Глава 15. НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА

Круг вопросов, который может быть отнесен к понятию нелинейной оптики, обладает большим разнообразием. В этой главе мы остановимся лишь на двух темах. Это, во-первых, идеи геометрической оптики в нелинейных средах, и, во-вторых, взаимодействие поля с резонансной средой. Причины, по которым отобраны эти две темы, определяются необычайно обширным кругом приложений первой темы и неожиданным результатом во второй теме. Идеи нелинейной геометрической оптики, по существу, представляют собой развитие методов, аналогичных методу ВКБ в квантовой механике для исследования распространения узких волновых пучков в нелинейных средах. Эти методы имеют многочисленные приложения не только в оптике, и поэтому результаты здесь следует отнести к категории универсальных (ком. 1). Пример взаимодействия поля с резонансной средой также обладает определенной степенью универсальности, и мы его обсудим в § 2.

§ 1. Нелинейная геометрическая оптика

В § 1 гл. 9 мы уже частично останавливались на методе Уизема при рассмотрении нелинейных волновых пакетов с медленно изменяющимися параметрами. Этот параграф будет посвящен более подробному обсуждению метода геометрической оптики в нелинейных средах.

Узкие волновые пучки. Обычная, линейная, геометрическая оптика рассматривает узкий волновой пучок

или просто луч, который распространяется в слабонеоднородной и слабонестационарной среде. В уравнении амплитуда волны, фаза, для которой справедливы соотношения

Слабая неоднородность и нестационарность среды означают, что параметры и со зависят от координаты и времени достаточно медленно.

Таким образом, выражение (1.1) является достаточно близким к плоской волне, и ее медленное расплывание обусловлено явлениями дифракции и нестационарности.

Теперь перейдем к случаю нелинейной среды. Мы уже знаем, что это, в частности, отражается в нелинейном законе дисперсии

К дифракции добавляется еще одна причина расплывания волнового пакета — нелинейность. Заметим, что термин «расплывание» подразумевает лишь определенный тип деформации волнового пучка. В действительности пучок может как расплываться, так и фокусироваться.

Весь дальнейший анализ проводится при двух предположениях: 1) пучок является узким, т. е. близким к монохроматическому, и поэтому отклонения волнового вектора к от некоторого значения малы;

2) нелинейность мала, и поэтому дисперсионное уравнение (1.3) может быть разложено в ряд по степеням амплитуды А:

где а через а обозначен параметр нелинейности частоты

Здесь производная берется в точке

В духе идей метода геометрической оптики следует сохранить представление волны в форме (1.1). Однако выражение для фазы теперь должно быть обобщено:

где выделены те части волнового числа и частоты, которые волна (1.1) имела бы, если бы среда была однородной, стационарной и линейной. В частности, Это означает, что полное волновое число и полная частота определяемые все теми же уравнениями геометрической оптики (1.2), равны

Следующая операция, которая предстоит, достаточно проста. В уравнении для частоты (1.6) в левой части следует воспользоваться дисперсионным уравнением (1.3), которое, как уже отмечалось, сохраняется в неоднородной среде. Однако нет необходимости использовать (1.3) или даже (1.4) в полной мере, так как разброс волновых чисел в окрестности мал. Это есть приближение узких пучков, и им следует воспользоваться явно. Введем групповую скорость

и учтем, что Выберем также ось х вдоль Разложим в в ряд по до второго порядка включительно:

где обозначено Формула (1.7) представляет собой достаточно общий вид нелинейного закона дисперсии для узких пучков с малыми амплитудами. Ее можно эффективно использовать для получения дифференциального уравнения, которое описывает эволюцию узких пучков.

Параболическое уравнение. Вместо представления поля в виде (1.1) с фазой в (1.5) введем комплексную амплитуду

Из определений (1.5) и (1.6) следует, что амплитуда должна удовлетворять уравнению

в котором есть дисперсионное уравнение со сдвинутыми частотой и волновым числом. Его можно представить согласно (1.7) в виде

где мы заменили вследствие (1.8).

Теперь следует сделать последний шаг и перейти к дифференциальному уравнению для Это делается путем замен

В результате получаем нелинейное параболическое уравнение

Оно имеет следующую структуру. Вся его левая часть, кроме нелинейного члена, является линейным параболическим уравнением, хорошо известным в теории дифракции узких пучков (ком. 2). Добавка нелинейного члена обусловлена поправкой к частоте из-за нелинейного закона дисперсии. Поэтому, если бы мы взяли линейное параболическое уравнение в готовой форме

с известным оператором то его обобщение на слабонелинейный случай заключалось бы просто в замене

в соответствии с (1.4).

Заметим, что оператор имеет вид

которым мы еще воспользуемся.

Уравнение (1.10) лежит в основе многочисленных задач нелинейной оптики, и, прежде чем использовать его, опишем некоторые важные физические процессы.

Самосжатие волновых пакетов. Рассмотрим упрощенный вариант одномерного распространения узкого волнового пакета. Условие совместности уравнений для фаз (1.2) в неоднородной и нестационарной среде приводит к уже известному соотношению

Если подставить сюда вместо со разложение (1.4) по амплитуде, то тогда, волновое число удовлетворяет уравнению

Это уравнение не замкнуто, так как необходимо еще уравнение для амплитуды. Поскольку величина пропорциональна энергии волны, то для нее можно использовать просто уравнение переноса энергии

Оно означает, что в первом приближении перенос энергии происходит с групповой скоростью.

Система (1.13), (1.14) является замкнутой. С ее помощью можно показать, что одномерный волновой пакет неустойчив относительно самосжатия в направлении его распространения. Для этого рассмотрим малое возмущение переменных и линеаризуем систему относительно этих

возмущений. Положим

Возмущения в (1.15) представляют собой малые (по амплитуде) и медленные и длинноволновые (по сравнению с основной частотой и длиной волны) модуляции волнового пакета (рис. 15.1), т. е.

При линеаризации уравнения переноса энергии (1.14) следует учесть, что групповая скорость зависит от к. Поэтому для нее следует также записать разложение

Ниже индекс при и ее производной для удобства будет опущен.

Подставляя (1.15) в систему (1.13), (1.14) и отбрасывая нелинейные члены, найдем дисперсионное соотношение между

Оно показывает, что продольная модуляция волны приводит к неустойчивости возмущения, если

Условие (1.17) означает, что амплитуда модуляции пучка на рис. 15.1 нарастает. В результате степень перетяжек пучка с характерным масштабом увеличивается, т. е. увеличивается глубина модуляции. В результате волновой пучок разбивается на отдельные пакеты, или волновые сгустки. В этом и заключается неустойчивость относительно самосжатия волновых пакетов, или, иначе, модуляционная неустойчивость. Она имеет следующую простую интерпретацию [5].

Рис. 15.1. Самосжатие волнового пакета

Пусть, для определенности, Тогда с ростом А частота возрастает согласно (1.4). Поэтому возникшее возмущение амплитуды, изображенное на рис. 15.1, возрастает на интервале и убывает на интервале а. Посмогрим на соотношение (1.12). На том пространственном интервале, где частота возрастает (т. е. на интервале волновое число убывает со временем, а на интервале а, где частота убывает, волновое число будет возрастать со временем. Это, в свою очередь, означает, что изменение групповой скорости

будет при условии (1.17) уменьшать полную групповую скорость на интервале а и увеличивать ее на интервале Таким образом, волновой пакет на интервале а отстает, усиливая амплитуду в точке максимума, и ускоряется на интервале также усиливая амплитуду в точке следующего максимума. Впадина модуляции при этом углубляется.

Простейшим примером волн, для которых имеет место неустойчивость самосжатия волновых пакетов, являются гравитационные волны на поверхности глубокой воды. Для стационарной волны конечной амплитуды дисперсионное соотношение имеет вид

где - ускорение силы тяжести [9]. Из (1.17) следует, что

Ниже мы приведем более точный анализ рассмотренной неустойчивости, который будет учитывать также дифракционное расплывание волнового пакета.

Самофокусировка. Мы показали, что одним из специфических свойств нелинейной среды является связь между ее амплитудными изменениями и изменениями волнового числа. Эта связь может приводить к неустойчивости возмущений, проявляющейся не только в нарастании амплитуды, но и в деформации волнового пакета. Кроме неустойчивости относительно продольных возмущений амплитуды и волнового числа, возможна также неустойчивость поперечных возмущений. Она заключается в том, что возмущение поперечной компоненты волнового числа может при определенных условиях нарастать со временем. В результате возникает явление самофокусировки волнового пакета (рис. 15.2). В его основе лежат следующие простые физические соображения.

Рис. 15.2. Изгибание волнового фронта может приводить к самофокусировке

Вследствие какого-либо нелинейного эффекта (например, нелинейной электрострикции или поляризуемости) изменяется показатель преломления среды. В результате та область среды, в которой распространяется луч, становится оптически более прозрачной или более плотной. В последнем случае область лучевого канала подобна фокусирующей линзе. Развитие неустойчивости, связанной с нарастанием поперечного волнового числа может останавливаться эффектами дисперсии волнового пакета. Для получения более точной информации следует снова рассмотреть задачу об эволюции малых возмущений.

В качестве исходного рассмотрим нелинейное параболическое уравнение (1.10). Преобразуем это уравнение в систему уравнений для амплитуды и фазы, подставляя в него выражение (1.8). Это дает

Система (1.18) так же, как и уравнение (1.10), обладает универсальной формой и зависит только от коэффициентов при первых членах разложения нелинейного закона дисперсии. Она содержит в себе все упоминавшиеся нами эффекты: самофокусировку и самосжатие волнового пакета, его расплывание из-за дифракции и стабилизацию расплывания из-за дисперсии. Приведем линеаризованный анализ системы (1.18).

Пороги устойчивости. Рассмотрим малые возмущения амплитуды А и фазы

Если подставить эти выражения в (1.18) и оставить только линейные члены, то возникнет система

Система (1.19) могла бы, естественно, быть полученной и непосредственно из нелинейного параболического уравнения (1.10). Ищем ее решение в виде

Это приводит к следующему дисперсионному уравнению для частот

где через обозначено собственное значение оператора на классе функций (1.20)

Рассмотрим различные случаи выражения (1.21). Прежде всего положим что соответствует только продольным возмущениям. Тогда

Условие возникновения самосжатия имеет вид

Если достаточно мало, то неравенство (1.23) свод) к прежнему условию (1.17). Если же

то происходит стабилизация неустойчивости. Член, сдерживающий самосжа пропорционален следовательно, обусловлен дифракционным расплыванием волнового пакета.

Пусть теперь, наоборот, Тогда из (1.21) и (1.22) следует:

Отсюда видно, что самофокусировка возможна лишь при и условии

Если, же неравенство (1.26) не выполнено, то самофокусировка стабилизируется, как и в случае дифракционным расплыванием.

Условия (1.24) и (1.26), а также общие выражения (1.22) и (1.25) позволяют сделать вывод о возможности существования стационарных решений, которые реализуются в условиях стабилизации неустойчивостей. Приведем простейший пример такого решения.

Стационарные волны. Для этой цели рассмотрим исходное нелинейное параболическое уравнение (1.10) в одномерном случае:

где обозначено для удобства

В уравнении (1.27) можно избавиться от члена с Для этого следует перейти в систему отсчета, движущуюся со скоростью

Тогда удовлетворяет уравнению

где черта при для простоты записи опущена.

Уравнение (1.30) называется нелинейным уравнением Шредингера. Решение в виде стационарной волны ищется, как обычно, в виде

где —некоторые постоянные. Подстановка (1.31) в (1.30) дает

Поскольку член всегда может быть исключен заменой переменных, выберем константу так, чтобы коэффициент при нем сразу обращался в нуль:

Обозначим также

Теперь можно считать действительным и переписать уравнение (1.32) в виде

Оно имеет интеграл энергии

и сразу интегрируется в эллиптических функциях. Уравнение (1.33) и выражение (1.34) нам уже хорошо знакомы. Приведем лишь решение в форме солитона при Оно реализуется при и имеет вид

Форма решения (1.31) такова, что в нем плоская волна модулируется функцией Поэтому мы вправе говорить о волновом пакете с огибающей в виде функции (1.35). Это решение возникает при условии которое можно также переписать в виде Если мы вспомним обозначение (1.28), то приходим к неравенству

Оно совпадает с условием (1.17) неустойчивости волнового пакета относительно самосжатия. Таким образом, развитие неустойчивости происходит на начальной, линейной стадии процесса самосжатия. Затем этот процесс стабилизируется дифракционным расплыванием волнового пакета. В результате возникает стационарная модуляция в виде нелинейных волновых сгустков.

Заметим в заключение, что в отличие от уравнения солитона (1.35) скорость является свободным параметром и не зависит от амплитуды.