§ 4. Стохастическая паутина

Магнитное поле при наличии электрического поля плоских волн создает очень своеобразную специфику движения, нарушая ту симметрию задачи, которая была в отсутствие магнитного поля. Ниже мы приведем очень яркий пример, демонстрирующий различные тонкие эффекты нелинейной динамики системы, имеющей всего лишь полторы степени свободы. Задача, рассматриваемая ниже, интересна также своими приложениями в связи, например, с проблемой стохастического нагрева плазмы в магнитном поле (ком. 7).

Отображение с подкручиванием. Пусть частица движется во времени-подобном волновом пакете

где фаза

и вся конструкция волнового пакета — та же, что и в § 1 гл. 13. Добавим к полю направленному вдоль (продольная волна), еще и постоянное магнитное поле вдоль оси Тогда уравнение Лоренца приводится к одному уравнению движения вдоль оси

Это уравнение следует дополнить интегралом движения

определяющим движение вдоль у через движение вдоль оси х.

Определенное неудобство в исследовании движения (4.2) можно отметить сразу. Невозмущенное движение является линейным. Поэтому с точки зрения условий теоремы оно оказывается вырожденным, и к нему нельзя применить сразу результаты КАМ-теории.

Наличие -функций в правой части (4.2) позволяет записать это уравнение в виде отображения. Для этой цели произведем некоторые элементарные упрощения. Положим что означает отсутствие движения центральной гармоники волнового пакета (4.1), и выберем в (4.3), т. е.

Обозначим также

В этих обозначениях можно получить путем сшивки решения на -функциях следующее отображение:

где положено

Здесь параметр К - тот же, что и в формуле (1.13), а угол а будет называться далее углом подкручивания (ком. 8).

Предельный переход учитывающий обозначения (4.4), приводит к стандартному отображению (с точностью до переопределения фазы которую следует сдвинуть на

Отображение будем называть отображением с подкручиванием.

Резонансное подкручивание. Резонансным подкручиванием будем называть случаи рациональных значений

где и -целые. Случай будем обозначать как

а соответствующее отображение как Физический смысл резонансного подкручивания можно понять из рис. 13.6. Вместо одной прямой, как на рис. 13.5, теперь прямых, соответствующих фронтам отдельных плоских волн, много. Они отстоят друг от друга на одну и ту же величину

В точках пересечения прямых с круговой орбитой ларморовского вращения происходит интенсивное взаимодействие частицы с волной. Если выполнено условие (4.7), то, пройдя одну волну, частица попадает в резонанс со следующей волной и т. д.

Рис. 13.6. Большое число областей взаимодействия частицы с волнами пакета обозначено жирными точками

Рис. 13.7. Фазовая плоскость при

Другими словами, рациональным а соответствуют сфазированные столкновения частицы с волнами. Это приводит к особым свойствам фазового портрета частицы.

Рис. 13.8. Фазовая плоскость при

Фазовая плоскость. Чтобы понять фазовый портрет частицы, обратимся сначала к результатам численного анализа, которые приведены на рис. 13.7 и 13.8 для малых значений при На фазовой плоскости имеется правильная сепаратрисная сетка. Внутри центрального островка находятся замкнутые фазовые траектории. Все другие ячейки сетки

заполняются замкнутыми кривыми одновременно по четыре ячейки при и по три ячейки при а Заполнение ячеек имеет соответствующую симметрию поворота. Таким образом, вся фазовая плоскость выкладывается правильным «паркетом», обусловленным симметрией подкручивания.

Рис. 13.9. Область стохастичности при

В действительности сепаратрисная сетка не является сколь угодно тонкой. Ее толщина тем больше, чем больше параметр возмущения Мы будем далее называть эту сетку стохастической паутиной, так как динамика частиц внутри нее является стохастической. С ростом стохастическая паутина деформируется и расширяется, образуя большие стохастические области (рис. 13.9), по которым происходит быстрая диффузия частиц. Кроме того, с ростом возникает последовательно бесконечное число бифуркаций, связанных с делением островков и появлением вокруг них новых ожерелий островков произвольного порядка [15]. Эти бифуркации происходят с островками всех порядков. Каждый вновь образовавшийся островок также испытывает бифуркации. Таким образом, возникает сложное бифуркационное дерево фрактального типа. Примеры отделения ожерелий из четырех и трех островков приведены на рис. 13.10.

Резонанс . В качестве примера расчета траектории при резонансном подкручивании и малых значениях рассмотрим случай Отображение (4.5) сводится к следующему:

Будем далее считать Исключим из (4.8) подкручивание. Для этого найдем отображение удержав в нем лишь старшие по члены.

Получаем следующее отображение:

сохраняющее меру. Шаг отображения равен

Рис. 13.10. Примеры отделения ожерелий из четырех и трех островков при

Можно записать эквивалентную гамильтоновскую систему, порождающую отображение (4.9). Для этого определим гамильтониан следующим образом:

где введена частота колебаний при резонансе подкручивания

Уравнения движения для (4.10) имеют вид

Если рассмотреть интервал времени

и определить и ( как значения переменных на концах этого интервала, то из уравнений движения (4.12) интегрирование в точности приводит к отображению (4.9). Покажем, как это происходит. Имеем обозначения:

В интервале -функции равны нулю. Поэтому на этом интервале

Иначе,

Из последнего уравнения имеем

Интегрирование системы (4.12) в бесконечномалой окрестности момента времени дает

Эта система после некоторых преобразований совпадает с (4.9).

Посмотрим теперь на гамильтониан (4.10) с другой точки зрения, заменив сумму -импульсов ее разложением в ряд Фурье:

Отсюда видно, что величину можно считать частотой нелинейного резонанса, а сумма представляет собой высокочастотные возмущения из-за того, что

Поэтому можно рассмотреть усредненный гамильтониан

Траектории, определяемые им, описывают движение частицы внутри одной ячейки «паркета» с симметрией Гамильтониан (4.15) приводит к уравнениям движения

или

где -безразмерный интеграл энергии:

Устойчивым положениям равновесия (эллиптическим точкам) соответствуют значения

Значениям

соответствуют неустойчивые (гиперболические) точки, через которые проходят сепаратрисы.

Траектория усредненного движения находится из уравнения (4.16) и имеет вид при

где

— отношение эллиптических функций с модулем

Образование стохастической паутины. Описанное выше движение является усредненным. В действительности возмущение гамильтониана разрушает сепаратрису и порождает на ее месте стохастический слой, называемый стохастической паутиной.

Рис. 13.11. Схема образования сепаратрисной сетки

Уравнения сепаратрис получаются из условия т. е. согласно (4.17)

Решением этого уравнения является семейство прямых

Они образуют на фазовой плоскости квадратную сетку. Учет следующих по порядку членов, пропорциональных и или приводит к появлению периодической модуляции полученной сетки (см. рис. 13.7).

Приведем наглядную физическую картину образования сепаратрисной сетки.

Рассмотрим на плоскости две неперекрывающиеся сепаратрисные цепочки, соответствующие двум плоским волнам (рис. 13.11). Пусть одна из них движется относительно другой со скоростью Вращение в магнитном поле с частотой может привести к появлению инвариантной кривой, соединяющей гиперболические точки, соответствующие разным сепаратрисам волн. Очевидно, что это произойдет, если выполнено условие

Это и есть условие резонансного подкручивания.

Оценим толщину стохастической паутины. Для этого рассмотрим возмущенный гамильтониан (4.14), оставив в нем первые гармоники возмущения с

Используя уже известную оценку (см. § 3 гл. 5) для толщины стохастического слоя при условии т. е. имеем

Внутри стохастической паутины происходит случайное блуждание частицы, которое может привести к сколь угодно большому изменению ее энергии и действия.

Стохастическая паутина — универсальное свойство динамической системы с подкручиванием. Оно возникает при любых резонансах, т. е. при любых рациональных значениях

Появление стохастической паутины и ее следствия для динамики частиц практически полностью аналогичны диффузии Арнольда, которая возникает в многомерном случае. Отличие заключается в том, что теперь стохастическая паутина образовалась для уравнения (4.2), описывающего движение системы всего лишь с полутора степенями свободы. Это — минимальная размерность фазового пространства, в котором возможна неинтегрируемость.

Симметрия фазовой плоскости. Рассмотрим исходное отображение определяемое формулой (4.5). Можно утверждать точно, что расположение его сепаратрис и особых точек обладает симметрией вращения на угол

при рациональном соотношении

Это свойство симметрии является прямым следствием симметрии уравнения движения (4.2). В этом легко убедиться, если сделать замену времени

Тогда имеется инвариантность уравнений при сдвиге

при условии, что а Однако здесь возникает неожиданный вопрос.

Рис. 13.12. Стохастическая паутина при

Известно, что плоскость можно покрыть правильным паркетом из фигур одного типа только треугольниками, квадратами и шестиугольниками, сохранив при этом симметрии трансляции и вращения. Это соответствует значениям

Поскольку введение значений не изменяет симметрии покрытия, то первый и последний случай создают одинаковую сепаратрисную сетку. Таким образом, случаи исчерпывают все «простые» симметрии.

Симметрию для всех других значений можно обеспечить, лишь выкладывая плоскость фигурами разного вида. Это приводит к тому, что в фигурах появляется слабый разброс в форме, позволяющей им «упаковаться» на плоскости. Искажение их формы носит также случайный характер. В результате мы получаем удивительную картину (рис. 13.12 и 13.13), в которой дальний порядок глобальной симметрии стохастической паутины совмещается

с хаотическим разрушением ближнего порядка при 4; 6 в структуре ячеек паутины.

Ближний порядок разрушается с ростом . В результате становится невозможным указать определенное число сторон в ячейках паутины. Паркет сильно деформируется, и возникает типичная картина аморфного тела (ком. 9).

Рис. 13.13. Фазовый портрет при тех же параметрах, что и на рис. 13.12.

Диффузия. Опишем диффузию частиц при больших Для этого введем переменные действие—угол:

где - энергия частицы. Тогда отображение эквивалентно следующему:

Приближение уравнения ФПК начинает быть справедливым при достаточно больших значениях так чтобы выполнялось условие

Это означает согласно (4.19) и (4.20), что фазу можно считать быстро меняющейся и почти равномерно распределенной на интервале ( Это происходит при условии локальной неустойчивости фаз:

которое означает, что

Простые вычисления моментов:

приводят к выражениям

Отсюда видно, что имеет место принцип детального равновесия и Поэтому уравнение ФПК принимает дивергентную форму

Формула (4.22) показывает, что происходят осцилляции коэффициента диффузии в зависимости от величины т. е. в зависимости от энергии частицы. В частности, при имеем Отсюда получаем рост средней энергии частиц со временем:

Это и есть асимптотический закон стохастического нагрева частиц при

КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 13

(см. скан)