика по сравнению с длиной волны то по-прежнему можно пользоваться понятием квазичастиц, рассматривая их как частицы. Тогда

и уравнения движения плазмона можно записать в виде гамильтоновских уравнений, считая (4.4) гамильтонианом:

Из этих уравнений видно, что профиль с пониженной плотностью играет роль потенциальной ямы для плазмона. В этом случае сила к ускоряет те плазмоны, которые движутся на дно ямы, и тормозит те из них, которые движутся в обратном направлении. Поэтому происходит скопление плазмонов в области пониженной плотности, т. е. захват их в потенциальную яму.

Рис. 11.20. Образование потенциальной ямы для плазмонов

Описанный процесс означает, что амплитуда поля в области ямы увеличивается (рис. 11.20). Тем самым возрастает давление высокочастотного поля и, следовательно, деформация профиля плотности электронов. Потенциальная яма для плазмонов становится глубже, что приводит к дальнейшему росту локальной амплитуды ленгмюровских колебаний и высокочастотного давления. Таким образом, развивается неустойчивость автомодуляции пространственного распределения плазмонов, приводящая их к стягиванию в сгустки-каверны.

Получим количественные результаты для описанной неустойчивости Запишем линеаризованные уравнения движения квазинейтральной плазмы

где — возмущение давления. Рассмотрим возмущение в виде

и подставим эти выражения в (4.6):

Для замыкания этой системы необходимо разобраться с членом представляющим полную вариацию давления — газокинетического и высокочастотного:

где -температура среды. Найдем

Невозмущенное давление высокочастотного поля равно

где -огибающая высокочастотного электрического поля:

Из формулы (4.4) видно, что кинетической энергии плазмонов соответствует член а потенциальной энергии их возмущения — член Поэтому относительное возмущение энергии равно Отсюда, используя (4.9), находим

где возмущение высокочастотного поля по знаку противоположно возмущению плотности, как это уже было установлено (см. рис. 11.20). Собирая

формулы (4.10), (4.8) и (4.7), получаем дисперсионное уравнение

Условие неустойчивости дает

Соотношение (4.12) означает, что в процессе накопления длинноволновых плазмонов обязательно возникает модуляционная неустойчивость. По мере перекачки энергии в область малых значений становится применимым неравенство

и из (4.11) следует выражение для инкремента модуляционной неустойчивости

Следующий вопрос, который предстоит решить, — какова дальнейшая динамика образующихся в результате неустойчивости каверн.

Коллапс ленгмюровских колебаний. Мы описали выше модуляционную неустойчивость. Ее роль удобно описать еще раз, обращаясь к эффективному гамильтониану плазмонов (4.4), т. е. к Пусть сначала энергия плазмонов сосредоточена в области некоторых, не малых значений к. Их кинетическая энергия достаточно велика, а потенциальная энергия мала вследствие малости возмущения. Далее, вследствие модуляционной неустойчивости кинетическая энергия может уменьшаться, а потенциальная возрастает из-за роста Предел этого процесса очевиден — кинетическая и потенциальная энергии должны сравняться, т. е.

Выражение (4.14) определяет также характерное волновое число т. е. характерный размер каверны:

Здесь возникает тонкое место, заключающееся в том, что уравнение (4.14) определяет не столько конечное значение или сколько только связь между ними. Поэтому, если только неустойчивость не прекращается, а это действительно оказывается так, то продолжает нарастать. Рост сопровождается согласно (4.14) и (4.15) схлопыванием каверн, так как

и уменьшается. При этом плотность энергии колебаний возрастает, и происходит ускорение процесса выталкивания плазмы и схлопывания каверн. Поэтому он носит взрывной характер.

Естественно, возникает вопрос о том, что останавливает схлопывание. Глубина модуляции плотности в каверне мала при Соответственно мало и изменение частоты бохю. Это означает сохранение величины

Таким образом, высокочастотное поле в каверне возрастает при схлопывании обратно пропорционально объему каверны, т. е.

где в зависимости от размерности каверны.

В то же время для схлопывания необходимо преодолеть давление вытесняемой плазмы Согласно (4.14)

Отсюда видно, что в одномерной каверне газокинетическое давление при схлопывании возрастает быстрее высокочастотного. В результате при некотором I установится баланс давлений и образуется ленгмюровский сгусток конечного размера, который, в свою очередь, неустойчив относительно модуляции в двух других направлениях.

В двумерном случае если только в начальный момент было

то в дальнейшем процесс схлопывания каверны не останавливается.

Наконец, в трехмерном случае высокочастотное давление при схлопывании возрастает быстрее газокинетического, и процесс схлопывания идет с нарастающей скоростью. Явление схлопывания каверны с плазмонами, запертыми в ней, получило название коллапса ленгмюровских волн.

В каждом из двух указанных случаев, когда возможен коллапс, схлопывание каверны происходит до малых размеров, сравнимых с дебаевским радиусом, а фазовая скорость при этом становится сравнимой с тепловой скоростью. Здесь на этом этапе эффективно начинает работать затухание Ландау в результате резонансного поглощения плазмонов частицами плазмы.

Приведем некоторые количественные оценки для закона, по которому развивается коллапс. Выпишем сначала нелинейные уравнения для звуковых колебаний. Воспользуемся для этого вторым дисперсионным уравнением в (4.1) и заменим в нем

Это дает

Далее считаем и поэтому из (4.3) следует

Учтем теперь давление высокочастотного поля Поступим так же, как и при написании уравнения (4.8). Считаем, что на начальной стадии эволюции каверны изменение плотности сопровождается одновременно появлением Тогда в уравнении (4.18) следует сделать замену

Подставляем это выражение в (4.18):

В квазистатическом случае уравнение (4.20) определяет соотношение между

Наоборот, при сверхзвуковом движении в уравнении (4.20) можно пренебречь вторым членом и получить

Вторым уравнением, связывающим является уравнение для плазмонов. Вместо него мы воспользуемся соотношением (4.14), учитывая, что сверхзвуковое схлопывание каверны должно приводить к ее малым размерам. Поэтому

и уравнение (4.22) дает

Здесь - момент схлопывання каверны. Отсюда сразу следует, что

Последний шаг для получения закона «взрыва» делается с помощью соотношения (4.16), учитывающего постоянство числа запертых в каверне плазмонов. Подставляя его при и используя (4.15) и (4.14), находим искомые законы:

Законы схлопывания каверн (4.23)-(4.25) описывают автомодельную стадию развития процесса эволюции плазмонов в каверне. Она была подтверждена путем численного анализа (см. обзор [29]).

Турбулентность. Выясним теперь, как выглядит картина ленгмюровской турбулентности при наличии коллапса каверн. Вначале энергия ленгмюровских волн путем слабого взаимодействия, как при слабой турбулентности, перекачивается в длинноволновую область. В этой области действует модуляционная неустойчивость. Из-за неустойчивости энергия ленгмюровских волн локализуется в большом числе случайно расположенных каверн. Характерный размер каверн определяется с помощью соотношения (4.14), т. е.

На этой стадии еще Поэтому а для оценки можно использовать дозвуковое приближение (4.21). В результате из (4.26) получаем

Далее начинается процесс коллапса, перекачивающий энергию из длинноволновой части спектра (порядка в коротковолновую часть до таких масштабов, где начинает эффективно действовать затухание Ландау. Минимальный масштаб определяется дебаевским радиусом:

Таким образом, область инерционного интервала заключена в диапазоне Спектр турбулентности в этой области можно найти из условия постоянства потока энергии по спектру. Его можно оценить следующим образом. Энергия, приходящаяся на малый спектральный интервал равна Поток ее в единицу времени равен

Заменим на производную Положим - характерный размер каверны. Тогда зависимость определяется формулой (4.25).

Используя (4.24) и (4.25), получаем из (4.28):

Это и есть спектр ленгмюровской турбулентности в инерционном интервале (ком. 6).