§ 3. Образование стохастического слоя

Здесь будут изложены вопросы, которые играют исключительную роль в общей теории стохастичности гамильтоновских систем. Можно ввести понятие о «кванте стохастичности», т. е. о той минимальной ячейке фазового пространства, которая несет в себе зародыш стохастичности. Таким «квантом» является стохастический слой (рис. 5.13), образующийся в окрестности сепаратрисы под действием произвольного периодического сколь угодно малого нетривиального возмущения (ком. 7).

Рис. 5.13. Стохастический слой (заштрихованная область) вблизи сепаратрисы

Динамика вблизи сепаратрисы. Приводимые ниже рассуждения обладают необходимой степенью общности и позволяют рассмотреть практически любой пример образования стохастического слоя. Мы, конечно, в соответствующем месте объясним, почему это так, а здесь рассмотрим уже достаточно известный нам пример нелинейного маятника, возмущаемого периодической силой:

где масса маятника положена равной единице.

Формулы зависимостей и получаются заменой переменных

Запишем точное уравнение для изменения действия:

где использованы определение

и то, что мощность равна произведению силы и скорости х. Уравнение для фазы имеет вид

Некоторый «разнобой» в выборе переменных при записи уравнений (3.2) и (3.3) не должен смущать. Он продиктован дальнейшими упрощениями.

Воспользуемся некоторой информацией § 3 гл. 1. Энергия невозмущенного маятника, соответствующая сепаратрисе, равна

Значение действия на сепаратрисе обозначим через Частота обладает следующими свойствами:

Далее нас будет интересовать область вблизи сепаратрисы, где выполнено условие

а величина имеет, как и в смысл характерного числа гармоник в спектре невозмущенной траектории маятника (см. формулу (1.3.15) и далее).

Наша ближайшая цель — перейти от системы уравнений (3.2), (3.3) к системе уравнений в конечных разностях. Для этого необходимо вспомнить особенности движения частицы вблизи сепаратрисы, приведенные в § 3 гл. 1. Частица пролетает основную часть потенциальной ямы за время порядка и очень долго находится в окрестности точек поворота, так как в силу неравенства (3.5)

График зависимости скорости частицы х от времени в окрестности сепаратрисы приведен на рис. 1.12. Отношение расстояния между импульсами к их ширине равно 1.

Отображение вблизи сепаратрисы. Таким образом, наличие в (3.2) величины х в правой части, обладающей указанными выше свойствами, позволяет построить отображение при переходе от одного импульса силы к другому. Между двумя импульсами силы с экспоненциальной точностью Пусть I есть значение действия непосредственно перед областью, где скорость частицы х заметно отлична от нуля. Пусть также -значение действия перед областью следующего отличного от нуля импульса скорости х невозмущенного движения. Тогда, интегрируя (3.2) по области включающей в себя полную ширину импульса, получаем

Формула (3.6) одновременно показывает, что интервал привязан к определенному моменту времени, когда Поэтому удобно ввести новую фазу внешней силы:

Время, прошедшее между двумя последовательными импульсами скорости, равно половине периода колебаний частицы (см. рис. 1.12), т. е. я/со (7). Отсюда мы приходим к отображению вблизи сепаратрисы

где через С обозначен интеграл:

По существу, основная часть вывода на этом заканчивается, и дальнейшее сводится к техническим деталям, от которых, однако, зависят все физические следствия.

Прежде всего, учитывая малость параметра разложим ряд по Имеем

Мы уже отмечали в § 1 гл. 5, что локальная неустойчивость развивается быстрее всего по фазе. В данном случае это выглядит следующим образом. Малое изменение действия вследствие возмущения приводит к малому изменению частоты колебаний частицы в яме. Вблизи дна ямы, где периоды колебаний достаточно малы, малые поправки к частоте приводят к малым изменениям фазы частицы за период. Однако вблизи сепаратрисы, где периода осцилляций в яме очень велики, даже малое изменение частоты может привести к сильному изменению фазы. Это и должно явиться конечной причиной локальной неустойчивости по фазе.

Для ее оценки достаточно найти величину

где

и где мы использовали под знаком интеграла нулевое приближение, заменив на согласно (3.7).

Ширина стохастического слоя. Теперь ясно, что условие

должно определять границу появления стохастической динамики частицы вблизи сепаратрисы. Мы воспользуемся для ее получения кратчайшим и наиболее простым путем.

Из формул (1.3.15) и (1.3.19) следует

Таким образом, параметр неустойчивости К принимает вид

и вся дальнейшая работа сводится к оценке интеграла

Интеграл (3.12) оценивался разными способами (см., например, [10,13]). Приведем простейший анализ [3]. Значение определяется, в первую очередь, соотношением между Пусть сначала

Характерное время изменения величин на интервале равно, очевидно, Отсюда

и после подстановки этого выражения в (3.15) получаем

Условие появления стохастичности означает К 1. Поэтому граница стохастичности находится из оценки

Область стохастичности в энергетической шкале равна, очевидно,

Выражение (3.18) является искомым (для не слишком высоких частот возмущения Его главный смысл в следующем утверждении: вблизи сепаратрисы существует слой хаотической динамики при любых сколь угодно малых возмущениях. Ширина слоя пропорциональна возмущению.

Дополним полученную картину исследованием случая возмущения с высокой частотой Под интегралом в (3.12) стоит произведение быстро осциллирующей функции и медленно меняющейся функции Мы уже знаем, что в этом случае величина интеграла экспоненциально мала. Для более детальной оценки его рассмотрим два разных случая потенциала Пусть сначала

Тогда

Из формул (1.3.4) и (1.3.7), описывающих динамику вблизи сепаратрисы имеем

где - некоторая точка, определяющая положение солитона в интервале интегрирования Сам интервал Подынтегральное выражение имеет полюса в точках

Поскольку то достаточно оставить только полюс, ближайший к действительной оси. Это дает

Подстановка (3.19) в (3.15) с учетом того, что дает

Область стохастичности по энергии находится из условия К 1, т. е.

Область стохастичности оказывается, как и ожидалось, экспоненциально узкой.

Предэкспоненциальный множитель зависит от вида потенциала возмущения Действительно, рассмотрим случай

который нам пригодится в дальнейшем. Выражение для теперь имеет вид

Имеет место следующее простое представление для вблизи сепаратрисы:

Таким образом, полюс в знаменателе интеграла приобретает кратность три и это дает

Тем же способом находим границу стохастического слоя:

которая имеет экспоненциальную малость, как и в формуле (3.20).

Главный вывод, вытекающий из формул (3.18) и (3.20), следующий: всегда, т. е. при любых в окрестности сепаратрисы образуется область перемешивающихся траекторий — стохастический слой. Максимальная ширина стохастического слоя имеет порядок

Она достигается в случае, близком к резонансу между возмущением и частотой малых колебаний осциллятора

К этому остается лишь добавить, что весь анализ не связан с тем, являются ли частицы пролетными или захваченными, т. е. он не зависит от знака величины Это связано с известной симметрией решения, отмеченной в § 3 гл. 1. Поэтому стохастический слой в окрестности сепаратрисы приводит к случайному блужданию частиц из одной потенциальной ямы в другую (рис. 5.14).

Рис. 5.14. Блуждание частиц внутри стохастического слоя

Иными словами, локальная неустойчивость приводит к разрушению сепаратрисы, причем теряется одновременно смысл понятий захваченных или пролетных частиц, если только эти частицы имеют энергию, лежащую в области стохастического слоя. Остановимся на этом явлении более подробно, ибо, как мы увидим далее, с ним связано не только существенное расширение арсенала физических средств анализа, но и в значительной степени изменение многих наших представлений о динамической устойчивости систем.

Перекрытие резонансов вблизи сепаратрисы. Конечно, структура фазового пространства внутри стохастического слоя является очень сложной, и мы познакомимся с некоторыми самыми главными ее особенностями. Наиболее очевидное свойство слоя—существование в нем большой и очень сложно разветвленной сети островков (см. рис. 5.14). Мы уже видели в предыдущем параграфе, как появляются островки в универсальном отображении. Они порождаются отдельными резонансами и располагаются в окрестности эллиптических точек. Здесь имеет место то же явление. Рассмотрим его подробнее.

Представим уравнения (3.2) и (3.3) в виде

где мы для большей наглядности будем выражать все величины как функции энергии, а не действия. Разлагаем в ряд Фурье:

Здесь коэффициенты разложения являются функциями

В действительности структура разложения (3.23) зависит от вида невозмущенного движения Например, при симметричной невозмущенной потенциальной яме раскладываются в ряд Фурье по четным или нечетным гармоникам. Это, конечно, сразу отражается на условии резонанса, которое в симметричном случае принимает вид

Разложение (3.23) записано без учета подобной симметрии, и в дальнейшем там, где это [понадобится, мы сделаем необходимое уточнение. Во всяком случае, следует всегда иметь в виду, что универсальность оценки достигается здесь не столько в конкретных значениях коэффициентов, сколько в физической структуре конечного выражения.

Рассмотрим правую часть в (3.22). С одной стороны,

С другой стороны,

Поскольку возмущение движения мало то достаточно для оценок ограничиться лишь вторым членом:

Используя разложение (3.23), преобразуем уравнения (3.22) для к виду

Условие резонанса имеет вид

где значение энергии при точном резонансе. Отсюда находим расстояние между резонансами:

Действительно, при любом фиксированном частота будет мала по сравнению с если достаточно близко находиться у сепаратрисы. Ширину резонанса получим с помсщью следующей простой оценки. Выделим в правой части (3.24) резонансный член:

Интегрируем это выражение по времени:

где — расстройка знаменателя, определяющая одновременно ширину резонанса по частоте:

Подстановка (3.27) в (3.28) дает

Теперь надо исключить Следуярезультатам § 1.3, имеем

Отсюда

С помощью формул (3.26) и (3.29) находим параметр перекрытия резонансов:

Это выражение обладает определенной общностью, и специфика задачи сосредоточена в зависимости со Из (3.14) и (3.17) следует, что параметр локальной неустойчивости равен

Сравнение формул (3.30) и (3.31) снова приводит нас к равенству

Теперь наши возможности анализа заметно расширились. По мере приближения к сепаратрисе частота стремится к нулю, а производная от нее стремится к бесконечности:

Поэтому так же сильно возрастает ширина резонансов, как это следует из (3.29). Однако расстояние между резонансами (3.26) при этом уменьшается. В результате резонансная сеть быстро перекрывается, и возникает фазовый слой со стохастической динамикой (ком. 8).

Можно было бы таким же способом рассмотреть и другие случаи образования стохастического слоя. Однако самый главный вывод мы уже можем почувствовать, основываясь лишь на имеющихся результатах. Картина возникновения стохастического слоя подобна картине появления стохастичности в универсальном отображении. Вообще стохастический слой в окресгности сепаратрисы является зародышем хаоса в общем случае гамильтоновских систем. Ниже мы приведем различные соображения, подтверждающие этот вывод и, более того, установим некоторые черты подобия стохастичности.

Гомоклиническая структура. Можно попытаться выяснить более тонкую структуру зарождения хаоса, поскольку теперь мы понимаем, что в гамильтоновских системах он начинается с разрушения сепаратрисы.

Первый и очевидный источник хаоса связан с существованием гиперболической точки. Это утверждение может показаться очевидным, однако усиление степени его нетривиальности стало возможным лишь благодаря КАМ-теории. Действительно, согласно последней существуют конечныг окрестности

эллиптических точек, в которых возмущение не изменяет устойчивого характера динамики. Поэтому в гамильтоновских системах седла являются единственными особыми точками, возле которых движение неустойчиво, и следует более детально посмотреть, как влияет возмущение на окрестность гиперболических точек.

Рассмотрим петлю сепаратрисы, имеющую одну гиперболическую точку О (рис. 5.15а). Она существует, например, при движении частицы в кубическом потенциале. Через точку О проходят четыре сепаратрисы: два входящих и два выходящих. Рассмотрим два из них, которые образуют петлю сепаратрисы—выходящий и входящий

Рис. 5.15. Образование гомок лини ческой структуры в окрестности сепаратрисы

При действии малого периодического возмущения на систему гиперболическая точка О оказывается устойчивой [14]. Это можно понять из следующих качественных соображений. Траектории в окрестности гиперболической точки неустойчивы. Поэтому очень малое возмущение не может привести к более сильной неустойчивости траекторий. Свойство устойчивости гиперболической точки распространяется на некоторую малую окрестность ее усов. В противном случае разрушение усов привело бы и к исчезновению гиперболической точки. Следовательно, малые окрестности усов вблизи О являются частями инвариантных кривых при действии возмущения. Мы, однако, ничего не знаем, как ведут себя инвариантные кривые вдали от точки О при действии возмущения.

Возможна такая ситуация, при которой усы не замыкаются. Именно она и возникает под действием любого периодического возмущения. Эта ситуация называется расщеплением сепаратрисы. Поскольку возмущение периодическое, то начинает осциллировать. По мере удаления от точки О в направлении и по мере приближения к О в направлении эти осцилляции нарастают по амплитуде. Одновременно происходит уменьшение их шага (рис. 5.15). Нарастание амплитуды связано с удалением от устойчивой точки О, а уменьшение шага связано с замедлением движения в окрестности О. Аналогичную картину можно себе представить, если двинуться из точки О по в противоположном к движению направлении (рис. 5.15в).

Такое поведение усов должно привести к их пересечению в некоторой точке, скажем не совпадающей с О. Точка называется гомоклинической. Если существует хотя бы одна гомоклиническая точка, т. е. точка пересечения усов не совпадающая с О, то гомоклинических точек существует бесконечно много, и все они образуют некоторое сложно устроенное множество, называемое гомоклинической структурой. Доказательство этого утверждения следует непосредственно из свойства инвариантности усов

Действительно, подействуем на точку преобразованием сдвига по времени на некоторую величину Обозначим

Это означает, что через время точка переходит в точку Инвариантность кривой означает, что при подходящем выборе шага преобразования (например, через период возмущения) все точки отображений

располагаются на этой кривой. Поэтому если точка была точкой пересечения усов то точка также принадлежит как так и Следовательно, точка является точкой пересечения усов и поэтому является гомоклинической. Продолжение этого рассуждения приводит к существованию бесконечного числа гомоклинических точек. Очень слабое представление о возникающей при этом картине дает рис. (ком. 9).

В некотором точно определенном смысле структура гомоклинических точек является случайной. Эти результаты способствовали развитию метода исследования динамических систем, называемого символической динамикой [16, 17].

Стохастический слой нелинейного резонанса. Описанная нами картина появления стохастического слоя столь сильно отражается на динамике нелинейных систем, что нам в дальнейшем придется многократно к ней обращаться. Здесь же мы ограничимся одним небольшим, но очень эффектным примером.

Рассмотрим случай, когда возникает нелинейный резонанс между системой и внешним возмущением (см. § 1 гл. 3). Эта задача описывается гамильтонианом

в котором - периодическая функция времени. Примем для V простейшую форму:

Тогда из (3.32) и (3.33) следуют уравнения движения

Представим первое уравнение в таком виде, чтобы явно выделить резонансный член:

Резонанс заключается в том, что в области значений переменной , где исследуется движение, выполняется равенство

Иначе, значения лежат вблизи

Обычное исследование резонанса основано на пренебрежении нерезонансным членом. Это приводит вместо (3.35) к укороченным уравнениям

которые легко интегрируются. Все это было проделано в § 1 гл. 3.

Однако именно теперь мы в состоянии ответить на вопрос о том, к чему приводит отбрасывание второго (нерезонансного) члена в правой части уравнения (3.35). Очевидно, что он мал. Но было бы сильным заблуждением рассчитывать на то, что эта малость приводит к слабым эффектам, и в этом и заключается особенность качественно нового анализа, который в состоянии учесть возможность хаотической динамики.

Напомним сначала главные параметры нелинейного резонанса. Это нелинейные колебания с линейной частотой фазовых колебаний:

По порядку величины из (3.38) следует

где

Ширина резонанса по действию равна

Условия

обеспечивают малое влияние отброшенного нерезонансного члена.

Нелинейные колебания, описываемые укороченной системой (3.37), можно охарактеризовать своей системой переменных действие—угол т. е. совершить каноническое преобразование

В новых переменных можно ввести нелинейную частоту нелинейного резонанса. Это просто частота нелинейных фазовых колебаний. Нас интересует только лишь одно свойство частоты она обращается в нуль на сепаратрисе нелинейного резонанса. Поэтому условий (3.41) оказывается недостаточно. Существует малая область в окрестности сепаратрисы резонанса, где отброшенным членом в (3.35) пренебречь нельзя. Можно сказать и иначе. Нерезонансный член

будем рассматривать как возмущение к укороченной интегрируемой системе (3.37). Тогда остается сделать последний шаг и вспомнить, что любое возмущение разрушает сепаратрису и образует в ее окрестности стохастический слой. Это означает, что нерезонансный член в исходной системе (3.32) — (3.35) образует на фазовой плоскости область стохастической динамики, расположенной в окрестности сепаратрисы нелинейного резонанса.

Нам практически ничего не понадобилось нового для того, чтобы сделать столь важный вывод. Теперь произведем оценку ширины стохастического слоя. Второе уравнение в (3.34) позволяет оценить частоту возмущения (3.42):

Согласно (3.36)

Частота малых колебаний в системе (3.37), точно учитывающей резс нансный член, равна Формулы (3.39), (3.36) и неравенство (3.41) дают

Неравенство (3.44) означает, что влияние нерезонансного члена соответствует случаю высокочастотного возмущения. Для ширины стохастического слоя при этих условиях имеется оценка (3.20), которая в данном случае принимает вид

Определение коэффициентов в показателе экспоненты и предэкспоненциального множителя, конечно, требует более аккуратных оценок. Сам

предэкспоненциальный множитель видоизменяется вместе с видом возмущения. Например, если вместо исходного уравнения (3.35) записать более общее выражение

то структура множителя перед экспонентой во многом определяется соотношением между

Внимательный взгляд на весь путь, который проделан для получения формулы (3.45), показывает, что нигде не использовались никакие конкретные свойства динамической системы. Поэтому мы просто заключаем, что в структуру фазового портрета при нелинейном резонансе следует внести весьма существенную поправку.

Всякий нелинейный резонанс порождает сепаратрису, а нерезонансные члены «одевают» ее стохастическим слоем, хотя и очень узким (рис. 5.16). Ширина слоя экспоненциально мала, и показатель экспоненты обратно пропорционален Мы еще вернемся к различным следствиям описанного явления и, в частности, к связанной с ним диффузии Арнольда.

Рис. 5.16. Стохастический слой при нелинейном резонансе