§ 2. Конвективные ячейки

Конвекция жидкости между двумя пластинками, одна из которых подогревается снизу (см. рис. 11.1), явилась моделью, в которой богатое многообразие структур и неустойчивостей дало обильный материал для изучения механизма возникновения турбулентности. Сравнительно недавно появилась еще одна система, в которой также оказалось возможным достаточно хорошо наблюдать смены структур и даже образование дефектов в них. Это — электрогидродинамическая конвекция в жидких кристаллах. Ниже мы остановимся кратко на особенностях наблюдаемых структур. Мы приведем экспериментальные результаты, из которых следует, что

бифуркации структур сопровождаются сменами волновых чисел, определяющих эти структуры. Путь, ведущий к турбулентности, не может быть описан только временной динамикой. Конечно, пространственная и временная последовательности бифуркаций скорее всего зацеплены друг с другом. Однако то, как это происходит, остается пока неясным. Мы увидим, что существует очень много эквивалентных физических ситуаций между структурами в твердом теле и структурами в конвективной жидкости. Отсюда останется совсем немного для того, чтобы ввести понятие турбулентного кристалла.

Рис. 11.8. Конвективные валы

Рис. 11.9. Конвективные валы (вид сверху)

Но точно так же, как в твердом теле, можно будет ввести понятие дальнего порядка в структурной организации ячеек жидкости. И точно так же, как в твердом теле, появятся различные дефекты в структурах.

Конвекция Бенара — Рэлея. Такая конвекция определяется уже приведенными уравнениями (1.1), которые принято записывать в переменных в виде

где - число Прандтля, обозначаемое как а в системе Лоренца, вектор ускорения силы тяжести, направленный по

Основные приближения, в которых принято исследовать экспериментально и теоретически тепловую -это малые надкритичности и большое отношение горизонтальных размеров к вертикальному.

Из уже упоминавшихся результатов Рэлея [8] следовало, что вследствие неустойчивости при должны возникать стационарные конвективные валы (рис. 11.8), где стрелками указаны направления линий тока, а координатные оси те же, что и на рис. 11.1. Их структура определяется лишь одним волновым числом, для которого инкремент максимален. Поэтому валы образуют правильный решеточный слой, подобно кристаллическому монослою. Чем резче граница валов (рис. 11.9), тем меньшее влияние оказывает вклад других значений волнового числа [11].

В то же время исследование Бенаром термоконвекции в силиконовом масле показало [12], что образуются вертикальные ячейки шестигранной формы—гексагоны (рис. 11.10). Приведем элементарные соображения, показывающие, откуда вообще могут взяться какие-либо структуры.

Уравнения (2.1) содержат квадратичную нелинейность. Поэтому, если записать систему (2.1) для фурье-гармоник , то возникнут ограничения, связанные с законом сохранения импульса волн. Для любой взаимодействующей тройки волн должно выполняться условие

где все векторы лежат в плоскости Простейший способ удовлетворить соотношение (2.2) — взять в качестве сторон правильного треугольника:

Это означает, что любая из трех волн а представима в виде

где Направляя вдоль получаем из (2.3), что

Эти уравнения и определяют гексагональную структуру. Условие стационарности решения означает, что следует положить

У этих уравнений есть правые части, которые являются квадратичными полиномами амплитуд Они, в силу симметрии, дают также простое решение

Если включить в рассмотрение нелинейные процессы более высокого порядка, то можно получить много других структур, не говоря уже о несимметричных решениях уравнения (2.2).

Рис. 11.10. Гексагональная структура для осходящих по краю и нисходящих в центре (а) и для нисходящих по краю и восходящих в центре (б) шестиугольника потоков

Отбор той или иной структуры определяется ее устойчивостью. В этом и заключается наиболее сложная часть анализа при малых надкритичностях, т. е. при не слишком больших амплитудах а.

Рис. 11.11. Структура поверхности слоя при бимодальной конвекции

Рис. 11.12. Образование поперечных валов

Рис. 11.13. Синусоидальная неустойчивость, или «зигзаг»

Все материальные константы являются функциями температуры. Разложение их по меняет характер нелинейных членов, создает асимметрию в задаче и влияет на устойчивость той или иной структуры. В частности, зависимость вязкости от температуры определяет область, где выживают конвективные валы, а гексагональные ячейки неустойчивы [14]. Различие картин на рис 11.10 также обусловлено зависимостью вязкости от температуры. При жидкость поднимается по краям ячейки и опускается в центре; при происходит обратное движение.

Возможные конвективные структуры не исчерпываются валами и гексагонами. При больших числах Прандтля и Рэлея возникает так называемая бимодальная структура, характеризуемая уже двумя масштабами (рис. 11.11) [15].

Неустойчивости. Переходу от одной структуры к другой и образованию дефектов внутри какой-либо определенной структуры предшествует развитие какой-либо из неустойчивостей.

Рис. 11.14. Неустойчивость параллельных валов

Рис. 11.15. Варикозная неустойчивость, или линчевание

Рис. 11.16. Условный вид бифуркационного дерева

Существуют некоторые очень характерные неустойчивости, которые мы просто перечислим.

1. Образование поперечных валов (рис. 11.12) приводит к прямоугольным структурам с несоизмеримыми периодами. При этом может возникнуть бимодальная конвекция.

2. Синусоидальная неустойчивость (рис. 11.13) соответствует одинаковому изгибанию всего слоя как целого. Этот вид возмущения называется также «зигзаг».

3. Существует неустойчивость параллельных валов, приводящая к их уплотнению и разрежению (рис. 11.14). В физике твердого тела подобное изменение структуры соответствовало бы удвоению периода. Действительно, неустойчивость характеризуется лишь одним волновым числом, направленным вдоль если период невозмущенных валов был равен а, то, как видно из рис. 11.14, после возмущения он равен 2а. Априори возможно возмущение и более сложной конструкции, которой соответствует еще больший период. В III части мы увидим, как это может происходить.

4. Возмущение «варикозного» типа и варикозные структуры (рис. 11.15) соответствуют появлению перетяжек на валах. В электродинамических средах такие неустойчивости называются пинчеванием. Варикозные структуры могут быть перекошенными.

Переход к турбулентности. Разнообразие структур и неустойчивостей порождает необычайно сложный путь возникновения турбулентности. Сложность обусловлена разными факторами и, в частности, большим числом параметров, определяющих свойства системы. Поэтому реальную последовательность бифуркаций можно изобразить в виде некоторого бифуркационного дерева (рис. 11.16). На нем различным областям соответствуют различные устойчивые решения, а границе между областями соответствует бифуркационная кривая.

Выбирая тот или иной путь в пространстве параметров, например на плоскости мы будем получать различные последовательности бифуркаций, предшествующие образованию турбулентного движения. Это было продемонстрировано в экспериментах по конвекции, опубликованных в [16]. Четыре разных пути были указаны в этой работе при малых числах Прандтля. Параметрами, от которых зависит тот или иной путь, были и отношение вертикального размера к горизонтальному. В основе экспериментов в [16] лежало определение зависимости скорости жидкости от времени и

построение ее фурье-спектра. Такой метод не определяет структур, но дает возможность различать следующие состояния:

а) периодическое отличающееся от стационарного тем, что содержит в спектре скорости только один острый пик. Наличие кратных частот обозначается соответственно

Рис. 11.17. Электродинамическая конвекция в жидких кристаллах

Рис. 11.18. На один период внешнего поля А, приходится точно три конвективных вала

б) квазипериодическое их спектр содержит две или три несоизмеримые частоты;

в) непериодическое существует достаточно широкая полоса в спектре.

Приведем два примера из [16] при одном и том же отношении сторон, двух значениях и переменном

Эти примеры очень поучительны, поскольку они демонстрируют отсутствие универсальности в общей закономерности возникновения турбулентности.

Электрогидродинамическая конвекция. Существует интересная модификация обычной конвекции. Между двумя прозрачными пластинами (рис. 11.17) помещается жидкий кристалл (нематик). Его поляризационные свойства являются сильно анизотропными. Вместо градиента температуры на пластинки подается переменное электрическое поле. В результате этого изменение скорости зацепляется с поляризацией жидкой частицы. Если амплитуда потенциала V поля превышает некоторое критическое значение, то возникают конвективные валы, называемые доменами Вильямса. Дальнейшее увеличение потенциала или изменение частоты приводит к разнообразным неустойчивостям и к образованию новых структур подобно тому, как это имеет место в конвекции Бенара — Рэлея.

Рис. 11.19. Структурный хаос с разрушенным дальним порядком

Использование внешнего электрического поля для изменения условий конвекции создает благоприятные условия для наблюдения бифуркаций, структур и их дефектов. Если, например, поле обладает пространственным периодом несоизмеримым с периодом валов то при значениях разности

где возникает пространственная периодическая структура, в которой на период поля X приходится ровно три вала (рис. 11.18). Дальнейшее увеличение в приводит к появлению двумерной периодической картины с несоизмеримыми периодами [17], аналогичной той, что на рис. 11.15. Эти эксперименты устанавливают непосредственную аналогию между перестройкой

конвективных структур и переходами соразмерность — несоразмерность в твердом теле (такие переходы мы опишем в части III).

С другой стороны, увеличение разности потенциалов V приводит после ряда бифуркаций к турбулентному движению [18]. Этот переход обладает столь важными свойствами, что они требуют специального акцента.

Турбулентность и неупорядоченные структуры. Опишем более подробно последовательность переходов, наблюдавшихся в [18] по мере роста V при частоте поля .

1. Валы слегка искажают свою форму и возникают структуры типа «зигзаг».

2. Форма структур усложняется и появляется варикозная структура.

3. Она сменяется двумерной прямоугольной структурой с различными периодами. Увеличение частоты поля здесь приводит к образованию дефектов, которые случайным образом блуждают по структуре.

4. При дальнейшем увеличении V роль дефектов столь сильна, что квадратные структуры теряют дальний порядок. Возникает структурный хаос (рис. 11.19). При структуры разбиваются на мелкие нерегулярные ячейки, движущиеся также нерегулярно. Их размеры порядка

Эти результаты устанавливают непосредственную связь между неупорядоченной, аморфной структурой и турбулентной динамикой. Они помогут нам в дальнейшем при интерпретации структурных переходов в одномерных цепочках.