§ 2. Теория Колмогорова-Арнольда - Мозера (КАМ)

Пример нелинейного резонанса показывает, что даже сколь угодно малое возмущение может привести к сильной качественной перестройке фазового портрета системы. Поэтому использование различных приближенных методов не может компенсировать степень нашей неосведомленности о том, что же все-таки происходит под влиянием возмущения в системе и какие типичные физические явления возможны. Прежде всего следует выделить некоторую формальную постановку задачи, которая соответствовала бы общей ситуации. Это было сделано Пуанкаре.

Основная задача динамики. Такой задачей является задача о возмущениях условно-периодического движения, примеры которой мы уже приводили.

Гамильтониан системы с степенями свободы имеет вид

Его невозмущенная часть описывает условно-периодическое движение на -мерном торе. При торы являются инвариантами; действий -первые интегралы движения. Траектория является обмоткой тора, если частоты

несоизмеримы, и всюду плотно заполняет тор. Если число независимых частот равно то траектории всюду плотно заполняют тор порядка.

Что можно сказать о траекториях системы при включении возмущения, не ограничивая ответ какими-либо временными неравенствами? Практическое значение ответа на этот вопрос трудно переоценить. Фактор «большого времени» возникает как в задачах микромира (устойчивость частиц в ускорителе, где они совершают огромное число оборотов), так и в задачах астрономических масштабов (устойчивость траекторий планет Солнечной системы, в частности Земли, возмущаемых другими планетами).

Теорема об устойчивости. Серьезное исследование основной задачи динамики было начато работами Пуанкаре. Первый успех в ее преодолении, однако, был достигнут лишь в 1954 г. после появления работы Колмогорова [5]. Им была сформулирована теорема о сохранении инвариантных торов, доказанная Арнольдом [6] и при несколько иных условиях — Мозером [7]. Вот ее формулировка.

Теорема о сохранении инвариантных торов (Колмогоров — Арнольд). Если невозмущенная гамильтоновская система невырождена, то при достаточно малом консервативном гамильтоновском возмущении большинство нерезонансных инвариантных торов не исчезнет, а лишь немного деформируется, так что в фазовом пространстве возмущенной системы также имеются инвариантные торы, заполненные всюду плотно фазовыми кривыми, обматывающими их условно-периодически, с числом частот, равным числу степеней свободы. Указанные инвариантные торы образуют большинство в том смысле, что мера дополнения к их объединению мала вместе с возмущением.

Под невырожденностью системы понимается условие функциональной независимости частот (2.2):

которое уже приводилось в § 6 гл. 1.

Условие нерезонансности означает выбрасывание некоторой малой области в окрестности точного резонанса, т. е.

где с — некоторая малая константа.

Условие достаточной малости возмущения означает существование некоторого граничного значения такого, что теорема справедлива при

Аналогичный результат о существовании инвариантных торов был доказан Мозером [7] при условии существования достаточно большого числа производных у возмущения V, которое в дальнейшем удалось понизить.

Согласно теории возмущение действует следующим образом. Оно разрушает торы, лежащие в малой окрестности резонансных торов. Размер

этой окрестности можно оценить. Например, в случае нелинейного резонанса первого порядка, рассмотренного в предыдущем параграфе, ширина области разрушения по действию Дальнейшее зависит от топологии невозмущенных инвариантных торов в фазовом пространстве. Это приводит к различию случаев

При торы делят фазовое пространство (см. § 6 гл. 1). Поэтому разрушенные торы лежат между инвариантными торами (рис. 3.4). Это приводит к тому, что изменение действия на траектории даже в области разрушения не может быть большим и имеет характерный размер порядка размера области разрушения.

Рис. 3.4. При разрушенные торы (заштрихованные области) лежат между инвариантными торами

Рис. 3.5. При ооласти разрушения могут, соединяясь, пронизывать все фазовое пространство

Траектория зажата между инвариантными торами, и ее отклонение от невозмущенной траектории стремится к нулю при Таким образом, доказывается вечная и глобальная устойчивость при если

Если то резонансные торы уже не делят фазовое пространство (см. рис. 2.16). Поэтому области разрушения могут, соединяясь, пронизывать все фазовое пространство (рис. 3.5). Это приводит к тому, что существует конечная мера траекторий, которые могут сколь угодно далеко уйти от своих невозмущенных значений. Это явление было открыто Арнольдом [8] и называется диффузией Арнольда. Оно будет рассмотрено позднее более подробно. Таким образом, при основная часть торов не разрушается. Однако существует конечная (но малая) мера таких начальных условий, которые приводят к медленному уходу системы сколь угодно далеко от своей невозмущенной траектории.

С момента возникновения теории в руках физиков появился необычайно мощный инструмент исследования динамических систем. С этого момента физическая интуиция, так необходимая во многих случаях, где строгие результаты еще не появились, обрела некоторую твердую почву. Как правило, для большинства физических систем можно произвести анализ при малых возмущениях, найти возмущенные инвариантные торы и, что и является главным, быть уверенным в их существовании. До появления теории можно было лишь утверждать о некотором, хотя, может быть, и большом, времени, в течение которого торы не разрушались.

Следствие. Мы часто встречаемся с системой

в которой возмущение является периодической функцией времени:

Введем новые переменные:

Тогда вместо (2.4) можно рассматривать систему с степенями свободы:

Ее инвариантные торы имеют размерность Теория гарантирует ее устойчивость при достаточно малом и выполнении условия невырожденности (2.3).