§ 2. Спиновые цепочки

Гамильтониан (1.3) описывает достаточно типичные упругие цепочки. Другим широко распространенным классом систем являются цепочки взаимодействующих спинов. Их гамильтониан может быть в простейшем случае представлен в форме

где первый член описывает взаимодействие соседних спинов - потенциал внешнего поля, в котором находятся спины (оно называется также полем анизотропии); константы взаимодействия.

Рис. 16.3. Примеры различных конфигураций спиновых цепочек: а — ферромагнитный порядок, антиферромагнитный порядок

Условия равновесия. В отличие от упругих цепочек, в спиновых цепочках расстояние между спинами фиксировано. Взаимодействие приводит к изменению взаимной ориентации спинов. Будем считать, что

где угол, образованный направлением спина с фиксированной осью, ортогональной к цепочке, а z-орт этой оси. Если, например, то равновесными являются ферромагнитная или антиферромагнитная конфигурации расположения спинов (рис. 16.3). Добавление поля анизотропии может сделать более выгодными конфигурации иного типа. Примем для типичное выражение

где у — некоторый угол, фиксирующий положение оси анизотропии относительно цепочки.

Используя выражения (2.2) и (2.3), перепишем гамильтониан (2.1) в виде

где безразмерный параметр внешнего поля. Условия равновесия спинов цепочки должны иметь тот же вид, что и в упругой цепочке:

Обозначим

Тогда система уравнений равновесия (2.5) может быть записана в виде следующего отображения:

где

и индекс определяет выбор одной из возможных ветвей отображения (2.7). Из (2.7) следует, что отображение (2.7) сохраняет меру при любом

Рис. 16.4. Фазовый портрет при антиферромагнитном взаимодействии соседних спинов Заштрихованы запрещенные области, куда траектория не попадает; жирные точки — неподвижные гиперболические точки

Эквивалентная динамическая система. Рассмотрим (2.7) для каждой из ветвей в отдельности. Составим, как и в предыдущем разделе, гамильтониан эквивалентной динамической системы:

в которой безразмерная переменная х вдоль цепочки играет роль времени. Гамильтониан приводит к следующим уравнениям движения:

Интегрированием в окрестности -функции можно получить из уравнений (2.10) формулы для отображения, которые совпадают с (2.7).

Система (2.10) описывает нелинейный маятник с частотой возмущаемый толчками с периодом единица. Свойства устойчивости решений системы определяются характеристическими множителями 2 для отображения (2.7). Они удовлетворяют уравнению

где

Таким образом, динамика системы (2.10) определяется параметром К, и при достаточно больших К:

возникает хаос.

Хаотические структуры и ближний порядок в них. На рис. 16.4 приведен фазовый портрет системы (2.7) (ком. 3). На нем изображены точки нескольких траекторий, из которых одна является стохастической. Жирными

Рис. 16.5. Хаотическая структура антиферромагнитной цепочки : -проекции спинов на ось анизотропии, -фурье-спектр угла

Рис. 16.3. Примеры различных конфигураций спиновых цепочек: а — ферромагнитный порядок, б — антиферромагнитный порядокточками помечены гиперболические точки траектории, соответствующие минимуму свободной энергии Структура основного состояния—антиферромагнитная. Стохастическая траектория имеет наиболее близкое к значение Это связано с тем, что она проводит наибольшее «время» по сравнению с другими (периодическими) траекториями вблизи гиперболических точек.

Далее для исследования хаотических структур спиновой цепочки удобно ввести величину

определяющую проекцию спина на ось анизотропии. Для стохастической структуры зависимость от приведена на рис. 16.5а. Спектральные свойства этой структуры можно описывать фурье-образом фазы:

Величины для той же стохастической траектории приведены на рис. 16.56. Максимум вблизи значения указывает на образование антиферромагнитного ближнего порядка внутри аморфной (хаотической)

структуры. Действительно, значению соответствует период 2, как и должно быть в антиферромагнитной структуре (см. рис. 16.3).

Возникновение аморфной структуры при достаточно больших значениях происходит и в случае взаимодействия спинов ферромагнитного типа . Соответствующие данные численного анализа приведены на рис. 16.6. Из рис. 16.66 видно, что аморфная структура представляет собой неупорядоченную последовательность солитонов типа блоховских доменных стенок. системы (рис. 16.6 б) имеет максимум вблизи периода 8. Это соответствует структурам, в которых направление спина вдоль оси анизотропии является выделенным.

Таким образом, несмотря на существование аморфной структуры, в цепочке сохраняется ближний порядок при не очень больших надкритичностях параметра

Рис. 16.6. Хаотическая структура ферромагнитной цепочки : а — точки траектории на фазовой плоскости, проекции спинов на ось анизотропии, в — фурье-спектр угла

Он показывает, что существуют определенного типа структуры, которые находятся из соотношения между конкурирующими полями.

Мы уже обращали внимание на то, что равновесной структуре цепочки спинов (т. е. минимуму соответствуют гиперболические точки отображения (2.7) (см. рис. 16.4). Они являются неустойчивыми точками отображения. Парадоксальность того обстоятельства, что энергетически устойчивому состоянию цепочки соответствует неустойчивая неподвижная точка отображения эквивалентной динамической системы, нуждается в более подробном обсуждении.

Пусть сначала константы взаимодействия таковы, что стохастические траектории либо отсутствуют, либо могут появиться лишь в экспоненциально малых областях фазового пространства отображения. Поставим вопрос о влиянии малого постоянного возмущения на состояние системы, которому соответствуют координаты гиперболической точки. Под влиянием изменения параметров траектория отображения отойдет от гиперболической точки. Возмущенная траектория для нелинейного осциллятора (2.9) отойдет от гиперболической точки и будет периодически приближаться и отдаляться

от положения равновесия. Поскольку возмущение мало, то период траекторий будет очень велик. Поэтому возмущенной траектории соответствует очень малое отклонение энергии от ее равновесного значения в гиперболической точке и очень большой период модуляции структуры. В этом смысле можно сказать, что малым возмущениям системы относительно положения равновесия структуры соответствуют малые возмущения структуры.

Положение полностью изменяется, если значения параметров таковы, что возникает заметная область фазового пространства, в которой траектории отображения являются стохастическими. Прежде всего разрушению подвергается окрестность гиперболической точки. Даже очень малые возмущения траектории вблизи гиперболической точки приводят к попаданию на стохастическую траекторию с вероятностью, близкой к единице. Поэтому основное состояние цепочки становится реально неустойчивым. Более того, энергия хаотической структуры, соответствующей стохастической траектории отображения, отличается от энергии основного состояния на конечную величину Эта величина не зависит от возмущения, так как сумма большого числа случайных слагаемых в самоусредняется. Существуют, однако, два масштаба длины в процессе самоусреднения Малый масштаб на котором хаотизируется фаза отображения и больший масштаб на котором происходит установление равновесного распределения взаимных ориентаций соседних спинов. Масштаб равен длине диффузии переменной играющей в данном случае роль действия для системы.