§ 1. Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова

Одним из простейших кинетических уравнений является уравнение диффузионного типа, называемое уравнением Фоккера — Планка — Колмогорова (ФПК) [4, 5]. Приведем некоторые краткие сведения о нем.

Структура уравнения. Пусть есть совокупность некоторых переменных, для которых удается записать уравнение ФПК. Пусть также есть функция распределения от переменных и число таких переменных. Тогда уравнение ФПК имеет вид

Его структура определяется, во-первых, тем, что оно второго порядка относительно производных по переменным (1а), и, во-вторых, видом коэффициентов Последние можно определить следующим образом. Пусть есть изменение переменной за некоторый характерный малый временной интервал Тогда

где операция означает некоторое усреднение, которое мы определим ниже.

Строгий вывод уравнения (1.1) вместе с выражениями (1.2) был дан Колмогоровым [6]. Для того чтобы применить его к той или иной физической задаче, следует вложить конкретный физический смысл в выбор переменных (1а), функции распределения и коэффициентов Мы приведем соответствующие результаты для К-систем.

Временные масштабы. Прежде всего следует отдавать себе отчет в том, что кинетическое описание является не только способом описания динамики системы, но и способом упрощения этого описания. В основе упрощения лежат, как всегда, малость и медленность изменений некоторых величин. В связи с этим представим себе, как выглядят различные характерные времена в какой-либо типичной К-системе.

Обратимся снова к уравнениям движения нелинейного осциллятора

где потенциал возмущения. В § 1 гл. 5 мы показали, что при определенных условиях уравнения движения (1.3) могут быть приведены к некоторому отображению которое представляет динамику системы в конечно-разностной форме:

Пусть есть характерный интервал времени действия отображения (1.4) Это значит, что уравнение (1.4) можно рассматривать как некоторую цепь марковского типа с временем одного шага.

Если в системе (1.3) происходит перемешивание, то фаза является быстро меняющейся переменной. Быстро устанавливается некоторое равновесное распределение по фазам, которое позволяет вычислять все средние значения и корреляторы. Характерным временем этих процессов является время перемешивания или время расцепления фазовых корреляций

Поскольку малый параметр возмущения, то изменение действия в (1.3) за один шаг отображения является малой величиной. Изменение

величины таким образом, является достаточно медленным процессом и происходит в результате накопления большого числа малых изменений:

Обозначим через характерное время изменения действия Это же время определяет изменение функции распределения

В типичных К-системах (например, тех, что рассматривались в гл. 5) имеет место следующее соотношение между временами:

Оно позволяет выбрать шаг отображения в качестве естественного интервала усреднения в определениях (1.2). В силу первого неравенства в (1.6) и эргодичности движения можно усреднение по времени заменить усреднением по фазе Это позволяет ввести оператор усреднения

где есть начальная фаза на траектории

Вывод кинетического уравнения. Система неравенств (1.6) оказывается достаточной для того, чтобы получить конкретную форму уравнения ФПК (1.1). Остановимся на какой-либо определенной модели системы с перемешиванием, на которой можно было бы проследить за всеми существенными этапами вывода. Выберем в качестве такой модели отображение (5.1.15),

в котором потенциал не зависит явно от действия.

Поступим сначала наиболее простым образом. Вычислим коэффициенты и 33 согласно формулам (1.2) и (1.7). Из (1.5) и (1.8) имеем

Разложение функции в ряд Фурье по фазе не содержит постоянного члена (хотя бы из-за наличия производной по Распределение по фазам в первом приближении можно считать равномерным, и это свойство равным образом относится к распределению фаз на любом шаге отображения Это утверждение означает пренебрежение корреляциями фаз на разных шагах отображения, т. е. предел

Отсюда

где -некоторая константа, получающаяся при усреднении по углам. В частном случае стандартного отображения и

Подстановка формул (1.11) в (1.1) приводит к уравнению

описывающему диффузию в пространстве переменной действия с коэффициентом диффузии

Умножим уравнение (1.13) на и проинтегрируем полученное выражение по

Это обычное выражение. Ему можно придать определенный физический смысл.

Пусть, например, системой является частица в прямоугольной яме, на которую действуют периодические -импульсы. Ее гамильтониан имеет вид

где

и - ширина потенциальной ямы, —импульс частицы с массой, равной единице. Кроме того,

Гамильтониан (1.16) приводит к стандартному отображению. Поэтому согласно (1.15) и (1.12) имеем

Это означает, что энергия частицы растет линейно со временем и происходит своеобразный ее «нагрев». Мы остановимся на нем подробнее ниже, а сейчас обсудим некоторые принципиальные вопросы вывода уравнения ФПК для К-систем.

Дивергентная форма кинетического уравнения. Выражение (1.1) является слишком общей формой уравнения ФПК. В значительном числе случаев его можно преобразовать к так называемой дивергентной форме:

где величина называется коэффициентом диффузии. Новое название связано с возможностью в случае (1.18) ввести ток плотности вероятности

и представить кинетическое уравнение (1.18) в виде

Сопоставляем выражения (1.18) и (1.1) и убеждаемся, что форма (1.18) существует, если выполняются соотношения

Последнее из них, согласно определениям (1.2), означает, что

Равенство (1.22) является следствием принципа детального равновесия [5], и у нас еще будет возможность убедиться в этом на ряде конкретных

физических примеров. В частном случае отображения (1.8) соотношение (1.22) выполняется автоматически в силу (1.11), так как коэффициент диффузии является константой.

Приведем элементарный вывод соотношения (1.22), принадлежащий Ландау [10]. Для простоты рассмотрим систему из одной степени свободы

и вычислим изменение

с точностью до квадратичных по членов. Имеем

На этом, собственно, все и кончается, так как нас интересует не величина а средние значения по фазам с точностью до Все производные по при усреднении исчезают. Поэтому с точностью до имеем

откуда и следует соотношение (1.22) в одномерном случае.

Из приведенного вывода следует важное замечание, которое показывает роль равномерного распределения по фазам Именно благодаря этому обстоятельству пропадают при усреднении члены с производными по . В реальных К-системах, как уже отмечалось в гл. 5, это всегда не так. Равномерность распределения по фазам является некоторым приближением, которое тем лучше, чем больше параметр стохастичности К. Это обстоятельство всегда следует иметь в виду, когда мы используем уравнение ФПК для кинетического описания.

Еще одно важное замечание, следующее непосредственно из приведенного вывода. Для получения дивергентной формы уравнения ФПК (если это принципиально возможно) необходимо выбирать канонически сопряженную пару переменных одна из которых играет роль фазы.

Влияние границы стохастичности. Обратимся снова к стандартному отображению, вытекающему из (1.8) при

Вводим безразмерную переменную

Тогда (1.8) переходит в стандартное отображение:

где параметр

определяет границу стохастичности

Аналогом формулы (1.17) является выражение

Теперь мы можем поставить следующий вопрос: в чем отличие диффузионного процесса для К-системы от обычного диффузионного процесса, обусловленного случайной силой? Этот вопрос в действительности достаточно сложен, и трудности ответа связаны с тем, что процесс стохастической динамики К-систем недостаточно хорошо изучен. Тем не менее можно указать некоторые явные отличия.

Наиболее характерной чертой процесса, порождаемого отображение (1.23), является существование границы стохастичности (1.25). Второе отличие, которое также легко отметить, - это существование конечного времени расцепления корреляций фаз при Таким образом, обе отмеченные стороны перемешивания К-систем связаны с некоторыми граничными эффектами при конечных значениях

Учет влияния границы стохастичности на диффузию был проведен в работе [7]. Пусть время принимает только дискретные значения — Тогда, как показано в [7], вместо выражения (1.26) имеет место формула

где -функции Бесселя и -ступенчатая функция:

При больших временах т. е. при 1, формула (1.27) переходит в следующую:

Этот результат был получен в [8]. Из выражения для коэффициента диффузии

следует, что он осциллирует с изменением параметра

При формула (1.29) переходит в обычное выражение

которое соответствует формулам (1.26) или (1.14) для отображения (1.8).

В тех случаях, когда нас интересуют поправки по можно воспользоваться асимптотикой функции Бесселя и написать вместо (1.29)

Корреляционные эффекты. При получении коэффициента диффузии

мы действовали достаточно грубо, используя формулу (1.12) и не обращая внимания на момент времени, в который происходит усреднение. В действительности корреляции фаз расцепляются за конечное время, и эффекты, связанные с этим процессом, можно учесть следующим простым способом. Положим

и воспользуемся тождественным представлением

Преобразуем двойное интегрирование,

и используем уравнения движения (1.3):

В случае, который приводит к отображению (1.8), уравнения движения (1.3) имеют вид

Перепишем уравнение движения для I, разлагая его правую часть в ряд Фурье по и по

В частном случае, когда возникает стандартное отображение,

Отсюда

Здесь сразу следует заметить, что в правой части стоят члены, для которых могут выполняться резонансные условия

и нерезонансные члены. Мы, естественно, должны оставить первые из них, так как именно они дают максимальный вклад в изменение

Полученное выражение позволяет записать квадратичное изменение действия в сравнительно простой форме:

где многоточие означает все остальные члены, в том числе и те, которые содержат двойные суммы.

Произведем интегрирование в формуле (1.32). В результате получится некоторое количество различных членов. Многие из них окажутся лишними. Это связано с тем, что мы будем интересоваться достаточно большими временами Поэтому мы должны отобрать лишь те члены в формуле (1.32), которые являются старшими при То, что такая возможность существует, легко понять из следующих элементарных соображений. В написанном слагаемом в (1.32) аргумент может обратиться в нуль. Это приведет

при интегрировании к появлению в нем множителя . В других слагаемых, обозначенных многоточием, такая возможность отсутствует, так как область определения Следовательно, эти слагаемые будут сильно осциллирующими, и их следует отбросить.

Имея сказанное в виду, рассмотрим выражение

где введен уже встречавшийся нам коррелятор

(см. формулу (5.1.41) при и использовано обозначение

С помощью результата (5.1.45) имеем

где время расцепления корреляций те равно, согласно (5.1.46):

Нам осталось вернуться к исходной формуле (1.33), используя выражение (1.35), и провести элементарное интегрирование. Отбирая старший по член, находим

где введена функция

Эта функция будет нам часто встречаться. Она представляет собой «размытую» из-за конечного времени расцепления корреляций -функцию:

Рассмотрим выражение (1.37) в виде

и заметим, что имеет место неравенство которое тем лучше выполняется, чем больше параметр К. Это означает, что достаточно в (1.40) положить Тогда определение (1.31) сразу дает коэффициент диффузии

который учитывает конечное время расцепления корреляции фаз

Уравнение диффузии с учетом выражения (1.41) принимает вид

Диффузионное уравнение видоизменилось. Это связано с тем, что частота зависит от и поэтому -функция попадает под знак дифференцирования.

Рассмотрим предел Согласно (1.39) уравнение (1.42) переходит в следующее:

В кинетических уравнениях (1.42) и (1.43) происходит суммирование по всем резонансам. В случае (1.43) его легко выполнить, заметив, что

Отсюда

что в точности совпадает с выражениями (1.13) и (1.14).

Таким образом, переход (1.39) соответствует случаю нескоррелированных фаз. При следует иметь в виду, что неравенство

должно при этом выполняться. Из (1.13) следует, что

Поэтому условие (1.44) означает:

Формула (1.46) показывает, как должен совершаться пргдельный переход к нескоррелированньм фазам. Возмущение должно стремиться к нулю, а параметр бесконечности таким образом, чтобы предел (1.46) имел место.