Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава 16. СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА ОДНОМЕРНЫХ ЦЕПОЧЕКОдномерные цепочки взаимодействующих атомов, молекул, вихрей или каких-либо других физических объектов являются сравнительно простой моделью, на которой можно проследить за структурными превращениями в системе. Это привлекает внимание к ним в связи с различными задачами в физике твердого тела и в теории турбулентности. Задачи при этом оказываются на различных стадиях исследования разными. При анализе возможных состояний твердого тела следует отобрать из всех возможных состояний то, которое реализует минимум свободной энергии. В теории турбулентности интерес представляет более широкий класс состояний, поскольку стационарной турбулентности соответствует не равновесное состояние, а стационарное, возникающее под действием накачки и стока энергии. Однако на некоторой стадии исследования — определении различных возможных структур и их зависимости от параметров системы — используемые методы являются близкими (ком. 1). Мы уже показывали в § 7 гл. 1, как задача о равновесии атомных цепочек может быть приведена к исследованию отображений, типичных для нелинейных динамических систем. Ниже эта аналогия будет рассмотрена подробнее для двух видов цепочек: атомной и спиновой. Кроме того, понятия «атомной» или «спиновой» цепочек различаются по виду взаимодействия и по структуре переменных. С равным успехом можно было бы заменить атомы молекулами или другими сходными объектами, а спины—вихрями или ларморовскими орбитами. Еще одно замечание выделяет одномерные системы по отношению к неодномерным. Расположение атомов или спинов вдоль одной координаты позволяет придать этой координате смысл «времени». Техническая реализация этой операции будет видна ниже. В многомерном случае подобная возможность, вообще говоря, отсутствует (ком. 2). § 1. Атомные цепочкиИсследование динамики нелинейной системы показывает, что в зависимости от характера и величины взаимодействий система может проходить через ряд бифуркаций, проявляющихся в смене различных видов движения. При определенных условиях практически во всех динамических системах с числом степеней свободы
является гамильтонианом системы с
а условия равновесия получаются отсюда, если положить равными нулю производные
До сих пор мы говорили о бифуркациях, нелинейном резонансе и хаосе в системе (1.1). Эти же явления возможны в системе (1.2), однако теперь это будут переходы от одной структуры к другой структуре, которая может быть также хаотической, или нерегулярной. Дискретное уравнение синус-Гордона. Рассмотрим простейший вариант цепочки осцилляторов, взаимодействующих только с ближайшими, соседями:
где
для всех значений к. Далее для конкретности положим
Это означает, что осцилляторы находятся в периодическом внешнем поле с пространственным периодом Уравнения движения (1.1) с учетом (1.3) и (1.4) приобретают вид
Это уравнение можно также записать в более общей форме
где
Уравнение (1.5) или (1.6) будем называть разностным уравнением
Остановимся подробнее на решениях системы (1.7). Стационарные состояния цепочки. Как и в § 7 гл. 1, введем переменную
С ее помощью (1.7) переписывается в виде отображения
которое совпадает со стандартным отображением. Если задать начальные значения
стохастические решения занимают в фазовом пространстве узкие стохастические слои (см. § 1 гл. 5). При К 1 исчезают инвариантные кривые с числом вращения больше «золотого сечения» (точнее, они превращаются в неустойчивые кантор-торы нулевой меры). Размер островков устойчивости уменьшается с ростом Поскольку отображение (1.9) определяет расположение атомов в цепочке, то тем самым определяются возможные структуры. В частности, бифуркациям решений соответствуют структурные бифуркации. Остановимся на некоторых простейших конфигурациях цепочки. Нелинейный резонанс в структурах. В основе анализа условий равновесия (1.2) лежит отображение (1.9). При анализе динамических систем мы старались перейти от дифференциальных уравнений движения к уравнениям отображения. Сейчас проделаем обратный путь и перейдем от уравнений (1.9) к эквивалентной динамической системе, порождающей их. Это уже было сделано в § 7 гл. 1. Согласно (1.7.12), рассмотрим гамильтониан
Роль времени играет переменная
порождают в точности отображение (1.9), если принять, как обычно,
Формулы (1.12) показывают другой путь решения задачи о равновесных структурах. Необходимо рассмотреть динамическую систему с гамильтонианом Представим сумму
Отсюда видно, во-первых, что частота свободного движения для эквивалентной динамической системы равна, согласно (1.12):
Во-вторых, условие резонанса имеет вид
где
или эквивалентным образом:
Уравнение (1.17) определяет резонансные значения переменной, играющей роль действия. Поскольку Теперь мы можем следовать точно основным идеям рассмотрения нелинейного резонанса в § 1 гл. 3. Обозначим
и рассмотрим динамику системы в окрестности
где использованы обозначения (1.18). Условие применимости приближения изолированного нелинейного резонанса имеет вид
Переменные
которые интегрируются и приводят к уже знакомым нам выражениям
где
и Значению Несоразмерные структуры. Дальнейшая судьба этих решений определяется условиями задачи. В задачах динамики жидкости это условия накачки. В физике твердого тела этоусловие минимума свободной энергии
Остановимся на последнем случае. Если подставить решения (1.21) в (1.23), то выражение для
Условие (1.24) показывает, что отобранное решение соответствует расстоянию При
которое определяет величину
Основной вопрос заключается в том, имеет ли уравнение (1.25) решение
Тогда значению
Удобно представить результат вычислений графически, изобразив зависимость величины
(рис. 16.1). Поскольку значения а лежат вблизи
Рис. 16.1. Зависимость параметра порядка от расстройки периодов
Рис. 16.2. Конкурирующие взаимодействия в атомной цепочке В исходной цепочке атомов имеются два конкурирующих взаимодействия (рис. 16.2). Первое из них обусловлено упругим взаимодействием ближайших атомов. Оно стремится установить в системе период а. Второе взаимодействие обусловлено внешним полем Появление несоразмерных периодов и частот присуще также состояниям, которые предшествуют турбулентности. С ростом
|
1 |
Оглавление
|