Глава 16. СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА ОДНОМЕРНЫХ ЦЕПОЧЕК

Одномерные цепочки взаимодействующих атомов, молекул, вихрей или каких-либо других физических объектов являются сравнительно простой моделью, на которой можно проследить за структурными превращениями в системе. Это привлекает внимание к ним в связи с различными задачами в физике твердого тела и в теории турбулентности. Задачи при этом оказываются на различных стадиях исследования разными. При анализе возможных состояний твердого тела следует отобрать из всех возможных состояний то, которое реализует минимум свободной энергии. В теории турбулентности интерес представляет более широкий класс состояний, поскольку стационарной турбулентности соответствует не равновесное состояние, а стационарное, возникающее под действием накачки и стока энергии. Однако на некоторой стадии исследования — определении различных возможных структур и их зависимости от параметров системы — используемые методы являются близкими (ком. 1).

Мы уже показывали в § 7 гл. 1, как задача о равновесии атомных цепочек может быть приведена к исследованию отображений, типичных для нелинейных динамических систем. Ниже эта аналогия будет рассмотрена подробнее для двух видов цепочек: атомной и спиновой. Кроме того, понятия «атомной» или «спиновой» цепочек различаются по виду взаимодействия и по структуре переменных. С равным успехом можно было бы заменить атомы молекулами или другими сходными объектами, а спины—вихрями или ларморовскими орбитами. Еще одно замечание выделяет одномерные системы по отношению к неодномерным. Расположение атомов или спинов вдоль одной координаты позволяет придать этой координате смысл «времени». Техническая реализация этой операции будет видна ниже. В многомерном случае подобная возможность, вообще говоря, отсутствует (ком. 2).

§ 1. Атомные цепочки

Исследование динамики нелинейной системы показывает, что в зависимости от характера и величины взаимодействий система может проходить через ряд бифуркаций, проявляющихся в смене различных видов движения. При определенных условиях практически во всех динамических системах с числом степеней свободы существует область в фазовом пространстве и в пространстве параметров, где движение является хаотическим. Пусть

является гамильтонианом системы с степенями свободы. Уравнения движения имеют вид

а условия равновесия получаются отсюда, если положить равными нулю производные

До сих пор мы говорили о бифуркациях, нелинейном резонансе и хаосе в системе (1.1). Эти же явления возможны в системе (1.2), однако теперь это будут переходы от одной структуры к другой структуре, которая может быть также хаотической, или нерегулярной.

Дискретное уравнение синус-Гордона. Рассмотрим простейший вариант цепочки осцилляторов, взаимодействующих только с ближайшими, соседями:

где - смещение осциллятора, масса которого принята равной единице, - локальный потенциал поля, в котором движется осциллятор. Величина а имеет смысл периода невозмущенной цепочки. Действительно, при условие минимума потенциальной энергии дает

для всех значений к. Далее для конкретности положим

Это означает, что осцилляторы находятся в периодическом внешнем поле с пространственным периодом В твердом теле поле (1.4) обусловлено действием всей решетки на данный атом. В гидродинамике это может быть поле скоростей или внешнее силовое поле.

Уравнения движения (1.1) с учетом (1.3) и (1.4) приобретают вид

Это уравнение можно также записать в более общей форме

где разностный оператор:

Уравнение (1.5) или (1.6) будем называть разностным уравнением При малых значениях производной их оно переходит в обычное уравнение В то время как последнее уравнение является интегрируемым, его разностный аналог -неинтегрируем. Более того, неинтегрируемой является даже стационарная задача, соответствующая системе уравнений (1.2):

Остановимся подробнее на решениях системы (1.7).

Стационарные состояния цепочки. Как и в § 7 гл. 1, введем переменную

С ее помощью (1.7) переписывается в виде отображения

которое совпадает со стандартным отображением.

Если задать начальные значения то все последующие значения положений атомов как элементов цепочки могут быть получены последовательными итерациями системы (1.9). Теперь мы можем перечислить все возможные решения уравнений (1.7). Отображение (1.9) имеет периодические и хаотические решения. Их локализация в фазовом пространстве зависит от параметра При , где

стохастические решения занимают в фазовом пространстве узкие стохастические слои (см. § 1 гл. 5). При К 1 исчезают инвариантные кривые с числом вращения больше «золотого сечения» (точнее, они превращаются в неустойчивые кантор-торы нулевой меры). Размер островков устойчивости уменьшается с ростом При этом происходят бифуркации деления островков, сопровождающиеся превращением эллиптической точки в гиперболическую и рождением новых эллиптических точек.

Поскольку отображение (1.9) определяет расположение атомов в цепочке, то тем самым определяются возможные структуры. В частности, бифуркациям решений соответствуют структурные бифуркации.

Остановимся на некоторых простейших конфигурациях цепочки.

Нелинейный резонанс в структурах. В основе анализа условий равновесия (1.2) лежит отображение (1.9). При анализе динамических систем мы старались перейти от дифференциальных уравнений движения к уравнениям отображения. Сейчас проделаем обратный путь и перейдем от уравнений (1.9) к эквивалентной динамической системе, порождающей их. Это уже было сделано в § 7 гл. 1. Согласно (1.7.12), рассмотрим гамильтониан

Роль времени играет переменная а канонической парой переменных являются Уравнения движения

порождают в точности отображение (1.9), если принять, как обычно,

Формулы (1.12) показывают другой путь решения задачи о равновесных структурах. Необходимо рассмотреть динамическую систему с гамильтонианом и уравнениями движения (1.12), найти возможную траекторию системы и определить ее фазовые координаты в «моменты времени» Это и будут смещения атомов и в узлах цепочки, фиксирующие ее структуру.

Представим сумму -функций в (1.11) в виде разложения в ряд Фурье

Отсюда видно, во-первых, что частота свободного движения для эквивалентной динамической системы равна, согласно (1.12):

Во-вторых, условие резонанса имеет вид

где — целое число. Поэтому его можно переписать с точностью до возмущения и с помощью (1.15) в виде

или эквивалентным образом:

Уравнение (1.17) определяет резонансные значения переменной, играющей роль действия. Поскольку -период возмущения и -период невозмущенной цепочки, то условие (1.17) имеет очевидный физический смысл: частота решения должна быть кратна частоте вынуждающей силы.

Теперь мы можем следовать точно основным идеям рассмотрения нелинейного резонанса в § 1 гл. 3. Обозначим

и рассмотрим динамику системы в окрестности резонанса. Это означает, что в выражении (1.14) следует оставить только член, содержащий фазу и пренебречь всеми остальными. Тогда эффективный гамильтониан нелинейного резонанса имеет вид

где использованы обозначения (1.18).

Условие применимости приближения изолированного нелинейного резонанса имеет вид

Переменные и — канонически сопряженные. Поэтому они удовлетворяют уравнениям

которые интегрируются и приводят к уже знакомым нам выражениям

где

и - произвольная постоянная, определяющая значение интеграла энергии на траектории.

Значению соответствует сепаратриса нелинейного резонанса. Таким образом, формулы (1.21) и (1.22) определяют два типа решений — внутри сепаратрисы и вне сепаратрисы

Несоразмерные структуры. Дальнейшая судьба этих решений определяется условиями задачи. В задачах динамики жидкости это условия накачки. В физике твердого тела этоусловие минимума свободной энергии

Остановимся на последнем случае. Если подставить решения (1.21) в (1.23), то выражение для будет функцией только одного параметра к. Это и есть тот параметр, по которому следует минимизировать Выполнение соответствующей операции [5] приводит в области к решению которое означает, что

Условие (1.24) показывает, что отобранное решение соответствует расстоянию между атомами цепочки, т. е. кратно периоду поля

При минимизация выражения (1.23) приводит к уравнению

которое определяет величину такую, что

Основной вопрос заключается в том, имеет ли уравнение (1.25) решение или нет. Простой анализ правой части показывает, что решение существует, если выполнено неравенство

Тогда значению соответствуют решения, приведенные в (1.21) и взятые при Они описывают периодические модуляции положений атомов в цепочке. Период модуляции равен

Удобно представить результат вычислений графически, изобразив зависимость величины от

(рис. 16.1). Поскольку значения а лежат вблизи то можно назвать расстройкой периода. Величина называется параметром порядка. Если то решения невозможны, и реализуется только решение (1.24). У него длина волны модуляции равна бесконечности, т. е. Однако при возникает новая возможность. Появляется нетривиальное решение с и амплитудой модуляции Бифуркационный переход на рис. 16.1 аналогичен также структурному фазовому переходу. Поясним подробнее.

Рис. 16.1. Зависимость параметра порядка от расстройки периодов

Рис. 16.2. Конкурирующие взаимодействия в атомной цепочке

В исходной цепочке атомов имеются два конкурирующих взаимодействия (рис. 16.2). Первое из них обусловлено упругим взаимодействием ближайших атомов. Оно стремится установить в системе период а. Второе взаимодействие

обусловлено внешним полем Оно стремится расположить атомы в точках минимума потенциала, т. е. с периодом или кратным ему. Результирующее равновесное состояние цепочки получается как компромисс между конкурирующими факторами. Этот компромисс, однако, достигается лишь выше некоторого порога, т. е. при условии (1.26). В результате в цепочке появляется модулированная структура с периодом, несоразмерным периоду внешнего поля

Появление несоразмерных периодов и частот присуще также состояниям, которые предшествуют турбулентности. С ростом амплитуда модуляции несоразмерных структур возрастает. При больших значениях неупорядоченная, турбулентная структура становится значительно более вероятной, чем регулярная. Такие структуры называются также аморфными. Мы обсудим их подробнее в следующем параграфе.