§ 6. Примеры стохастических аттракторов

Обратимся к системам такого типа, который определен уравнением движения (5.11). Это означает, что если, например, у есть коэффициент диссипации, то при система является гамильтоновской. Это типичная физическая ситуация, где 7 можно интерпретировать как

коэффициент трения. В этом параграфе мы рассмотрим две естественные физические модели, которые являются обобщением на диссипативный случай уже известных нам задач.

Стандартное диссипативное отображение. Первая задача связана с гамильтонианом (1.18), порождающим стандартное отображение (1.16). Запишем в виде

где - некоторая функция времени, которую мы конкретизируем позже. Уравнения движения следуют из (6.1):

Диссипативную часть динамики введем следующим образом. Будем считать, что в отсутствие возмущения система имеет устойчивый предельный цикл при Тогда уравнения движения будут иметь вид

где

Совмещение этих уравнений с (6.2) дает

Это и есть исходная модель, которую мы рассмотрим в двух предельных случаях.

Сначала, как и ранее, проведем упрощения уравнений (6.3), не влекущие за собой потерю ее главных физических свойств. Положим, что периодическая функция с периодом Т:

Пусть также

где есть, как и прежде, безразмерная величина возмущения. Далее мы будем считать всегда так что выбранный способ определения не «опасен». Введем также новые переменные:

Система (6.3) теперь упрощается:

и описывает нелинейный осциллятор с затуханием под действием параметрической внешней силы.

Дальнейший процесс изучения задачи (6.5) связан с выбором силы Мы рассмотрим два предельных случая — большого и малого числа

гармоник в Начнем в этом пункте с первого случая. Пусть 00

Между двумя последовательными толчками система совершает свободное движение с диссипацией:

Отсюда

Если, например,

то

Переход через малую окрестность толчка получается интегрированием системы (6.5) в малой окрестности, включающей одну из -функций. Это дает для изменений

Совмещение формул приводит окончательно к отображению с интервалом

где

При и отображение (6.12) переходит в стандартное отобра жение. Мы будем называть его стандартным диссипативным отображением" Его можно с помощью небольших переобозначений переписать также в виде.

исключив постоянный поворот.

Якобиан отображения (6.12) или (6.14) равен

Он меньше единицы при и отражает влияние диссипации.

Физический аналог отображения (6.14) легко находится из уравнений (6.5) с учетом формулы (6.9) для частоты. Нетрудно видеть, что если для простоты исключить постоянное значение в (6.9), то мы приходим от (6.5) просто к уравнению

описывающему параметрически возбуждаемый маятник с трением (ком. 13)

Условие появления стохастичности. При отображение (6.14) переходит в стандартное для гамильтоновских систем, и условие стохастичности для него имеет вид Здесь можно поступить так же, учитывая, однако, что вместо Ко стоит Действительно, из (6.14) следует

Поэтому условие локальной неустойчивости можно записать в виде

Из (6.17) следует также существование островков устойчивости вблизи

Если то условие (6.18) переходит в следующее:

Пример стохастического аттрактора для уравнения (6.12) приведен на рис. 5.19, а развитие локальной неустойчивости на рис. 5.20.

Рис. 5.19. Стохастический аттрактор при

Величина определялась следующим образом:

где и относятся к двум траекториям с различными начальными условиями.

Рис. 5.20. Развитие локальной неустойчивости при тех же данных, что и на рис. 5.19 Корреляционная функция, вычисляемая по формуле

приведена на рис. 5.21.

Итак, все основные характеристики К-систем подтверждаются для диссипативного отображения (6.12) или (6.14), если выполнено некоторое условие (6.20).

Структура стохастического аттрактора. Имеется, однако, существенное различие картин хаоса на фазовой плоскости при и при

Рис. 5.21. Корреляционная функция при тех же данных, что и на рис. 5.19

На рис. 5.19 видна некоторая регулярная структура, которую можно оценить из следующих соображений.

Положим, для простоты, 1. Из первого уравнения (6.12) следует

Исключаем отсюда подставляем его значение во второе уравнение (6.12) и пренебрегаем в нем малыми членами Это дает

где индекс при х и у опущен.

Уравнение (6.21) определяет семейство прямых

где от коэффициента

зависит число отрезков прямых на графике рис. 5.19. Именно, целая часть х определяет это число.

Рис. 5.22. «Умирающий» стохастический аттрактор

Область изменения у легко определить следующим образом (это точки на рис. 5.19). С точностью до имеем, используя значения особых точек (6.19):

Отсюда, в частности, находим ширину стохастического аттрактора:

Простота формулы (6.21) в действительности является обманчивой. Учет отброшенных членов показывает, что каждый отрезок прямой расщепляется на семейство подобных отрезков. В результате весь график стохастического аттрактора образует множество канторового типа, по которому происходят стохастические блуждания точки траектории системы.

Увеличение диссипации у приводит к уменьшению числа отрезков в структуре аттрактора. Каждое такое изменение сопровождается некоторого типа бифуркацией, описание которой выходит за пределы наших целей (см. [36]). В результате при достаточно большом значении у стохастический аттрактор умирает (рис. 5.22).

Рис. 5.23. Стохастический аттрактор при перекрытии резонансов

Рис. 5.24. Квазиаттрактор и субструктуры

Стохастический аттрактор при перекрытии резонансов. Вернемся снова к уравнению (6.16) или к исходной системе (6.3). До сих пор мы рассматривали случай возмущения который содержит бесконечное число гармоник с равными амплитудами. Теперь остановимся на обратном предельном случае, когда

Вместо (6.16) запишем уравнение

которое при переходит в уравнение (2.15) или (2.16). Теперь это маятник с диссипацией в котором возможно перекрытие резонансов при (см. рис. 5.12). Если при том же значении К положить то возникает стохастический аттрактор, приведенный на рис. 5.23. Здесь — та же канторова волокнистая структура аттрактора, и отличие лишь в форме кривых, образующих эту структуру. Точки на графике соответствуют одной траектории и наносятся с интервалом

Уменьшение коэффициента диссипации приводит к появлению квазиаттрактора (рис. 5.24). В течение длительного времени из-за перекрытия резонансов динамика системы похожа на случайную. Однако в дальнейшем траектория притягивается к фокусу в центре. На этом пути возникают субструктуры, связанные с длительным пребыванием траектории в окрестности квазирезонансов.

Особенно отчетливо существование субструктур видно из фурье-спектра (рис. 5.25) траектории, приведенной на рис. 5.24. Положения максимумов

Рис. 5.25. Спектр квази аттрактор а, приведенного на рис. 5.24

Рис. 5.23. Стохастический аттрактор при перекрытии резонансов

Рис. 5.24. Квазиаттрактор и субструктуры (G = 0,00232, К = 2я2-0,147)соответствуют частотам: (главный максимум, обусловленный притяжением к фокусу), где Лео (все числовые данные этого пункта взяты из [35]).