§ 7. Общие замечания о появлении хаоса

Даже та сравнительно небольшая информация, которой мы теперь располагаем, о появлении стохастичности указывает на необычайную сложность этого явления. Но, пожалуй, самое сложное в нем — это обнаружение новых и подчас неожиданных свойств при каких-либо, на первый взгляд вполне безобидных, изменениях в системе. Поэтому некоторый итог, который мы сейчас подведем, является достаточно условным. Это справедливо тем более, что ряд свойств хаоса мы сможем описать чуть позднее после введения некоторых новых понятий.

Пожалуй, все последующее описание следует начать с замечания о том, что речь все время будет идти о реальных системах, совершающих финитное движение. Это очень важно, так как многие формальные модели имеют строго регламентируемые и вполне доступные для описания свойства.

«Стохастическая паутина». В гамильтоновских системах при произвольном возмущении можно всегда выделить в первом порядке резонансные и нерезонансные члены. Резонансные члены порождают сепаратрисы нелинейного резонанса и связанные с ними системы эллиптических и гиперболических особых точек. В окрестности каждой из сепаратрис образуется стохастический слой некоторой ширины. Стохастические слои различных резонансов могут объединяться, если сепаратрисы резонансов перекрываются, и образовывать более широкие области стохастичности. Каждая ячейка сепаратрисы, таким образом, «одевается» стохастическим слоем, который можно рассматривать в гамильтоновском случае как «квант стохастичности». Стохастическое море в фазовом пространстве образуется в результате слияния квантов стохастичности.

Устройство каждого кванта стохастичности также является сложным. В центре его — островок устойчивости, порожденный эллиптической точкой. Множество эллиптических точек имеется и внутри стохастического слоя. Каждая из них также порождает островок устойчивости в соответствии с теорией КАМ. На этот раз размеры островков второго порядка существенно меньше островка или островков первого порядка и т. д.

Приведенные рассуждения относились к первому порядку теории возмущений. В следующем порядке, очевидно, внутри каждого островка устойчивости возникнут новые сепаратрисы и новые кванты стохастичности.

Рис. 5.26. Структура областей стохастичности в зависимости от числа степеней свободы: а)

Таким образом, возникает иерархия структур в фазовом пространстве, где области устойчивости разделены каналами стохастичности. Если число степеней свободы то инвариантные торы делят фазовое пространство, и стохастические слои ограничены инвариантными кривыми (рис. 5.26а). Если же то резонансные торы пересекаются в фазовом пространстве. Поэтому пересекающая сеть сепаратрис одевается стохастическим слоем (рис. 5.266). Отсюда следует, что при все фазовое пространство системы независимо от величины возмущения покрыто стохастической паутиной. Хотя толщина паутины может быть и экспоненциально малой, однако важно ее существование и возможность блуждания по ней частицы.

Диффузия Арнольда. Вывод, к которому мы пришли, представляет собой фундаментальное свойство гамильтоновских систем, обусловленное как локальной неустойчивостью системы, так и ее топологией Блуждание частиц по стохастической паутине носит название диффузии Арнольда [37]. По сети пересекающихся резонансов частица может уйти сколь угодно далеко от своего первоначального состояния. Этим, в частности, объясняется и замечание об условном сохранении адиабатических инвариантов при которое было сделано в соответствующем месте.

Оценим время диффузии Арнольда Для относительной ширины стохастического слоя имеем экспоненциальную опенку

где значение энергии на сепаратрисе. Для коэффициента диффузии можно написать

где характерное время, за которое энергия изменяется на величину Это время очень неоднородно внутри стохастического слоя, и для него можно принять

где частота фазовых колебаний, а -частота малых колебаний системы. Соотношения между нами уже были получены. Подставляя (7.3) и (7.1) в (7.2), находим

т. е. экспоненциально большое время диффузии. Онои определяет время потери устойчивости системы.

В действительности оценка (7.4) является достаточно грубой. В ней отсутствует, в частности, зависимость от числа степеней свободы системы . В работе [38] получена следующая оценка:

где

С ростом параметр а уменьшается, и время неустойчивости резко возрастает. Различные примеры диффузии Арнольда можно найти в [2, 4].

Кантор-торы. До сих пор мы связывали появление хаоса с разрушением инвариантных торов, которые мы будем называть также КАМ-торы. Остановимся теперь на некоторых деталях этого разрушения. Рассмотрим для удобства универсальное отображение, и здесь будет полезна его механическая аналогия, приведенная в § 7 гл. 1.

Рассмотрим цепочку осцилляторов с потенциальной энергией

и это дает

где а — константа упругого взаимодействия -внешнее силовое поле. Условия равновесия цепочки получаются из уравнений

Уравнение (7.7) можно представить в виде отображения, если ввести переменную Тогда (7.7) переходит в универсальное отображение

Рис. 5.27. Цепочка осцилляторов в поле тяжести

Рассмотрим теперь периодические решения уравнения (7.7) или (7.8). Расположим цепочку осцилляторов на круге единичного радиуса в вертикальной плоскости (рис. 5.27). Действие силы (например, силы тяжести направлено по вертикали вниз. Если, например, то мы в точности получаем стандартное отображение. Координаты осцилляторов есть просто фазы их положения на круге.

Предположим, что мы заменили цепочку осцилляторов упругой нитью, надетой на цилиндр. Если действие силы тяжести достаточно велико, то в верхней части нити на цилиндре появится разрыв. Далее этот разрыв будет распространяться вокруг цилиндра с некоторым интервалом, становясь все меньше в размере. Возникает бесконечная счетная последовательность

разрывов, сумма которых есть, однако, конечная величина. В этом и заключается аналогия с инвариантным тором, который имеет канторову структуру и называется кантор-тором (ком. 14). Иначе, кантор-тором называется инвариантное решение уравнений (7.7) и (7.8)

в котором -периодическая функция, произвольное число и которое имеет канторовскую (дырявую) структуру. Такое решение имеет несоизмеримый с период. Приведем точный пример такого решения [39]. Положим

где пилообразная функция определена выражением

Уравнение (7.7) превращается в следующее:

Оно имеет решение:

где

и координатный угол положения осциллятора на круге.

В области стохастичности на месте КАМ-тора, который разрушается, появляется кантор-тор с частотой Его топологическая размерность равна нулю. Поэтому кантор-торы не занимают в фазовом пространстве объем конечной меры. То, что кантор-торы дырявы, позволяет траекториям системы проходить через них, совершая, таким образом, диффузионное движение. Канторторы неустойчивы, и в любой их окрестности имеются траектории, экспоненциально удаляющиеся от них.

Чем ближе кантор-торы к границе стохастичности, тем меньше в них щели и тем сильнее они замедляют диффузию. Поэтому в области вблизи границы стохастичности траектория системы должна некоторое время продвигаться вдоль кантор-тора, пока не появится та щель, через которую траектория пересечет его. Вдали от границы стохастичности кантор-торы, по-видимому, существенной роли не играют.

Замедление диффузии. Можно сказать, что кантор-торы образуют барьеры для диффузии частиц в фазовом пространстве. Преодоление барьеров приводит к задержке частиц вблизи них. В результате этого распределение частиц имеет повышенную плотность вблизи кантор-торов. Обычно такая картина хорошо заметна при численном анализе. Более того, по местам большой плотности функции распределения частиц можно судить о существовании в этом месте кантор-тора с малыми щелями и соответственно длинными барьерами. Обычно это имеет место вблизи резонансов не очень высокого порядка. Такие резонансы имеют крупные островки, и ближайший к островку разрушенный КАМ-тор, превратившийся в кантор-тор, имеет очень малые щели.

Отсюда следует очень важный вывод о существовании локальных максимумов функции распределения частиц вблизи резонансных островков. Аналогичные максимумы должны проявляться и в фурье-спектре траектории на соответствующих частотах.

Расширение этого замечания приводит к утверждению о существовании определенной неравномерности в процессе перемешивания в фазовом

пространстве с несколькими временными масштабами. Эти эффекты проявляются тем более, чем ближе мы находимся к порогу стохастичности. При больших превышениях этого порога эффекты, связанные с кантор-торами и с неоднородностью перемешивания, пренебрежимо малы.

Число вращения. Многие примеры, которые мы рассматриваем, сводятся тем или иным способом к дифференцируемому отображению плоскости в себя:

Рис. 5.28. Превращение инвариантной кривой в окружность

Если рассматривается инвариантная кривая С, то с помощью соответствующей замены переменных она может быть переведена в окружность (рис. 5.28). Тогда отображает точки окружности на себя. Будем считать, что формула (7.11) задает именно такое отображение, т. е. переменные выбраны следующим образом:

Формулы (7.12) отображают окружность на себя. Если функция А не зависит от то это отображение сохраняет меру. Хотя функция А и зависит от радиуса окружности на фазовой плоскости но при фиксированном она смещает точку на окружности на угол за один шаг. Число

называется числом вращения, и зависимость А от I для простоты записи не указана. Его смысл — средний угол поворота за один шаг, деленный на

Если рационально, то точки отображения (7.12) образуют периодическую траекторию. Если иррационально, то точки траектории равномерно заполняют всю окружность. Для нас важны следующие свойства числа вращения [14].

1. Предел (7.13) существует.

2. Если на окружности есть дуга, свободная от точек траектории, задаваемой уравнениями (7.12), то все образы этой дуги, получаемые последовательными применениями -отображения, попарно не пересекаются. Это свойство может объяснить, как образуются кантор-торы.

Переход КАМ-тор — кантор-тор. Интегралу движения соответствует инвариантный тор, или, скажем просто, при инвариантная окружность в сечении тора. За исключением специальных вырожденных случаев с рациональными точки траектории заполняют окружность всюду плотно.

Можно предположить, что разрушение интеграла движения связано с появлением в этой инвариантной окружности щели конечной меры. Тогда в силу отмеченного выше второго свойства дифференцируемого отображения окружности на себя эта щель «размножает» себя бесконечное число раз без попарных пересечений, образуя канторовскую рыхлую структуру на месте инвариантной окружности. Новое канторовское множество точек траектории, во-первых, инвариантно и, во-вторых, лежит на той же окружности. Что же изменилось? Сечение КАМ-тора имело топологическую меру, соответствующую мере кривой. Теперь сечения кантор-торов имеют меру, по крайней мере, меньше меры кривой.

Можно поэтому высказать такую гипотезу, что разрушение инвариантных нерезонансных торов связано с уменьшением их топологической меры. В этом

и заключается переход от КАМ-торов к кантор-торам при переходе через критические взаимодействия.

«Дьявольская лестница». Еще одно свойство числа вращения полезно привести, хотя мы и не имеем здесь возможности останавливаться на нем подробнее.

Рассмотрим, например, структурно-устойчивые отображения (7.12), где функция -дифференцируемая. Это возможно в том и только в том случае, когда рационально и все циклы не вырождены [14].

Будем теперь следить за последовательностью изменений числа

в зависимости от и от какого-либо другого параметра задачи. Она имеет вид примерно такой, какой изображен на рис. 5.29. Каждой черточке соответствует рациональное значение Последовательность длин интервалов является в высшей степени нерегулярной и, кроме того, интервал между двумя последовательными отрезками плотно заполнен (как множество рациональных чисел) более тонкой структурой черточек, которые, вообще говоря, не заходят друг на друга. Это и есть ступеньки «дьявольской лестницы».

Введение и исследование аналога числа вращения в многомерном случае пока отсутствуют. Поэтому трудно сказать, что соответствует «дьявольской лестнице» в этом случае.

Рис. 5.29. Пример «дьявольской лестницы»

КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 5

(см. скан)

(см. скан)