§ 7. Отображения

До сих пор мы имели дело с динамическими системами, эволюция которых во времени определялась дифференциальными уравнениями движения гамильтоновского вида. Существует и другая возможность,

которая определяет динамику системы с помощью уравнения в конечных разностях. Например,

где -оператор сдвига на время

В дальнейшем удобно более короткое обозначение,

где

Уравнения (7.1), (7.2) задают также отображение фазового пространства в себя.

Дискретное время. Существуют такие динамические системы, в которых появление дискретного времени является вполне естественным, и, наоборот, трудно ввести описание их с помощью дифференциальных уравнений. Примером таких систем могут служить всевозможные игры, в которых переход от состояния с номером к состоянию с номером определяется ходом.

Рис. 1.24. Кривые проходящие через отмеченную последовательность точек, могут удовлетворять разным уравнениям

Рис. 1.25. Отображение Пуанкаре

Каждый ход в шахматной партии, совершаемый в соответствии с некоторым планом (он должен определяться видом оператора сопровождается изменением состояния на шахматной доске.

Однако и обычные динамические системы с гамильтонианом

могут быть представлены иногда в форме отображения. Наиболее естественно такое представление возникает в том случае, когда действующее на систему возмущение является периодическим во времени с периодом, например, Т:

В этом случае достаточно рассмотреть решение уравнений движения на некотором интервале и найти путем сшивки решений вид оператора сдвига на период Тогда определение решения сводится к последовательному итерационному процессу

где начальное условие. Кроме того, траектория системы, определяемая с помощью представляет собой счетную последовательность точек:

Как мы увидим далее, иногда сведение дифференциальных уравнений движения к отображениям позволяет упростить задачу и решить ряд сложных вопросов.

Если, однако, исходная динамическая система сразу задана в виде отображения, то далеко не всегда можно построить эквивалентные ей дифференциальные уравнения. Это отчасти связано с тем, что если через заданную последовательность точек можно провести одну кривую, то можно провести также и неограниченное число кривых (см. примеры на рис. 1.24).

Отображение Пуанкаре. В случае одной степени свободы динамические системы интегрируются всегда в квадратурах. Системы с гамильтонианом где являются единственными компонентами, можно классифицировать как системы с степенями свободы. В этом случае отображение (7.2) переводит плоскость в плоскость. Это свойство можно использовать при где изображение траектории в фазовом пространстве размерности 4 практически невозможно.

Рис. 1.26. Последовательные точки отображения Пуанкаре

Рассмотрим для простоты случай с Пересечем тор плоскостью перпендикулярно его центральной оси (рис. 1.25). Каждый раз, когда траектория «протыкает» эту плоскость, будем отмечать координату траектории на плоскости. Пусть есть координата пересечения траектории с плоскостью. Тогда два последовательных пересечения могут быть связаны друг с другом с помощью некоторого соотношения

Оператор определяется с помощью уравнений движения и задает отображение Пуанкаре.

Отображение Пуанкаре действует в пространстве меньшей размерности, чем размерность фазового пространства. Это упрощение дается той ценой, которую следует платить, чтобы найти вид оператора Для этого, очевидно, необходимо частично проинтегрировать задачу. Еще одна важная особенность отображения Пуанкаре связана с тем, что оператор в (7.5) есть оператор сдвига на время зависящее от номера (рис. 1.26). Хотя мы снова описываем траекторию последовательностью точек на плоскости типа (7.4), однако последовательность моментов времени

действия операторов не является эквидистантной. Это, как мы увидим далее, определенным образом отражается на свойствах исследуемых величин.

Поясним последнее замечание более подробно. Рассмотрим две разные динамические системы с Отображения обладают определенным классом универсальности. Поэтому можно ожидать, что при не очень существенных ограничениях операторы для обеих систем одинаковые, с точностью до значений параметров. Однако последовательности и них могут оказаться существенно различными. Тогда некоторые динамические свойства этих систем различны (например, корреляционные функции).

Простое следствие: если система имеет инвариантный тор, то отображение Пуанкаре имеет инвариантную кривую (рис. 1.25).

Равновесие атомных цепочек. Приведем простой пример возникновения отображения. Рассмотрим одномерную цепочку атомов которые находятся в некотором внешнем поле кроме того, взаимодействуют с ближайшими соседями (рис. 1.27). Гамильтониан такой системы может быть записан в виде

где —координата и импульс атома цепочки тик); -потенциал парного взаимодействия атомов, зависящий от их взаимного расстояния; -потенциал внешнего поля, который обычно является периодическим с некоторым периодом

Рассмотрим условие стационарности атомов. Мы уже пользовались такими условиями при получении (2.4):

Рис. 1.27. Атомная цепочка (а) и потенциал внешнего поля (б)

Первое уравнение в (7.8) означает просто отсутствие движения атомов в стационарном состоянии; второе после подстановки из (7.6) дает уравнение

которое определяет положение равновесия атомов. Введем новую переменную

и с ее помощью представим конечно-разностное уравнение (7.9) в виде отображения

Здесь штрих обозначает дифференцирование по аргументу и есть функция, обратная к

Пусть, например, (атомы связаны линейными упругими пружинками). Тогда

Используя эти выражения, преобразовываем (7.10) в следующее отображение

которое определяет равновесные положения атомов цепочки. В этой задаче нет времени. Индекс определяет пространственное положение атомов. И, тем не менее, задача неожиданно свелась к отображению (7.11), которое мы неоднократно будем встречать в дальнейшем.

Мы обсудим задачу об атомной цепочке подробнее в III части. Выше отмечалось, что далеко не всякому отображению можно поставить в соответствие эквивалентное дифференциальное уравнение. В данном случае это легко сделать. Рассмотрим гамильтониан

где роль времени играет координата х и точки соответствует невозмущенному положению атомов в цепочке. Выражение (7.12) порождает следующие уравнения движения:

Чтобы получитьиз (7.13) отображение, надо поступить следующим образом. Заметим, что между точками происходит невозмущенное «движение» системы:

котороепредставляет собой свободное «вращение» с «частотой» т. е.

Решение в форме (7.14) справедливо на любом интервале Значения на соседних интервалах можно сшить. Условия сшивки и определят отображение Для этого определим:

Соответственно

Проинтегрируем (7.13) по малой окрестности Получаем

где мы воспользовались формулой (7.14) и тем, что и непрерывно в точке

В области имеет место свободное вращение (7.14). Поэтому

Совмещая (7.15) и (7.16), получаем окончательно отображение

которое совпадает с (7.11), если положить

Рассмотренный пример поучителен во многих отношениях. Он позволяет сопоставить итерационному процессу некоторую конкретную динамическую систему (7.12), (7.13), в которой отображение возникает в результате действия периодической последовательности толчков типа -функций [13, 14]. Некоторые вопросы, как мы увидим далее, удобно рассматривать, используя уравнения движения (7.13), а не отображение (7.17).