§ 3. Возбуждение в молекулярных цепочках

В этом параграфе мы сделаем важное замечание, касающееся увеличения числа степеней свободы на одном узле в цепочках. Обычно это имеет место в так называемых молекулярных цепочках. Молекулярные группы, расположенные на узле, могут участвовать в разных типах движения. Связь между этими различными степенями свободы может порождать особые изменения структуры в цепочке, связанные с ее коллективным возбуждением по какой-либо из степеней свободы. В некотором смысле мы уже встречались с близкой ситуацией в § 2 гл. 15. Возбужденное состояние атомов связывалось с резонансными фотонами электромагнитного поля. Это приводило к пленению фотонов, создавая тем самым когерентную динамическую сверхструктуру в системе с длиной волны, равной длине волны фотонов. Характерной моделью такого типа являются коллективные возбуждения в -спиральных белковых молекулах (ком. 4).

Описание модели. В общих чертах структура белковой молекулы образуется из так называемых пептидных групп, соединенных тремя цепочками водородных связей. Среди различных пространственных конфигураций белковой цепочки существует спиральная структура, называемая -спиралью. Шаг спирали равен 5,4 А, радиус спирали-2,8 А, а среднее число пептидных групп, приходящееся на один виток спирали, равно 3,6.

Вопрос, стимулировавший появление описываемой ниже модели, был связан с определением механизма переноса вдоль белковых молекул довольно большой энергии Эта энергия почти в 20 раз превышает тепловую энергию в нормальных условиях. Вместе с тем ее недостаточно для возбуждения электронных состояний. Вибрационные колебания в пептидных группах (они называются Амид I) имеют энергию и поэтому они могли бы играть роль основного вида возбуждения, с помощью которого происходит передача энергии вдоль молекулы. Однако эти колебания в отдельной пептидной группе имеют очень малое время жизни В работах Давыдова (см. [9]) было предложено рассматривать коллективное возбуждение вибрационных колебаний. Их связь друг с другом в различных ячейках цепочки осуществляется через смещения пептидных групп. В результате может возникнуть коллективное возбуждение, распространяющееся вдоль

цепочки и переносящее необходимую большую энергию. Процесс распространения возбуждения деформирует цепочку, создавая в ней определенную сверхструктуру локальных равновесных положений центров пептидных групп. Фактически существование двух различных степеней свободы в каждом узле цепочки (вибрационные колебания и смещения вдоль цепочки) создает возможность появления новых структурных состояний цепочки.

Коллективные возбуждения. Приведем элементарный вывод уравнений движения для цепочки, обладающей описанными выше свойствами. Пусть - комплексная амплитуда вероятности, а - плотность вероятности возбуждения молекулярной (пептидной) группы с номером Для нее принята нормировка

Обозначим через смещение группы, а через —импульс, канонически сопряженный смещению

Связи между молекулярными группами обладают упругими свойствами. Поэтому при не очень больших смещениях энергию деформации молекулярной цепочки можно записать в простом виде, учитывающем только взаимодействие ближайших соседей:

где масса молекулярной группы и а — продольная упругость цепочки.

Введем еще две константы, определяющие взаимодействия внутри цепочки. Пусть константа связи между процессами возбуждения одной молекулярной группы и ее смещением, энергия резонансного взаимодействия между соседними группами. За счет этого последнего взаимодействия может осуществляться прямой перескок возбуждения вдоль цепочки.

Теперь можно записать гамильтониан цепочки в следующей простейшей форме [9]:

где энергия возбуждения молекулярной группы. Переменные удовлетворяют гамильтоновским уравнениям движения:

где - постоянная Планка. Поэтому гамильтониан (3.3) приводит к следующим уравнениям движения:

При достаточно плавных изменениях величин вдоль цепочки можно перейти от уравнений (3.4) к дифференциальным уравнениям. Для этого, очевидно, надо ввести координату z вдоль цепочки и считать малой величину где - расстояние между группами в цепочке. Положим

Здесь возникли две новые константы задачи: энергия возбуждения и его импульс к. Их появление обусловлено инвариантностью гамильтониана (3.3)

относительно преобразования смещения времени и трансляции Это приводит к законам сохранения числа возбуждений, энергии и импульса к. Первый из них выражается в условии нормировки амплитуд Полученная система уравнений в частных производных заменяет систему (3.4):

где

и с — скорость звука в цепочке:

Будем искать решение системы (3.5) в виде стационарной волны

распространяющейся вдоль со скоростью Подстановка (3.6) в (3.5) приводит к окончательным уравнениям:

Условие нормировки (3.1) требует конечности при Поэтому из первого уравнения (3.7) следует связь между скоростью волны V и импульсом возбуждения

Отсюда видно, что возбуждение не может распространяться вдоль цепочки со сколь угодно большой скоростью. Существует предельная скорость распространения резонансного переноса вибрационного возбуждения от одной молекулярной группы к другой:

Она определяется только константой резонансного взаимодействия между соседними группами.

Соотношение (3.8) показывает также, что длинноволновому приближению соответствует адиабатическое приближение медленных движений вдоль цепочки В этом случае

Третье уравнение в (3.7) приводит к соотношению между и Ф:

Определение упругой энергии (3.2) также можно переписать в континуальной форме:

Теперь благодаря соотношению (3.11) у нас остается только одно уравнение относительно Для этого достаточно во втором уравнении (3.7) и в (3.12) выразить через При скоростях V, меньших скорости звука с, можно получить решение в виде солитона

где

Решение (3.13) называют также солитоном Давыдова. С помощью формулы (3.11) сразу определяются смещения в цепочке:

Солитонное решение возникает при определенном значении энергии

При энергия может быть представлена в стандартной форме

определяющей эффективную массу солитона

В белковых молекулах упругая константа продольных деформаций а мала из-за слабости водородных связей. Это обусловливает довольно большую массу солитона Поэтому даже при малых скоростях движения солитон может переносить большую энергию.

Общая картина структурного изменения цепочки выглядит следующим образом. Возбуждение распространяется вдоль цепочки со скоростью оказываясь как бы плененным молекулярными группами. Его распространение сопровождается упругой деформацией цепочки. Волна деформации может быть также периодической. Устойчивость такой картины определяется разными факторами. Один из них заключается в том, что движение солитона может происходить со скоростью, очень малой по отношению к скорости звука. Поэтому солитон не может излучить фононы и затухнуть, преобразуя свою энергию в тепловую энергию. Еще одна очень важная причина, способствующая стабильности солитона, связана с существованием энергетической щели, которая согласно (3.16) есть просто :

Это означает, что для возбуждения солитона надо создать начальную энергию больше, чем Но это же означает, что для разрушения солитона необходимо разорвать связанное состояние упругих деформаций цепочки с резонансным взаимодействием между молекулярными группами. Для подобного «разрушения» требуется та же энергия

Таким образом, мы видим, что увеличение числа степеней свободы в цепочке может привести к новым структурным возможностям, обусловленным спецификой связи между этими степенями свободы.

КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 16

(см. скан)