§ 3. Диффузия эксцентриситета орбит в гравитационном поле планет

Появление искусственных спутников Земли привело к ряду открытий при измерении гравитационного поля Земли и Луны. Если бы Земля имела сферическую форму, а распределение плотности в ней было бы сферически-симметричным, то ее гравитационное поле также имело бы ту же симметрию и определялось простой формулой

В действительности поле Земли таким свойством не обладает и имеются малые отклонения от сферической симметрии. Они обусловлены разными причинами — неоднородностью распределения массы, волнами сжатия, геометрической формой Земли и др. В настоящее время измерения со спутников показывают, что земное гравитационное поле достаточно хорошо описывается выражением

где

— второй полином Лежандра и константа Таким образом, отклонение от сферичности порядка 1/300.

Масконы. Иначе обстоит дело, например, с гравитационным полем Луны. Неожиданно оказалось, что в Луне имеются большие области, в которых плотность превышает среднюю плотность. В результате создаются зоны сосредоточения крупных масс, названные областями концентрации масс или масконами. Открытие масконов произошло на видимой стороне Луны в 1968 г., и масса наиболее крупных из них имеет порядок т. е. от массы Луны.

Масконы существуют и на других планетах, и их обнаружение приводит к тому, что гравитационное поле уже не может описываться ни формулой (3.1), ни формулой (3.2). Наиболее адекватным действительности становится поле мультиполя, в котором могут оказаться эффективными достаточно большое число гармоник. Например, для Луны определены первые 13 коэффициентов мультипольного разложения гравитационного потенциала. Это приводит к новой постановке задачи о движении тела в поле, например, Луны, так как влияние масконов, как мы увидим ниже, может принципиально изменить общий характер траектории тела.

Рис. 17.2. Координата возмущающей массы определяется вращающимся вектором

Мультипольное разложение. Наиболее просто представить себе возмущающее поле как результат воздействия вращающегося мультиполя. Пусть потенциал определяется в точке а возмущающая масса имеет координату, определяемую вращающимся относительно оси вектором (рис. 17.2). Для простоты массу возмущения можно считать точечной. Поэтому она создает потенциал

где константа взаимодействия тела с полем возмущения и координаты вектора зависят от

Разложение выражения (3.3) по мультиполям имеет вид [4]

где присоединенные полиномы Лежандра и

Если возмущение не является точечным, а имеется некоторое более сложное его распределение, то разложение (3.4) имеет ту же структуру, но с другими коэффициентами, отличными от (3.5). Можно, например, принять

где новые коэффициенты разложения обладают тем свойством, что

Мы будем обозначать гамильтониан тела, движущегося в описанном гравитационном поле, следующим образом:

а безразмерный параметр возмущения

будем считать малым.

Важной особенностью системы (3.8) является суточное вращение вектора вокруг оси z с частотой Тогда координаты вектора обладают следующим свойством:

Благодаря зависимости от в формуле (3.4) возникают осциллирующие экспоненты и становятся возможными резонансы.

Соотношения (3.10) являются специальным случаем, в котором массы, создающие возмущение, имеют фиксированное расстояние от силового центра

основного поля в точке как это указано на рис. 17.2. В дальнейшем мы познакомимся и с другим видом возмущения, в котором координата определяет положение тела, движущегося по эллиптической орбите.

Изменение интегралов движения. Невозмущенная задача Кеплера имеет три независимых интеграла движения: которые были введены в § 1 гл. 17. Наличие возмущения приводит к их изменению со временем. Выпишем формулы, определяющие это изменение.

Изменение интеграла энергии можно определить из выражения

Используя формулы (1.1) и (1.2), получаем также

Эти выражения позволяют вычислить изменения со временем эксцентриситета и перигелия которые нам понадобятся позже.

Резонансы и их ширина. Возмущение (3.4) имеет довольно сложную структуру и приводит к большому числу возможных резонансов. Проведем их качественный анализ. Многомерность системы означает, что в ней возможна диффузия Арнольда. Мы здесь будем, однако, интересоваться лишь более сильной неустойчивостью, связанной с сильным перекрытием резонансов.

Заметим сначала, что для в (3.4) можно воспользоваться нулевым приближением в силу малости возмущения из-за неравенства (3.9). Разложение величины в ряд Фурье уже проведено (см. формулу (1.28)). Поэтому не представляет особого труда получить фурье-разложения и для любой степени Единственное изменение, которое следует сделать, связано с изменением записи разложения. Вместо (1.28) следует писать

где фаза, сопряженная действию (см, формулу (1.13) и следующее за ней пояснение), и нулевой индекс при в дальнейшем опускается.

Приведенные простые соображения показывают, что формула (3.11) для корэсти изменения энергии тела может быть представлена в следующей форме:

где некоторые коэффициенты разложения, которые будут оценены позже. В формуле (3.14) происхождение множителей типа обусловлено разложением (3.13), а множители типа возникают из так как

В принятой модели жесткого вращающегося мультиполя величина Еще одно упрощение можно сделать, рассмотрев движение тела в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Тогда оставшиеся множители типа в потенциале возмущения (3.4) также можно разложить в ряды Фурье типа (3.13) по фазам Это не изменит общей структуры выражения (3.14). Важно лишь, откуда появляются вклады в коэффициенты разложения

Проведенный анализ, несмотря на свою схематичность, позволяет сделать довольно существенные выводы. Прежде всего, из (3.14) следует условие для резонансов

Оно достаточно очевидно и связано с сильным вырождением движения в кулоновском поле. Поэтому в условие резонанса (3.15) входит только одна частота

невозмущенного движения со и частота возмущения обусловленная вращением мультиполя.

Расстояние между ближайшими резонансами может быть определено из (3.13) и из такого же условия, в котором совершена какая-либо из замен

Это дает

Наиболее опасным для неустойчивости системы является случай, в котором минимально. Имеются следующие возможные случаи:

Формулы (3.16) и (3.17) решают вопрос о расстоянии между резонансами.

Для определения ширины резонанса пользуемся уже известным нам приемом. Оставляем в (3.14) один предполагаемый резонансный член и интегрируем полученное выражение

Минимальное значение знаменателя имеет порядок

Подставляя это выражение в (3.18), получаем обычную формулу для ширины нелинейного резонанса по энергии

или для ширины по частоте

Всюду в формулах опущены индексы при и Предполагается, что резонансное движение соответствует окрестности некоторого значения энергии с фиксированными

Перекрытие резонансов. Теперь в нашем распоряжении есть выражения для ширины резонанса (3.20) и для расстояния между резонансами (3.17). Поэтоку мы можем составить условие возникновения стохастической неустойчивости как условие перекрытия резонансов:

Мы уже перечисляли различные возможности при определении расстояния между резонансами. Они выражаются формулами (3.16) и (3.17), отражающими различные физические случаи. Срёдй этих случаев следует отобрать тот, который приводит к наиболее легкому выполнению условия неустойчивости (3.21). Для этой цели рассмотрим условие, при котором расстояние между резонансами равно (см. (3.16)). Он интересен тем, что условие резонанса (3.15) может быть выполнено даже при . В этом случае

Рассмотрим сначала малые эксцентриситеты. Будем также считать Поскольку орбита близка к круговой, то в формуле (3.4) значения невелики. Исходя из уравнений (3.11) и (3.4) имеем

где - номер гармоники в мультипольном разложении, на которой происходит резонанс. Выражение (1.16) связывает частоту с энергией тела. Из него находится производная

Подставляя (3.23) и (3.24) в (3.20), получаем ширину резонанса

Теперь мы можем определить параметр перекрытия резонансов К, если для расстояния между резонансами принять выражение

Поскольку то

и условие появления хаотической динамики сводится к неравенству

Конечно, условие (3.25а) является довольно грубой оценкой. Однако можно рассчитывать на то, что реальные условия не ухудшают его, а улучшают. Связано это с тем, что чем больше гармоник в разложении (3.4), тем большее число резонансов имеется в Еозмущающей силе. Поэтому даже отсутствие перекрытия в резонансах первого порядка, которые мы только и принимали во внимание, оставляет возможность пересечения резонансов следующих порядков. В последнем случае, конечно, происходит замедление диффузии из-за стохастической динамики. Но и это замедление, как мы сейчас увидим, может оказаться вполне «земным» временем.

Рассмотрим сначала некоторые числовые оценки для формулы (3.25а). Для Луны, как уже отмечалось, относительная масса масконов т. е. Для спутника Луны, движущегося с первой космической скоростью, часа. Если принять для полного числа масконов число то

Отсюда

так как Из (3.26) следует, что резонансы типа (3.22) существуют. Это очень важное заключение. Условие их сильного перекрытия (3.25) принимает вид

Оценка (3.27) показывает, что стохастическая динамика может возникать. Точнее, существование масконов может столь сильно нарушить траекторию тел, что она станет неустойчивой и возникнет диффузионное движение тел. Можно показать также, что если для тел выбрать сильно вытянутые орбиты с то условие стохастизации будет выполняться еще легче. Проанализируем, к чему это приводит и как развивается диффузионная динамика тела.

Диффузионные орбиты. При условии (3.25) фазы стохастизируются. Вследствие этого возникает медленное диффузионное изменение интегралов невозмущенного движения Диффузия по энергии означает, что энергия тела может принимать в результате малых случайных изменений как меньшие, так и большие значения по сравнению с невозмущенным значением. Аналогично диффузия по моменту означает, что даже если в невозмущенном движении траектория тела была близка к круговой то возмущение при перекрытии резонансов может приводить к появлению траекторий с малым моментом Так же можно проинтерпретировать дуффузию проекции момента Одновременно с величинами изменяется диффузионным образом перигелий.

В общем случае функция распределения является многомерной и зависит от трех действий:

которые определены в (1.13). Усреднение производится по фазам канонически сопряженным действиям. Поэтому коэффициент диффузии

т. е. зависит от всех трех переменных.

Оценим, например, изменение момента Из (3.12) и мультипольного разложения можно написать простую оценку следующим образом:

Как обычно при оценке коэффициента диффузии, это выражение следует возвести в квадрат и усреднить по фазам. В результате этой операции «выживают» только диагональные члены, содержащие квадратичные выражения по фазам. В результате

Обратимся теперь к диффузии перигелия:

Его изменение равно

Это выражение можно переписать иначе, если использовать выражение (1.8), связывающее

Отсюда, исключая находим

Изменение большой полуоси Да однозначно связывается с изменением энергии (см. (1.18)). Поэтому окончательно

Эта формула показывает, что в общем случае изменение перигелия обусловлено двумя факторами: изменением энергии и изменением орбитального момента. При малых эксцентриситетах оба фактора изменения входят

равноправно:

Однако положение изменяется для вытянутых орбит при Тогда

В этом случае диффузия перигелия полностью определяется коэффициентом диффузии (3.28)

Отсюда легко находится характерное время изменения перигелия на величину порядка

В том случае, когда речь идет о вращении спутника, для него Поэтому, несмотря на малость значения коэффициента диффузии, величина может оказаться не очень большой. Достаточно малого изменения перигелия, чтобы движущееся тело или спутник коснулись поверхности планеты. Это показывает, что гравитационные аномалии могут вносить заметные поправки в траекторию тел.

Особенно заметными могут оказаться эти поправки при больших эксцентриситетах, когда Для пояснения этого утверждения уточним формулу (3.31), сохраняя в ней изменение энергии, имеющее порядок Из общего выражения (3.29) имеем

Отсюда следует, что при некотором фиксированном значении изменения перигелия вклады от изменения момента и от изменения энергии могут стать сравнимыми, если только изменения энергии достаточно велики. Последнее, однако, возможно лишь в области очень малых энергий т. е. вблизи сепаратрисы, где финитное движение может смениться на нефинитное. Этот вывод для нас очень важен, и в следующем параграфе мы увидим, к каким он может привести следствиям.