§ 4. Возвраты и периодические орбиты

Возвратом называется попадание траектории в некоторую окрестность начальной точки (рис. 4.12). Понятие о возвратах имеет смысл главным образом для гамильтоновских систем, так как диссипация всегда выводит систему из некоторой области фазового прсстранства, в которой находилось начало траектории. Существование возвратов гарантируется, следующей теоремой.

Теорема Пуанкаре о возвратах. Пусть система является гамильтоновской, консервативной (энергия системы сохраняется) и совершает финитное движение. Рассмотрим некоторую область А фазового пространства и выберем в ней точку в качестве начальной точки траектории. Тогда по истечении некоторого времени система вернется в область А. Исключение могут составлять лишь точки множества нулевой меры.

Доказательство этой теоремы основано на теореме Лиувилля о сохранении фазового объема.

Обозначим через В множество всех точек из которые никогда не возвращаются в Пусть через некоторое достаточно большое время множество точек В переходит в т. е.

Согласно определению В как множества невозвращающихся точек пересечение множеств равно нулю. Через интервал имеем

Пересечение также равно нулю. Если бы это было не так, то существовали бы точки, которые не выходят из

Рис. 4.12. Возвраты траектории

Рис. 4.13. Квазициклы в К-системах

Из обратимости уравнений движений следует, что эти точки не могли бы и войти в Это противоречит их прошлому (при они принадлежали А).

Продолжая применять последовательно оператор к В, получим бесконечную последовательность образов множества В. Согласно теореме Лиувилля

т.е. в процессе движения точки из В покрывают фазовый объем . С другой стороны, из финитности движения следует, что эта область должна быть конечной. Последнее возможно только в случае Это доказывает теорему.

Из теоремы Пуанкаре следует, что система будет бесконечное число раз возвращаться в область Мы будем эти возвраты называть также циклами Пуанкаре или квазициклами. Теорема, однако, ничего не говорит о том, как устроены квазициклы. Времена последовательных возвратов могут подчиняться любому закону, в том числе и случайному.

Квазициклы в случае регулярной системы и -системы также сильно отличаются друг от друга. В последнем случае времена возвратов и форма квазициклов распределены случайно (рис. 4.13).

Можно ввести понятие среднего времени возврата, или времени цикла Пуанкаре. Смолуховский предложил следующую формулу для этого времени:

где - вероятность возврата системы в исходную область А за время Очевидно, что есть вероятность нахождения системы в области А. Вычисления Каца [21] приводят формулу (4.1) к следующему виду:

где вероятность первого возврата за время

При отличие от пропорционально и поэтому время не зависит от искусственно введенного интервала наблюдения Если допустить, что можно дифференцировать по аргументу, то

Отсюда формула (4.2) дает

Величина в этой формуле конечна. Производная может быть очень малой, и тогда время становится очень большим. Это происходит, например, в случае, когда система совершает эргодическое движение, медленно «заметая» фазовое пространство, и в ней нет перемешивания. Наоборот, при перемешивании скорость первого возврата не мала и время может оказаться малым. Отсюда следует, что в К-системах времена возвратов могут быть вполне доступны для наблюдения. Более того, эти времена могут оказаться даже меньше характерных наблюдаемых процессов медленной эволюции. Чем сильнее локальная неустойчивость, тем меньше При сильном перемешивании имеем

где энтропия системы.

Периодические орбиты. В интегрируемых регулярных системах, имеющих интегралов движения при степенях свободы, периодические орбиты лежат на резонансных торах, которые определяются уравнением

где — положительные и отрицательные целые числа, частоты.

Периодические орбиты в этом случае оказываются слабо неустойчивыми. Малое возмущение траектории приводит к ее попаданию на нерезонансный тор. Расстояние между траекториями, одна из которых лежит на резонансном торе, другая — на нерезонансном торе, линейно нарастает со временем.

В К-системах также есть периодические траектории. Из-за локальной неустойчивости слабое возмущение начальных условий приводит к экспоненциальному росту расстояния между траекториями. Поэтому все периодические траектории оказываются сильно неустойчивыми. По этой же причине их оказывается очень много. Число периодических траекторий с периодом

в К-системе равно [22—24]:

Результат (4.5) легко понять из следующих соображений. Рассмотрим, периодическую траекторию -системы и выделим на ней некоторую точку А. Эта траектория тем ближе к случайной, чем больше (рис. 4.14). Пусть теперь из точки А вблизи А выходит траектория, которая возвращается очень близко к А, но не замыкается. Тогда малым шевелением начального условия траекторию можно замкнуть вследствие локальной неустойчивости. Более того, вследствие перемешивания в любой части фазового объема, доступной за время для траектории из окрестности точки А, имеются траектории, которые можно малым шевелением замкнуть. Поэтому полное число циклов периода должно быть пропорционально объему области, огибающей фазовый объем, который занимает система за время Как уже известно, этот огибающий объем растет:

Отсюда и следует формула (4.5).

Рис. 4.14. Примеры цикла (а) и квазицикла (б) в К-системе

Рис. 4.15. График последовательных отображений

Пример. Полезно для какого-либо простого случая подсчитать число периодических орбит непосредственно, для того чтобы увидеть, как возникает формула (4.5).

Рассмотрим отображение (3.1)

с целым Построим график функции

Это пилообразная функция из К отрезков (рис. 4.15). В данном случае дискретного времени могут быть только периодические траектории периода Они определяются из уравнения

или, в данном случае,

Каждое решение уравнения (4.7) получается в результате пересечения диагонали квадрата (рис. 4.15) с пилообразной кривой Таких точек, очевидно, так как число «зубцов» у кривой равно точно и все они пересекаются (если включить в точки пересечения концы кривой). Отсюда сразу следует

т. е. формула (4.5) является в примере (3.1) точной при целых К.

Посмотрим теперь, какие можно провести обобщения рассмотренного примера. Прежде всего положим К произвольным, т. е. пусть Тогда число пересечений диагонали с кривой может стать меньше, чем не более чем на единицу. Поэтому при больших выражение (4.8) сохраняется.

Точно так же можно рассмотреть автоморфизм тора или У-системы.

Синус-отображение. Графический анализ позволяет указать число периодических решений и в более сложном случае синус-отображения:

На рис. 4.16 приведены два последовательных действия оператора при

Как и в предыдущем случае, -кратное применение синус-отображения приводит к кривой состоящей из отрезков. Если К — целое, то число пересечений этой кривой с диагональю квадрата равно и тогда формула (4.8) имеет место в точности и для данного случая. Если нецелое, то число пересечений может оказаться на два меньше, чем (рис. 4.17), и формула (4.8) справедлива асимптотически при больших

Рис. 4.16. График последовательных действий синус-отображения

Рис. 4.17. Случай нецелого К в синус-отображении

Теорема Боуэна. Множество периодических орбит является всюду плотным. Однако для распределения траекторий по периодам необходимо знать не только их число но и долю огрубленного фазового объема, которую они занимают. Теорема Боуэна решает отчасти этот вопрос [24], и это позволяет использовать ее для ряда физических приложений [8].

Рассмотрим область фазового объема и все периодические траектории, проходящие через нее. Тогда их распределение по периодам не зависит от расположения и слабо зависит от формы границы Это утверждение можно воспринимать как следствие перемешивания, приводящего к достаточной однородности К-систем.

Введем несколько определений. Пусть есть замкнутая орбита С, проходящая через а -координата системы на этой орбите. Различные замкнутые орбиты будем различать по их периодам Обозначим через стационарную функцию распределения в фазовом пространстве, а через — ее значения в точках принадлежащих орбите Определим также нормировочный множитель

равный числу периодических орбит с периодом в интервале где

Тогда для произвольной интегрируемой функции результат Боуэна

заключается в следующем равенстве, справедливом для Л-систем:

Нетрудно видеть, что замечательный результат Боуэна является аналогом эргодической теоремы для замкнутых орбит. Его качественную сторону можно интерпретировать следующим образом. Вследствие перемешивания траектория быстро и достаточно равномерно заполняет фазовое пространство. Таким же свойством обладают и периодические орбиты, если их периоды достаточно велики. На этом и основано равенство среднего по фазовому пространству и среднего по периодическим орбитам большого периода, выражаемое формулой (4.9).

КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 4

(см. скан)