§ 1. Эргодичность и перемешивание

Мы должны определенным образом подготовиться к тому, что решением уравнений движения окажется случайная траектория, т. е. такая траектория, которую можно считать реализацией некоторого случайного процесса. Эта подготовка связана с введением некоторых основных понятий эргодической теории.

Мера в фазовом пространстве. В основе ее лежит иной, чем это было до сих пор, анализ движения частиц. Поскольку траектории частиц становятся необычайно сложными и запутанными, бессмысленно следить за каждой траекторией в отдельности. Вместо этого следует рассматривать сразу

совокупность траекторий (или частиц), которые в любой момент времени занимают конечный объем фазового пространства Распределение частиц в нем характеризуется некоторой плотностью которая удовлетворяет естественному условию нормировки

где интегрирование ведется по всему фазовому пространству допустимого движения.

Если рассматривать не распределение частиц, а только одну частицу и соответствующую ей траекторию, то, как уже отмечалось в гл. 1, ее функция распределения имеет сингулярный вид:

Главное отличие вводимой функции от функции (1.2) в несингулярности первой. Число частиц в области равно

Эта величина называется мерой области Если область очень мала, то распределение можно считать близким к константе и

Любое конечное число частиц занимает нулевой фазовый объем, и поэтому этим частицам соответствует нулевая мера. Таким способом устраняются из рассмотрения сразу сингулярные распределения типа (1.2) и любое конечное число частиц или соответствующих им траекторий. Поэтому все рассуждения обычно проводятся с точностью до некоторого множества нулевой меры частиц или траекторий или точек в фазовом пространстве. Сделанная оговорка является типичной для современной эргодической теории (ком. 1).

Дадим пример построения меры для замкнутой гамильтоновской системы. В этом случае энергия системы

является инвариантом движения. Пусть этот инвариант является единственным, т. е. все остальные интегралы движения отсутствуют. Тогда движение происходит по гиперповерхности (1.5).

Рассмотрим в фазовом пространстве слой толщиной между двумя гиперповерхностями, соответствующими энергиям На одной из них зададим элемент поверхности бег и рассмотрим цилиндр с объемом

где -длина высоты цилиндра, заключенного между поверхностями Можно записать, что

где градиент вычисляется по нормали к гиперповерхности (1.5), т. е.

Отсюда плотность частиц на единичный интервал энергии равна

Из формулы (1.6) сразу "следуют выражения для числа частиц в конечном элементе Да гиперповерхности с энергией Е:

и на всей гиперповерхности:

Относительная доля частиц в элементе Да равна

Можно сказать, отказавшись от точных формулировок, что если область Да достаточно мала по сравнению со всей гиперповерхностью постоянной энергии то есть вероятность обнаружить блуждающей по всей гиперповерхности частицу в области . Иначе, среднее относительное время пребывания частицы в Да равно

где - полное время пребывания частицы в области , если на всей гиперповерхности частица находилась в течение времени Формулы (1.9) и (1.10) принадлежат Больцману.

Формула (1.10) была доказана фон Нейманом в 1931 г. при условии, что динамическая система совершает финитное движение, не разложимое на отдельные метрические компоненты. Последнее означает, что нельзя указать непересекающиеся области в фазовом пространстве такие, что область есть вся область финитного движения и траектория частицы лежит целиком в А или в В.

Все динамические системы (с точностью до множества нулевой меры) удовлетворяют этой теореме, называемой средней эргодической теоремой.

Эргодичность. Несколько иное определение эргодичности движения позволяет выяснить отношение этого понятия к динамическим системам. Пусть -мерный вектор

определяет точку в фазовом пространстве характеризующую состояние системы в момент времени Эволюция системы задается оператором сдвига во времени

в непрерывном случае и уравнением

в случае дискретных динамических уравнений (например, отображений Пуанкаре).

Движение называется эргодическим, если справедливо равенство временных и фазовых средних, т. е. если

где обозначено среднее по фазовому пространству

Отметим, что предел в формуле (1.11) не зависит от положения интервала т. е. от выбора начальной точки интервала усреднения. В дискретном случае условие (1.11) имеет следующий вид:

Основная идея равенств (1.11) или (1.12) в том, что траектория достаточно полно заполняет поверхность постоянной энергии и поэтому достаточно «безразлична» к информации о способе заполнения фазового пространства. Важно лишь, что это заполнение происходит. Простой иллюстрацией действия соотношений (1.11) и (1.12) является движение на двумерном торе системы с двумя степенями свободы — например, двумя связанными осцилляторами. В общем случае частоты движения несоизмеримы. Поэтому траектория является обмоткой тора и покрывает его всюду плотно. В этом случае имеет место теорема (1.11) о равенстве средних величин по времени и по фазовому пространству. Если, однако, частоты соизмеримы, то в этом резонансном случае эргодическая теорема неприменима. Однако множество рациональных чисел имеет нулевую меру и как раз попадает в число нетипичных случаев, с точностью до которых доказываются равенства (1.11) и (1.12).

Рис. 4.1. Расплывание капли в фазовом пространстве при перемешивании

Перемешивание. Свойство эргодичности является довольно грубой характеристикой динамической системы. Поэтому нет ничего удивительного в том, что им обладают почти все системы, совершающие финитное движение. В частности, для эргодичности безразлично, является траектория системы случайной или периодической. Более тонкой характеристикой является перемешивание в фазовом пространстве. Формальное выражение этого свойства следующее.

Пусть две произвольные интегрируемые функции. Корреляционной функцией, или коррелятором, называется величина

или в дискретном случае

Если имеет место эргодичность, то средние не зависят от времени.

Перемешиванием называется расцепление парных средних при т. е. затухание корреляторов:

Закон убывания корреляторов зависит от выбора функций и от того, является время непрерывным или дискретным. В последнем случае характер затухания корреляторов может зависеть от вида последовательности моментов времени отображения. В дальнейшем мы будем иметь дело в основном с сильным экспоненциальным затуханием корреляций

Движение капли «фазовой жидкости» при перемешивании имеет весьма сложный вид (рис. 4.1). Граница капли быстро принимает необычайно сложную форму. Стечением времени капля заполняет различные области фазового пространства. Объем капли при этом сохраняется по теореме Лиувилля»

и заполнение фазового объема происходит за счет вытягивания и утоньшения отростков капли.

Из условия перемешивания автоматически вытекает условие эргодичности. Различие между эргодическим и перемешивающим движениями можно понять из рис. 4.2. В эргодическом случае без перемешивания траектория последовательно «заметает» фазовое пространство. При перемешивании фазовое пространство тоже заполняется, но иным способом.

Рис. 4.2. Различие между эргодическим (а) и перемешивающим (б) движениями

Сначала за некоторое время система достаточно равномерно покроет сеткой траекторий все фазовое пространство. Через время это явление примерно повторится таким образом, что размеры ячеек сетки окажутся приблизительно в два раза меньше.

Спектр. Еще одно формальное свойство динамических систем отражает различие между эргодическим и перемешивающим движением. Оно выражается в различии спектральных свойств системы.

Введем спектральную плотность коррелятора :

При эргодическом движении без перемешивания спектр -дискретный, т. е.

Это соответствует утверждению об условно-периодическом движении системы с набором частот Множество частот может быть бесконечным.

При движении с перемешиванием спектр частот непрерывный.