Глава 2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ

Проведение точного анализа нелинейной динамической системы представляет собой настолько редкое событие, что реальная ситуация вынуждает нас научиться проводить приближенные исследования и овладеть некоторой степенью технических знаний, позволяющих проявлять интуитивные соображения в том или ином конкретном физическом случае. Выделить какие-либо классы физических задач не столь просто, и это наверняка отражает степень нашего понимания нелинейных задач физики.

Типичная физическая постановка задачи заключается в том, что какая-то ее часть известна достаточно полно. Пусть, например, эта часть задачи описывается гамильтонианом

Исследуемая задача связана с возмущением гамильтониана

где — безразмерный параметр возмущения, -вид потенциала возмущения. В выражении для есть два важных момента. Первый — в том, что невозмущенная часть гамильтониана зависит только от действий и, следовательно, соответствует интегрируемому случаю. Второй — в том, что возмущение V зависит от углов Почему это так? Если бы т. е. У не зависело бы от то задача оказалась бы тривиальной. Гамильтониан так же как и имел бы циклические переменные и поэтому

Эти равенства означают, что инвариантные торы сохраняются, а изменяются лишь частоты движения на торе, которые вычисляются элементарно:

Этот случай назовем тривиальным и далее обсуждать не будем. Таким образом, всюду в дальнейшем возмущение V зависит от

Основная часть физических задач, допускающих аналитическое исследование, связана с тем, что какие-то безразмерные параметры являются либо малыми, либо большими. Методов такого типа достаточно много, и в этой главе мы остановимся на некоторых из них, которые встречаются довольно часто.