§ 2. Перекрытие резонансов

Физическая ситуация, приводящая к универсальному отображению, может быть рассмотрена и иначе, путем использования разложений в ряд Фурье. Хотя этот путь и является в значительной степени качественным, тем не менее он позволяет взглянуть на проблему зарождения хаоса еще с одной, новой стороны.

Построение системы резонансов. Вернемся к упрощенному гамильтониану (1.18). Имеем

Воспользуемся представлением

Тогда (2.1) переходит в

Гамильтониан (2.2) приводит к уравнениям движения

Теперь мы поступаем так, как это делалось при исследовании нелинейного резонанса в § 1 гл. 3. Условие резонанса получается дифференцированием фазы в (2.3) по времени и приравниванием результата нулю:

Используя второе уравнение (2.3) и оставляя только положительные имеем

где значение действия, при котором выполняется резонансное условие (2.4).

Можно выписать систему резонансных действий:

Рассмотрим динамику в окрестности одного из них, например забыв временно про все остальные. Это означает, что в уравнении (2.3) оставляют только резонансные слагаемые:

Система (2.6) приводится к уравнению фазовых колебаний

которое интегрируется и дает частоту фазовых колебаний, равную ширине резонанса по частоте:

Это выражение означает также, что ширина резонанса по действию равна

Рассмотрим теперь ряд (2.5). Расстояние между ближайшими резонансными значениями действий в этом ряду обозначим через 81. Его можно найти из уравнения резонанса (2.4). Имеем

Отсюда для расстояния между резонансами по частоте находим

Аналогично (2.8) можно записать расстояние между резонансами по действию, используя формулу

Отсюда

Условие перекрытия резонансов. Теперь введем параметр К, определяющий степень влияния соседних резонансов друг на друга, или, иначе, степень их взаимодействия:

Воспользуемся для его определения формулами (2.7) и (2.9):

То же самое выражение получается, если определить К через изменение действий, а не частот. Согласно формулам (2.8) и (2.10), имеем

Теперь нам остается сделать последний шаги сравнить результат (2.11) или (2.13) с формулой (1.21). Это приводит нас к очень важному соотношению

которое мы сейчас подробно обсудим.

Параметр К имеет простой физический смысл степени перекрытия резонансов. Он равен отношению ширины резонанса, вычисленной в отсутствие всех остальных резонансов, к расстоянию между резонансами (рис. 5.11).

Рис. 5.11. Перекрытие резонансов

Условие стохастичности означает, что резонансы перекрываются В частности, рассматриваемая модель (2.1) — (2.3) содержит бесконечное число резонансов, и критерий К, означает взаимное перекрытие всех соседних резонансов. Можно отсюда пойти дальше и сделать утверждение о появлении областей хаоса даже в том случае, если имеются и перекрываются всего Два резонанса Запишем соответствующее уравнение движения:

При малых оно переходит в уравнение маятника, а при малых в параметрически возбуждаемый линейный осциллятор.

Представим уравнение (2.15) в виде

Отсюда видно, что и параметр перекрытия резонансов равен К. Численный анализ, действительно, показывает образование стохастических областей на фазовой плоскости при Пример сильного перекрытия резонансов приведен на рис. 5.12 для модели (2.15) (ком. 6).

Сложная система резонансов может перекрываться на фазовой плоскости весьма причудливым образом и образовывать сложную сеть областей хаоса и островков устойчивости, погруженных в стохастическое море, как это видно, например, из рис. 5.4. Какова та причина, которая приводит к появлению стохастичности при перекрытии резонансов? Она связана с более глубокими корнями теории хаоса, которые мы рассмотрим в следующем параграфе.

Рис. 5.12. Стохастичность при перекрытии двух резонансов (К и 1,2)