Часть I. ЧАСТИЦЫ

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ДИНАМИКИ

Физические системы можно условно разделить на два вида — частицы и поля. Их принято описывать по-разному, хотя и существует стремление, которое иногда удается реализовать, описывать поля так же, как и частицы. Возможно, что в рамках классической физики можно найти единый способ описания частиц и полей такой, в котором их основные свойства можно сформулировать в некоторой универсальной форме. Однако свойства частиц и полей настолько отличаются друг от друга, что мы вынуждены называть это различие принципиальным. Прежде всего оно связано с числом степеней свободы. Любая физическая система из конечного числа частиц имеет конечное число степеней свободы, равное числу частиц, умноженному на некоторое небольшое число. Поля с этой точки зрения характеризуются бесконечным числом степеней свободы, и при предельном переходе к бесконечности возможны многие неожиданности, которые, как мы увидим далее, реализуются природой достаточно искусно и разнообразно.

Это введение объясняет, почему изложение динамики систем следует разделить на две части и почему первую из них следует начать с динамики частиц. Классическая динамика частиц является наиболее развитой областью физики, и здесь существуют удивительные по своей красоте результаты, составляющие определенный фундамент для понимания нелинейных явлений самой разнообразной природы. В этой и следующей главах будут приведены в краткой форме основные результаты классической механики частиц, необходимые для дальнейшего изложения.

§ 1. Фазовое пространство

Исследование свойств динамических систем наиболее удобно и естественно проводить, используя понятие фазового пространства.

Траектории и фазовый, поток. Состояние механической системы или частицы задается точкой в фазовом пространстве -мерными векторами Их принято называть обобщенными координатами и обобщенными импульсами. В зтом случае принято говорить, что система имеет. степеней свободы, а ее фазовое пространство -мерно.

Изменение состояния системы со временем приводит к перемещению точки в фазовом пространстве. Так возникает траектория системы Оператор переводящий систему из одного состояния в момент времени в другое состояние в момент времени

называется фазовым потоком. Обычно фазовый поток задается с помощью дифференциальных уравнений движения:

где точка означает дифференцирование по времени. Решением уравнений (1.2) является траектория частицы

зависящая от начальных условий и называемая также фазовой кривой.

Фазовые кривые не пересекаются. Исключением являются некоторые кривые, составляющие множество нулевой меры.

Рис. 1.1. Инфинитное (а) и финитное (б) движение в фазовом пространстве

Поэтому, с точностью до этого множества, можно сказать, что оператор в (1.1) осуществляет взаимно однозначное отображение фазовой плоскости в себя.

В зависимости от того, размещается фазовая кривая в неограниченной или в конечной областях фазового пространства для движение называется соответственно инфинитным или финитным (рис. 1.1).

Гамильтоновские системы. Важной характеристикой физических систем является существование у них определенных свойств симметрии движения. Отражением этих свойств являются физические инварианты движения, т. е. величины, не изменяющиеся со временем.

Рис. 1.2. Перемещение фазового объема

Пример инварианта, с которого следует начать, - фазовый объем. Рассмотрим в фазовом пространстве некоторую конечную область и множество всех точек этой области как начальные условия. Можно говорить о фазовой жидкости, состоящей из фазовых точек, и о ее объеме . С течением времени фазовая жидкость перемещается вследствие фазового потока (1.1) или (1.2), и фазовая капля к моменту времени занимает фазовый объем (рис. 1.2). Если фазовый объем в результате движения сохраняется, то или

Свойство (1.4) имеет простой физический смысл. Сопоставим каждой фазовой точке, входящей в объем некоторую частицу. Тогда величина определяет число частиц в фазовом объеме а формула (1.4) выражает не что иное, как закон сохранения количества фазовой жидкости.

Условие сохранения фазового объема выделяет определенный класс физических систем, называемых гамильтоновскими. Для них уравнения движения задаются с помощью некоторой функции называемой гамильтонианом или функцией Гамильтона. Они имеют вид

т. е. функции в уравнениях (1.2) обладают свойством

где вектор тока фазовой жидкости. Уравнение (1.6) выражает свойство несжимаемости фазовой жидкости.

Теорема Лиувилля. Для гамильтоновских систем (1.5) фазовый объем сохраняется, или, в более общей формулировке: если выполнено свойство (1.6), то

(Доказательство можно найти, например, в [1, 2].)

Эта теорема, имеющая многочисленные приложения в самых различных областях физики, выделяет главный физический инвариант—фазовый объем — и связывает с ним гамильтоновский характер системы.

Заметим, что указанная связь действует только в одну сторону. Существуют не гамильтоновские динамические системы, сохраняющие фазовый объем, например система, описываемая одним уравнением (более сложный пример будет приведен ниже).

Уравнение непрерывности. Иногда бывает удобно рассматривать временную эволюцию не точки в фазовом пространстве, а элемента фазового объема.

Рис. 1.3. Изменение элемента фазового объема в устойчивом (а) и неустойчивом (б) случаях

Например, по характеру деформации границы фазового объема можно судить об устойчивости или неустойчивости движения (рис. 1.3). В таких случаях используется функция распределения частиц в фазовом пространстве, которая удовлетворяет условию нормировки

Уравнение непрерывности

выражает в дифференциальной форме закон сохранения числа частиц в фазовом пространстве.

В гамильтоновском случае условие несжимаемости (1.6) приводит уравнение (1.9) к форме, называемой уравнением Лиувилля:

Рис. 1.4. Невозможность подобных траекторий следует из теоремы Лиувилля

Здесь подразумевается, что величины выражены с помощью (1.5) как функции

Важное замечание: уравнение (1.10) содержит только ту информацию о свойствах фазовых траекторий, которая имеется в уравнениях движения (1.5). Это следует сразу из свойств уравнений в частных производных первого порядка. Решение (1.10) может быть записано в виде

где связь между и определяется уравнениями движения (1.5), а -начальное условие для распределения фазовой жидкости. В частности, для точечной частицы имеем

где определяют траекторию частицы.

Уравнение Лиувилля (1.10), так же как и уравнение движения (1.5), обратимо во времени.

Среди множества возможных траекторий можно предположить существование таких, которые имеют асимптотически устойчивое положение равновесия или асимптотически устойчивый предельный цикл (рис. 1.4). Теорема Лиувилля исключает подобную возможность [2]. Следовательно, это же утверждение справедливо для гамильтоновских систем.