§ 4. Разрушение интегралов движения

Наше внимание в предыдущих параграфах этой главы было сосредоточено на нестационарных гамильтоновских системах, в которых внешние периодические по времени силы могут вызвать хаотическую динамику. Естественным продолжением является исследование возможности возникновения хаоса в замкнутых гамильтоновских системах, имеющих, например, интеграл энергии

где -мерные векторы.

Напомним, что если система (4.1) имеет точно независимых первых интегралов в инволюции, то ее траектория лежит на -мерном инвариантном торе.

Природа разрушения интегралов. Сформулируем снова задачу о возмущении интегрируемой системы. Представим гамильтониан системы в виде

где малый параметр возмущения. Сама форма записи выражения (4,2) показывает, что при система интегрируема и имеет независимых первых интегралов которые коммутируют друг с другом (т. е. находятся в инволюции).

При достаточно малых теорема гарантирует нам сохранение инвариантных торов и, следовательно, новых, слабо возмущенных интегралов движения. Однако если больше некоторого критического значения то какие-то инвариантные торы исчезают (говорят, что они разрушаются). Число интегралов движения уменьшается, а само движение становится стохастическим. Это происходит следующим образом.

Рассмотрим какую-либо небольшую область фазового пространства в которой возможен резонанс между некоторыми степенями свободы. Это

означает, что условие резонанса

может быть выполнено при и для Тогда говорят об как о резонансном торе. Гамильтониан (4.2) в области уже не создает простой структуры инвариантных торов. Происходит структурная перестройка фазового пространства. Мы знакомы с одним из не очень сложных случаев перестройки — внутренним нелинейным резонансом. Если выполнено условие (4.3), то в области которая при не имела особых точек, теперь появляется сепаратриса. Она определяет ширину нелинейного резонанса.

Выше мы показали, что сепаратриса всегда разрушается, образуя в своей окрестности стохастический слой. Очевидно, что внутри стохастического слоя инвариантные торы либо отсутствуют вообще, либо имеют размерность

Таким образом, в окрестностях сепаратрис разрушается часть интегралов движения. Это разрушение сопровождается появлением стохастической динамики.

Приведем два примера, которые показывают, насколько ситуация разрушения интегралов движения является универсальной.

Двумерные колебания. Рассмотрим произвольное двумерное финитное движение. Его можно интерпретировать как связанные колебания двух осцилляторов. Гамильтониан такой системы записывается в виде

Части соответствуют невозмущенным колебаниям, а член взаимодействию.

Выберем в следующем виде:

Системы (4.4) и (4.5) имеют один очевидный интеграл энергии Второй интеграл можно попробовать получить с помощью рядов по Это, однако, не всегда удается. Фазовое пространство четырехмерное, и движение происходит на двумерном торе, если второй интеграл существует. Рассмотрим отображения Пуанкаре, которые введем следующим образом. Пусть z есть точка на плоскости в которой траектория системы (4.5) протыкает эту плоскость при в направлении (значение при этом определено из (4.5) значением Последовательность точек определяется свойствами траектории.

При траектории соответствующие различным начальным точкам приведены на рис. 5.17а. Точки группируются в семейство замкнутых кривых. Эти кривые являются сечениями инвариантных торов. Положение сепаратрисы отчетливо видно. В областях вблизи двух гиперболических точек имеется слабое стохастическое разрушение. Точки в этих областях принадлежат одной траектории. Более сильное стохастическое разрушение инвариантных торов видно на рис. 5.17б, где При этом наблюдаются малые островки, соответствующие резонансам высоких порядков. Дальнейшее увеличение приводит почти к полному разрушению инвариантных торов, и сохраняющиеся торы имеют очень малые сечения.

В тех областях значений параметров и фазового пространства, где инвариантных торов нет, остается только один интеграл движения—энергия, и задача становится максимально неинтегрируемой. Модель (4.5) не является исключительной. Наоборот, трудно указать такие функции и V, при которых система уравнений движения была бы интегрируемой. Можно, однако, специальным подбором коэффициентов со, привести задачу (4.5)

(кликните для просмотра скана)

к разделению переменных. Эту возможность следует всегда иметь в виду, хотя множество таких случаев и составляет меру нуль среди всего множества, скажем, потенциала V в виде полиномов четвертого порядка.

Связанные ротаторы. Другой пример связан с двумя взаимодействующими ротаторами.

Рассмотрим две частицы с орбитальными моментами и пусть взаимодействие частиц осуществляется только через взаимодействие их моментов. Это означает, что гамильтониан системы имеет вид

Формально система (4.6) имеет шесть переменных, однако величины моментов не изменяются, т. е.

Уравнения связей (4.7) сводят задачу (4.6) эффективно к двум степеням свободы Можно поэтому исключить с помощью инвариантов (4.7), например, переменные и записать гамильтоновские уравнения в пространстве переменных Это приводит задачу к четырехмерному фазовому пространству, в котором есть интеграл энергии

при фиксированных значениях Поэтому движение системы (4.6) происходит в пространстве на поверхности постоянной энергии (4.8). Теперь, как и в предыдущей задаче, осталось выяснить, имеется ли другой, независимый по отношению к первый интеграл движения.

Все эти несколько удлиненные рассуждения необходимы по той причине, что переменные не являются каноническими. Тем не менее канонические уравнения движения можно записать. Существуют разные способы, позволяющие это сделать. Мы приведем самый прямой и удобный для нас путь, хотя существуют и более элегантные и универсальные способы (см., например, [19]). Из определений моментов

следуют коммутационные соотношения

где скобки - скобки Пуассона, а индексы образуются из (х, циклическими перестановками. Соотношения (4.9) позволяют записать следующие канонические уравнения движения:

где скобки обозначают векторное произведение и взято в форме (4.6).

Из (4.10), в частности, видно, что свойства (4.7) имеют место. Рассмотрим пример [21]:

Он имеет следующую физическую интерпретацию. Если существует выделенное направление действия момента сил на ротатор, например ось то энергия ротатора равна или В классической механике можно положить константы равными единице. Поэтому величина

есть гамильтониан невзаимодействующих ротаторов. С помощью уравнений легко находим, что Вообще, в случае

имеем согласно (4.10)

и, следовательно, существуют еще два интеграла движения: Из трех интегралов и — два независимых (в силу соотношения (4.12)). Поэтому модель (4.12) относится к числу интегрируемых.

Точно так же оказывается интегрируемым и случай взаимодействия гейзенберговского типа:

Дополнительным к интегралом движения является, например, величина

Таким образом, при квадратичном гамильтониане взаимодействия выражение (4.11) не имеет очевидных инвариантов движения, кроме Поэтому в этой системе можно ожидать разрушения интеграла движения и появления хаотической динамики.

Рис. 5.18. Плоскость отображения Пуанкаре для двух связанных ротаторов: а)

Так оно в действительности и происходит, как это было показано в работе [21]. На рис. 5.18, взятом из этой работы, видны инвариантные кривые, являющиеся сечениями инвариантных торов. Отдельные точки соответствуют одной стохастической траектории. Область, которую они заполняют, является областью разрушенного второго интеграла движения.

Этот пример во многом подобен предыдущей модели связанных осцилляторов. В дальнейшем мы ознакомимся еще с одной моделью, описывающей взаимодействие атома с полем излучения. Она может быть приведена к модели взаимодействующих ротатора и осциллятора. В ней также происходит разрушение второго интеграла движения [22]. Это возвращает нас к утверждению, сделанному выше, о том, что существование областей параметров и «фазового пространства с разрушенными интегралами движения является типичной физической ситуацией, которая хорошо иллюстрируется приведенными примерами (ком. 10).