§ 2. Кинетика при диссипативных отображениях

Мы увидели, что при определенных условиях уравнение ФПК достаточно успешно описывает усредненную эволюцию -системы, задаваемой стандартным отображением. В действительности для применимости ФПК-уравнения вовсе нет необходимости в том, чтобы исходные уравнения движения были гамильтоновскими. Однако в этом случае соотношение (1.22) уже не будет иметь места.

Структура кинетического уравнения. Обратимся к движению с диссипацией, рассмотренному в § 6 гл. 5. Это нелинейный маятник с затуханием, находящийся под действием периодических -импульсных толчков. Другими словами, это та же модель, что и в предыдущем параграфе, но с затуханием. Она сводится к отображению

где переменная z с точностью до постоянного множителя является действием системы, Параметр К зависит теперь от безразмерного коэффициента диссипации у. В модели стандартного диссипативного отображения

(см. формулы (5.6.13), (5.6.14)).

Простейший анализ основан на усреднении изменений по быстро меняющейся фазе при условии стохастичности в модели (2.1). Для этого вычисляем моменты и 33 в уравнении (1.1). Имеем из (2.1):

Подставляем эти выражения в уравнение

Это приводит к уравнению для функции распределения

Динамика моментов. Уравнение (2.5) имеет несколько громоздкий вид, и проще всего рассмотреть его моменты для получения физически понятных соотношений, Введем моменты действий

Положим также далее диссипацию малой:

Умножим уравнение (2.5) на и проинтегрируем по Это дает

которое при малых у переходит в следующее:

Решение уравнения (2.6) имеет вид

где -начальное значение переменной

При из (2.7) следует обычный результат стохастического нагрева

который нам уже известен из предыдущего параграфа.

При энергия насыщается, и стремится к пределу:

Мы получили хорошо известное соотношение из теории броуновского движения, которое теперь, однако, возникло не благодаря действию случайных сил на систему, а из-за перемешивающего характера исходных динамических

уравнений движения. Это обстоятельство важно иметь в виду, так как диссипативный коэффициент у в уравнениях (2.1) не обусловлен внутренней стохастичностью системы. Более точно, в обычной теории броуновского движения внешняя случайная сила является одновременно причиной появления как сил трения, так и диффузии. Теперь, в К-системах, это не так. Трение является внешним феноменологическим фактором, мы не интересуемся его природой. Диффузия возникает из-за локальной неустойчивости траекторий. Поэтому полученное соотношение (2.9) имеет нетривиальное содержание: в нем параметры диссипации у и диффузии имеют разную природу (ком. 2).