§ 5. Солитонная турбулентность

Последние замечания этой главы связаны с обсуждением возможности существования турбулентности, которую будем называть солитонной. Ее также следует отнести к категории сильной турбулентности, так как в ее основе лежит взаимодействие сильно нелинейных волн.

В главе 9 мы видели, что даже в неодномерной волновой картине существует малый параметр взаимодействия сильно нелинейных стационарных волн. Его качественное объяснение приведено на рис. 9.9. В этой же главе рассмотрено нетривиальное резонансное взаимодействие трех волн, волновые векторы которых не коллинеарны. Нетривиальность взаимодействия волн заключается в том, что в процессе взаимодействия изменяется их энергия. Иными словами, процесс взаимодействия волн аналогичен процессу столкновения частиц. Поэтому можно ожидать, что в случае большого числа волн можно ввести понятие газа нелинейных волн и рассмотреть в них условия появления хаоса и кинетику релаксации к равновесному распределению. Остановимся на этом вопросе подробнее.

Рис. 11.21. Малое перекрытие солитонов приводит к их слабому взаимодействию

Для этого обратимся сначала к уравнению Кортевега — де Вриза. Солитоны в нем не взаимодействуют. Точно так же отсутствует взаимодействие и нелинейных стационарных волн [34]. При рассеянии двух одномерных солитонов друг на друге, т. е. при прохождении их друг через друга не происходит изменение их энергии. Состояния солитонов после того, как они разойдутся достаточно далеко, восстановятся и станут теми же, что были до рассеяния. Единственным результатом столкновения солитонов является изменение их фаз обусловленной задержкой во времени при столкновении [35]. Эти же свойства столкновений сохраняются и в случае, когда в область взаимодействия попадают не два, а произвольное число солитонов. Естественно, что в этом случае обычную теорию релаксации построить не удается. Все это является следствием интегрируемости КдВ-уравнения. Заметим, что малый параметр взаимодействия солитонов также обусловлен малой областью их перекрытия. Это может произойти, если скорости, а следовательно, и амплитуды солитонов, сильно отличаются друг от друга, как на рис. 11.21 (ком. 7).

Однако ситуация, описываемая КдВ-уравнением, является специальным случаем. Достаточно хотя бы вспомнить те некоторые исходные физические модели, в которых возникает КдВ-уравнение: ионно-звуковые и магнито-звуковые колебания, волны на поверхности мелкой воды и др. Все эти задачи содержат возможность опрокидывания волн, в то время как КдВ-уравнение получается как приближение вдали от границы опрокидывания. Это означает, что реальные задачи не могут быть точно проинтегрированы и, следовательно, всегда есть реальное взаимодействие любых волн. Взаимодействуют также стационарные волны, близкие к далеко раздвинутым, почти свободным солитонам.

Взаимодействие реальных солитоноподобных волн является нетривиальным и сопровождается обменом энергии. Это означает, что при слабом взаимодействии нелинейных волн их можно рассматривать как ансамбль, в

котором при выполнении некоторых неравенств должно возникать турбулентное движение. Пусть есть действие для волны с номером которое уже вводилось в гл. 9. Тогда в результате хаотизации фаз волн возникает статистический ансамбль волн, описываемый функцией распределения

где М - число волн. Подобно тому как слабая турбулентность описывалась уравнением типа Фоккера — Планка-Колмогорова для -частичной функции здесь можно получить аналогичное описание.

Соответствующее уравнение несколько громоздко и имеет для кубической нелинейности вид

где принято следующее обозначение:

а -амплитуда с номером для волны. Индекс изменяется от 1 до Индекс изменяется от до Однако мы знаем, что при некотором амплитуды экспоненциально обрезаются; V — матричный элемент взаимодействия волн, зависящий только от векторов (ком. 8). Для нас важно, что, правильно определив новые переменные, мы можем снова получить такое описание задачи, которое в главных своих чертах аналогично известному уже примеру слабой турбулентности.

Возможность введения своеобразной перенормировки переменных обусловлена слабым взаимодействием солитоноподобных решений при выполнении условий их достаточной разреженности. Возникающее при этом турбулентное движение может быть названо солитонной турбулентностью. Она является одним из примеров сильной турбулентности, в которой различные этапы ее развития могут быть прослежены аналитически вплоть до определения спектра турбулентности [37].

КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 11

(см. скан)